Intuicijos problema pas Puankarė

Rekomenduojama pradėti nuo Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje    
Apie A. Puankarė skaitykite >>>>>    

17 a. susidarius naujajai matematikai bei 19 a. jau pasiekus atitinkamą lygį analizės griežtos logikos srityje, formavosi nauja matematikos samprata. Buvo siekta ne tik minimizuoti pagrindinių intuityvių prielaidų kiekį, bet ir viską įrodinėti griežtai logiškai. Pagrindu buvo Dž. Bulio1) pradėta ir 19-20 a. sandūroje italo Dž. Peano2) su pasekėjais (Padoa3) ir kt.) išbaigta loginių simbolių kalba. Matematinių sąvokų išreiškimu logikos sąvokomis užsiėmė vokiečiai Frėgė4) ir Dedekindas5). Sistemingai šią kryptį tritomyje „Principia mathematica“ (1910-13) išvystė anglai Raselas ir Vaithedas6). Intuityvūs matematikos elementai eliminuojami.

Atmetama ne tik intuityvi matematikos, atskiru atveju, geometrijos, samprata, pasiūlyta Šopenhauerio, bet ir I. Kanto mokymas apie erdvę ir laiką kaip apriorines intuicijos formas, kuriomis remiasi aprioriniai sintetiniai sprendimai geometrijoje ir aritmetikoje. „Grynojo proto kritikoje“ teigiama, kad „visi geometriniai principai, pvz., kad trikampio dvi kraštinės ilgesnės už trečiąją, visada išvedami iš intuicijos a priori su apodiktiniu tikrumu, tačiau niekad neišvedami iš bendrų linijos ir trikampio sąvokų“.

Tai buvo nepakankamo racionalizmo kritika Kanto matematikos teorijoje, atskleidusi Kanto prieštaravimą apie loginę matematikos prigimtį. Kantas nedraudė apmąstomą geometrinių tiesų kilmę. Kritika prasidėjo jau Frėgė „Aritmetikos pagrinduose“ (1884).

Matematikos loginimas susijęs su filosofinių krypčių ginču. Viena jų ateina nuo Leibnico su jo analitine sprendimų teorija bei „visuotinės charakteristikos“ (algebros), taikoma visoms dedukcijos formoms bei formalizuojančiai visą mokslą, užmačia. Kitos atspara Kanto pažinimo teorijoje.

Bet svarbią vietą turėjo ir stiprūs motyvai pačioje matematikoje. Vis stiprėjo manymas, kad matematika nesusijusi su atskiromis intuicijai prieinamų daiktų klasėmis. Iš mokslo apie skaičius ir dydžius ji vis labiau virto bendruoju įrodymų ir atradimų metodu. Tai vyko pamažu – atradus baricentrinius8) Mobiuso7) ir ekvipolentinius Belavitos9) skaičiavimus, geometrinius Grasmano10) skaičiavimus, Hamiltono kvaternionus, projektyvinę Štaudto geometriją, asamblėjų (aibių) teoriją, substitucijų ir grupių teoriją, ir pagaliau Bulio logiką“. Ir būtent Bulis pirmasis išsakė mintį, kad užsiėmimas skaičių ir kiekių idėjomis „nėra matematikos esmė“. Ypač stipri nepriklausomybės nuo filosofijos pozicija buvo pas Raselą.

Logikos įsigalėjimas matematikoje buvo savotiška pozityvizmo atmaina. Logikai savo užduotis kėlė grynai matematiškai, o jų neigiamas požiūris į filosofiją buvo daugiau priešprieša Kanto filosofijai, jo „transcendentiniai estetikai“. Kita vertus, labai pagarbiai žiūrėta į Leibnicą – ir jam buvo skirti vertingi Raselo tyrinėjimai.

[buvo aiškiai apibrėžtos filosofijos (gnoseologijos, atskiros racionalizmo formos) teigimas. Ir pirmuoju rimtu loginio matematikos pagrindimo kritiku tapo Anri Puankarė, tam skyręs straipsnį „Matematika ir logika“ bei knygos „Mokslo vertė“ (1905) skyriuje „Intuicija ir logika matematikoje“.

A. Puankarė neatsižadėjo nuo filosofijos, tačiau irgi aiškiai neatribojo matematinių ir filosofinių pozicijų, tai padaryti palikdamas skaitytojams. Puankarė kritika parodė, kad matematikos suvedimas vien į logiką sukelia rimtus sunkumus, kurių pagrindas tame, kad iš matematinių samprotavimų negali būti visiškai pašalinti kai kurie intuicija besiremiantys elementai.

Tik gaila dėl to daugiareikšmiškumo, kurį Puankarė taikė intuicijai – ir čia matematika nuolat pynėsi su filosofija, kas problemą darė gana miglotą. Vienais atvejais „intuicija“ pas Puankarė yra kaip matematinio samprotavimo principas, dedukcijos pagrindas ir sąlyga, o kitais – tarsi matematinio „atspėjimo“, įkvėpimo, kūrybinio elemento sinonimas (tai ypač ryšku 3 skyriuje „Matematinė kūryba“, kai aprašomos aplinkybės kurioms esant surastos fuksinės funkcijos11)). Puankarė aiškina: „Logikos dėka įrodinėja; intuicijos dėka išranda. [ ... ] Logika parodo, kad tokiame tai kelyje nesutiksime kliūčių, tačiau ji nepasako, koks kelias veda į tikslą. Tam reikia iš tolo matyti tikslą, o gebėjimas tai matyti yra intuicija. Be jos geometras būtų panašus į tą rašytoją, kurio nepriekaištinga rašyba, tačiau kuris neturi minčių“.

Visai kitą intuicijos prasmę nei „atspėjimą“ turėjo palaikantys intuiciją matematiniuose įrodymuose (kaip Raselas ir Kutiuras12)) – būtent, gnoseologiniame-loginiame turinyje. Juos domino, ar loginėje matematinio įrodymo struktūroje galima rasti tokius elementus, įeinančius ne kaip loginio ryšio grandys, o kaip intuityvūs visos dedukcijų grandinės pagrindai ir prielaidos patiems loginiams ryšiams. Iki „logicizmo“ visi matematikai sutarė, kad dedukcija numato pirmuosius teiginius, kuriuos mokslas privalo postuluoti ir kurie tame moksle neišvedami. Ir tų postulatų šaltinis gali būti skirtingas. Nauja „logicizme“ buvo tvirtinimas, kad skirtingai nuo deduktyvių mokslų matematikai nereikia postulatų. Skirtingos matematinės teorijos remiasi ne savomis intuityviai suvokiamomis aksiomomis, o tik apibrėžimais. Matematikos objektai „apibrėžiami vien loginių konstantų funkcija“. Matematika savo turiniu yra „apibrėžimų, teturinčių logikos terminus, ansamblis“.

Pasisakydamas prieš „logicizmą“ Puankarė naudojo ne tik euristinį intuicijos supratimą, bet ir loginį- gnoseologinį ginčo aspektą. Polemikoje su Kutiuru jis intuicija jau laiko ne „įkvėpimą“, ne „atspėjimą“, o betarpiškus, logika nesiremiančius samprotavimus. Straipsnyje „Matematika ir logika“ Puankarė ginčijasi su Raselu, Peano ir jų vienminčiais jau ne kaip psichologas, tiriantis matematinio atradimo sąlygas, o kaip matematikas dėl matematinio įrodymo teorijos.

Klausimas apie intuityvias mokslo prielaidas Puankarė siejamas su klausimu apie aksiomų prigimtį ir rūšis. Tai aptariama pirmoje knygos „Mokslo vertė“ dalyje. Aksiomų pobūdis išsiaiškinamas išnagrinėjant 4 aksiomų pavyzdžius:

  1. “Du dydžiai, lygūs trečiajam, yra lygūs”;
  2. „Jei teorema teisinga, kai n=1, ir jei įrodoma, kad ji teisinga ir n+1, kai buvo teisinga ir n, tai ji teisinga visiems sveikiesiems skaičiams“;
  3. „ Jei taškas C yra tiesėje tarp A ir B, o taškas D yra tarp A ir C, tai taškas D bus tarp A ir B“;
  4. Per vieną tašką galima nubrėžti tik vieną tiesę, lygiagrečią duotajai“.

Anot Puankarė, visos jos „turi būti priskirtos intuicijai“. Tačiau pažintinė jų funkcija ne tokia pati. Pirmoji perteikia vieną iš formaliosios logikos taisyklių. Antroji (indukcijos) yra tikras apriorinis sintetinis sprendimas pagal KantoToliau matosi, kad Puankarė skiria juslinę intuiciją nuo intelektualiosios intuicijos, kurią ir ima matematinių samprotavimų pagrindu. Vis tik Puankarė ne visada intuiciją apibūdina kaip intelektualiąją. Bet „Mokslo vertės“ skyriuje „Intuicija ir logika matematikoje“ pabrėžiama intelektualioji, nejutiminę intuicijos prigimtį. Norint būti išradėju, analitiku, jie „turi be jutimų ir vaizduotės turėti betarpišką jutimą to, kas sudaro samprotavimo vientisumą“. Intelektualioji intuicija labai reta dovana ir duota nedaugeliui. Ja nuostabiai naudojosi, anot Puankarė, prancūzas Ermitas13).

Išskirdamas intelektualiąją intuiciją, Puankarė riboja jos naudojimą matematikoje. Intuicijai tenka vis daugiau vietos užleisti logikai – tą procesą Puankarė laiko suprantamu ir dėsningu: „Intuicija negali mums duoti nei griežtumo, nei patikimumo“. Bet visiškas jos atsisakymas nepagrįstas: „Gryna logika visada atvestų mus tik į tautologiją: ji negalėtų sukurti nieko nauja; pati savaime ji negali duoti pradžios jokiam mokslui“. Nauja kūrimui būtina intelektualioji („grynojo skaičiaus“) intuicija.

Tai ribotas „intuityvizmas“. Puankarė buvo linkęs sutikti, kad geometrijos aksiomos yra slapti apibrėžimai. Sutikdamas, kad geometrijos pagrindas yra „kietų kūnų savybės“, kad matų geometrija yra kietų kūnų tyrimas, o projekcinė geometrija – šviesos tyrimas, jis negalėjo sutikti su teiginiu, kad atseit geometrija yra eksperimentinis mokslas, nes tada ji „nebūtų tiksliuoju mokslu ir ją reiktų nuolat peržiūrėti“. Tačiau jis nesutiko, kad lygiai tokios pat aritmetikos aksiomos. Aritmetikos logicizavimui yra ribos, manė jis.

Jis iškelia teiginį: aritmetika remiasi ne loginiais apibrėžimais, o intuityviomis aksiomomis. Anot „logikų“, pilnos indukcijos principas „ne aksioma ir ne sintetinis a priori sprendimas, tai tik sveiko skaičiaus apibrėžimas. Taigi, tai paprastas sąlyginis susitarimas“. Tai leidžia Puankarė priskirti prie konvencionalistų (pvz., „Geometrija yra tam tikras sąlyginis susitarimas, savotiškas kompromisas tarp mūsų meilės paprastumui ir mūsų noru ne perdaug nutolti nuo to, ką mums praneša mūsų instrumentai“).

Apie geometrijos aksiomas Puankarė mano, kad jos (skirtingai nuo analizės aksiomų) „nėra nei aprioriniais sintetiniais sprendimais, nei eksperimentiniais faktais. Jos – sąlyginiai susitarimai... Pats pasirinkimas yra laisvas ir apribotas tik būtinybe išvengti bet kokio prieštaravimo.

Ir tokiais pat sąlyginiais susitarimais jis paskelbia ir naują reliatyvumo teorijos požiūrį į erdvę ir laiką kaip 4-matį kontinuumą.

Įdomu, kad filosofinę painiavą, Puankarė

Trumpos biografijos ir paaiškinimai

1) Džordžas Bulis (George Boole, 1815-1864) – anglų filosofas, matematikas ir logikas, vienas matematinės logikos pirmtakų, dvejetainės logikos, tapusios šiuolaikinių kompiuterių pagrindu, sukūrėjas. Dirbo diferencialinių lygčių ir algebrinės logikos srityse. Garsi jo knyga “Mąstymo dėsniai”.

Gimė neturtingo amatininko, susidomėjusio matematika ir logika, šeimoje. Tačiau pradžioje Džordžas nerodė savo gabumų tiksliuosiuose moksluose ir pirmiausia jį patraukė klasikiniai autoriai. 16 m. ėmė mokytojauti privačioje mokykloje ir visą gyvenimą mokytojavo įvairiose pareigose.

Įdomu, kad jo žmona Merė Everest, garsaus geografo Dž. Everesto duktė, irgi užsiėmė mokslu, o po Bulio mirties daug jėgų skyrė jo pasiekimų populiarinimui. Moksle išgarsėjo ir 4 jų dukros – pačios arba kaip mokslininkų žmonos. Penktoji, Etelė Liliana Voinič pagarsėjo kaip rašytoja (žr. Voiničiaus rankraščio paslaptis).

Tik 17 m. amžiaus Bulis ėmėsi aukštosios matematikos, kurią įsisavino lėtai, nes neturėjo pagalbos. Pirmąjį straipsnį apie analitines transformacijas paskelbė 1840 m. Jis parašė eilė sunkiai suprantamų straipsnių ir 3-4 monografijas. Skaičiavimo metodams buvo skirti du traktatai: „Apie diferencialines lygtis“ (1859) ir „Apie baigtinius skirtumus“ (1860).

Bulis matyt buvo pirmuoju po Dž. Valiso užsiėmęs logikos klausimais. Simbolinio metodo taikymai aptariami straipsnyje „Matematinė logikos analizė“ (1847), o vėliau plačiame traktate „Mąstymo dėsnių tyrinėjimas...“ (1854). Bulis nelaikė logikos matematikos sritimi, tačiau įžvelgė graudų ryšį su algebros simbolika. Jis parodė, kad logikos simbolika paklūsta tiems pat dėsniams kaip ir algebros simbolika. Tad teiginiams galima taikyti tokias pat (sudėties, atimties, daugybos ir kt.) operacijas. Jis pademonstravo, kaip iš bet kokio teiginių kiekio vien simbolinių manipuliacijų pagalba galima gauti iš jų sekančią išvadą. Antrojoje „Mąstymo dėsnių tyrinėjimo...“ dalyje bandoma nustatyti bendrą metodą skaičiuojant tikimybes – remdamasis tuo I. Ogirko sukūrė reliatyvumo logikoje teoriją.

Bulis domėjosi krikščioniškąja teologija. Jis Šv. Trejybės koncepciją lygino su trimis erdvės matavimais. Dvi įtakas jo požiūriams padarė žmona: žydų tradicijų įkvėpto visuotinio misticizmo ir indų logikos.

2) Džiuzepė Peano (Giuseppe Peano, 1858-1932) – italų matematikas, didžiąją dalį praleido dėstydamas Tiurino universitete Svarus indėlis į matematinę logiką, aibių teoriją, matematikos filosofiją; sukūrė pagalbinę dirbtinę kalbą (Interlingua – lotynų kalbos pagrindu). Geriausiai žinomas natūrinių skaičių aksiomatizacija. Per 200 knygų ir straipsnių autorius.
Skaitykite apie Peano aksiomas

1880 m. baigė Tiurino universitetą, 1884 m. pasirodė pirmasis svarbesnis jo darbas – skaičiavimo metodų vadovėlis. Po kelių metų išleido pirmąją knygą, skirtą matematinei logikai, kurioje pirmąkart pasirodė šiuolaikiniai žymenys. 1890 m., kaip kontrpavyzdys, buvo pateikta garsioji erdvę užpildanti kreivė – parodant, kad tolydi kreivė ne visada izoliuojama pasirinktinai mažame regione. Tai ankstyvasis pavyzdys to, kas vėliau imta vadinti fraktalais.

1890 m. Peano įsteigė žurnalą „Rivista di Matematica“, o kitais metais pradėjo „Formulario“ projektą, kuris buvo „Matematikos enciklopedija“, kurio formulės buvo užrašytos Peano sukurtais žymenimis. 1897 m. Ciuriche susirinko pirmasis Matematikos kongresas, kurio pagrindiniu dalyviu buvo Peano, pristatęs pranešimą apie matematinę logiką. 1898 m. jis Akademijai pateikė straipsnelį apie dvejetainę numeraciją ir jos galimybę perteikti kalbos garsus. 1900 m. antrajame Matematikos kongrese iškėlė klausimą apie korektiškus matematikos apibrėžimus – šis klausimas liko jam svarbiausiu iki gyvenimo pabaigos. Jis taip užsiėmė „Formulario” projektu, kad ėmė kentėti dėstymas – tad jis pasitraukė iš Karališkosios karinės akademijos, tačiau pasiliko dėstyti Turino universitete, kur dirbo iki pat mirties (nuo infarkto).

3) Aleksandras Padoa (Alessandro Padoa, 1868-1937) – italų matematikas ir logikas, Peano mokyklos šalininkas. Jis pateikė metodą, leidžiantį nustatyti, ar duotai formaliai teorijai naujoji paprastoji notacija yra nepriklausoma nuo kitų paprastųjų notacijų. Analogiška problema yra aksiomatikoje, kai reikia nustatyti, ar viena aksioma yra nepriklausoma nuo kitų aksiomų.

1900 m. antrajame Matematikos kongrese iškėlė pristatė pranešimą „Naujoji apibrėžimų sistema euklidinei geometrijai“, kurio metu aptarė įvairias paprastąsias notacijas geometrijoje.

4) Fridrichas Frėgė (Friedrich Ludwig Gottlob Frege, 1848-1925) – vokiečių logikas, matematikas ir filosofas, analitinės filosofijos atstovas. Suformulavo logicizmo idėją, t.y. apie „matematikos suvedimą į logiką“.

Fregės tėvas buvo matematikos dėstytojas. 1873 m. apsigynė daktarinę disertaciją. 1879 m. tapo Jenos un-to profesoriumi. Jo indėlį į logiką lygina su Aristoteliu, K. Giodeliu ir A. Tarskiu. Jo „Sąvokų paskaičiavimas“ (1879) pradėjo naują erą logikoje. Jame labai aiškiai pateikė funkcijų ir kintamųjų sampratą; iš esmės aksiomatizavo predikatų logiką savo atrastų kvantorių, vėliau išplitusių visoje matematikoje, pagalba. Tai atvedė į B. Raselo aprašymų teoriją ir Giodelio nepilnumo teoriją. Straipsnyje „Prasmė ir reikšmė“ (1892) Fregė įvedė skirtumą tarp sąvokos prasmės (Sinn, konkretus aspektas) ir reikšmės (Bedeutung, dalykinė su vardu siejama sritis, dažnai verčiama nuoroda).

Frėgės darbai logikos srityje buvo mažai žinomi iki 1903 m., kai B. Raselas parašė priedą „Matematikos pagrindams“, kuriame išdėstė savo skirtumus nuo Frėgės teorijos. Frėgės idėjos išplito su jo mokinių R. Karnapo (1891–1970) ir kitų darbais bei kitų besidominčių, kaip L. Vitgenšteinas. `

5) Ričardas Dedekindas (Julius Wilhelm Richard Dedekind, 1831-1916) – vokiečių matematikas, pasižymėjęs algebros bei realiųjų skaičių srityse.

1852 m. apsigynė daktaro disertaciją apie Oilerio integralus. Matematiniu centru buvo laikomas Berlynas, tad Dedekindas ten 2 m. mokėsi kartu su Rymanu, o tada grįžo į Getingene, kur dėstė tikimybių ir geometrijos kursus. Susipažino su Dirichlė ir bendravo iki šio mirties 1859 m.

Pradžioje užsiėmė elipsinėmis ir Abelio funkcijomis ir pirmais Getingene pradėjo dėstyti Galua teoriją. Po 1862 m. grįžta į gimtąjį Braunšveigą.

1871 m., apibendrinęs daugianarių ir algebrinių skaičių teoriją, įveda abstrakčias struktūras: žiedus, idealus ir modulius. 1882 m. Straipsnyje (kartu su H. Veberiu) pritaikė idealus Rymano paviršiams ir taip įrodė Rymano-Roch’o teoremą. Kartu su Kronekeru sukuria bendrąją dalumo teoriją. Susipažįsta ir tampa Kantoro aibių teorijos šalininku. 1888 m. pasiūlė pirmąjį aksiomų variantą natūriniams skaičiams, panašią į tą, kurią po metų pasiūlė Peano. Kartu su Vejerštrasu pagrindė realiųjų skaičių teoriją (1876, Dedekindo pjūviai).

Redagavo pomirtinius Dirichlė, Gauso ir Rymano kūrinius.

6) Alfredas Vaithedas (Alfred North Whitehead, 1861-1947) – britų matematikas, logikas, filosofas, kartu su B. Raselu parašęs „Principia Mathematica“. Sukūrė savą platoniškosios „proceso filosofijos“ variantą su Bergsono elementais (t.p. skaitykite Deleuze ir Whitehead sąryšis).

1880 m. įstojo į Kembridžo Trinity koledžą, kur pradžioje jį tedomino matematika. Disertacija buvo skirta Maksvelo elektros ir magnetizmo teorijai. 1890 m. jo dėmesį patraukė iškiliausias jo mokinys B. Raselas, su kuriuo 1900 m. nuvyko į Paryžių, Pirmąjį tarptautinį filosofijos kongresą, kur juos sudomino Dž. Peano pranešimas ir aritmetikos aksiomatika. Iš to gimė „Matematikos pagrindai“, kurią B. Raselas tvarkė iki 1910 m. Tuo metu Vaithedas Karališkoje draugijoje perskaitė pranešimą „Apie matematines materialaus pasaulio sąvokas“, kuriame Niutono triadai (tikrovę sudaro erdvės taškai, materijos elementai ir laikas tarpsniai) priešpastatė Leibnico reliatyvumo teoriją („fizikos dėsniai ne pagrindžia geometriją, o ją kuria“).

Pirmojo pasaulinio karo metu užsiėmė filosofiniais fizikos pagrindimo klausimais A. Einšteino reliatyvumo teorijos šviesoje. „Gamtos mokslų principų tyrinėjimuose“ (1919) jis pristatė dar fizikų dėmesio nepritraukusią A. Einšteino reliatyvumo teoriją, bandė paaiškinti laiką, erdvę ir judėjimą remiantis žmogaus patirtimi.

1927 m. sausį buvo pakviestas skaityti paskaitų į Edinburgo un-tą. „Edinburgo paskaitos“ pasirodė 1929 m. pavadinimu „Procesas ir realybė“ ir užbaigė didžiųjų praeities metafizikinių traktatų seką. Jis Visatą aprašė kaip nuolatiniame tapsme esančias esybes.

7) Augustas Ferdinandas Mobiusas (August Ferdinand Möbius, 1790-1868) – vokiečių matematikas, mechanikas ir astronomijos teoretikas.

Tėvas buvo šokių mokytojas, o motina iš M. Liuterio giminės. Tėvas mirė jam tesant 3 m. amžiaus. Mokėsi namuose ir iškart susidomėjo matematika. Studijavo Leipcigo un-te. 1813-14 m. Giotingene lankė K. Gauso astronomijos paskaitas, o vėliau Halėje – I.F. Pfafo matematikos paskaitas. 1815 m. apsigynė daktarinę disertaciją. Nuo 1816 m. dirbo Leipcigo un-to astronomijos katedroje. Tačiau vėliau jam šlovę atnešė jo matematiniai tyrinėjimai, nors straipsnis apie garsųjį „Mobiuso lapą“ paskelbta po jo mirties (1858 m. Mobiusas nustatė vienpusių paviršių egzistavimą). 1848 tapo observatorijos direktoriumi. Jo vardu pavadintas asteroidas 28516.

Mobiusas paskelbė daug darbų iš geometrijos srities, ypač iš projektyvinės geometrijos, o taip pat matematinės analizės ir skaičių teorijos. Daugelį geometrijos rezultatų jis paskelbė originalioje knygoje „Baricentristinis skaičiavimas“ (1828), kurioje pristatė geometrijos šaką, kurioje tiriamos algebrinės operacijos su afininės ar euklidinės erdvės taškais. Baricentristinės koordinatės buvo pritaikytos baigtinių elementų metode.

Topologijoje įvedė unikursyvinės kreivės (grafą, kurį galima nubrėžti neatitraukiant plunksnos) sąvoką. Pimasis išnagrinėjo 3-ios eilės erdvines algebrines kreives. Mechanikoje daugiausia užsiėmė statika ir 1837 m. išleido dvitomį „Statikos vadovas“.

8) Baricentrinės koordinatės - koordinačių sistema, kurioje kurioje taško padėtis simplekso (trikampio, tetrahedrono ir pan.) taškas yra nurodomas kaip masės centras ar baricentras, masių, išdėstyto ant jo tiesių. Koordinatės išeina iš simplekso ribų, ir tada viena ar kelios koordinatės tampa neigiamomis. Sistemą 1827 m. įvedė A.F. Mobiusas.

[ Pastaba: Simpleksas yra trikmpio ar tetrahedrono apibendrinimas aukštesniems matavimams. ]

Baricentrinės koordinatės ypač naudingos inžineriniuose taikymuose naudojančiuose trikampinius metodus. Jos leidžia lengviau įvertinti analitinius integralus ir Gauso kvadratūrinės lentelės dažnai pateikiamos šiose koordinatėse.

9) Justas Belavitis (Giusto Bellavitis, 1803-1880) – italų matematikas žinomas indėliu į algebrinę geometriją. Dirbo Padujos universitete.

Domėjosi keliomis matematikos sritimis. 1835 m. sukūrė ekvipolencijų skaičiavimą, kur išvystė L.N.M. Karno idėjas apie “padėties geometriją”. 1854 m. paskelbė „Ekvipolencijų metodą“, kur išnagrinėjo algebrinius veiksmus su atkarpomis ir sukūrė hiperkompleksinių skaičių teoriją. Belavito metode kiekvienai tiesės taškų savybei atitinka plokštumos taškų savybė, kas palengvina grafinį uždavinių sprendimą; kreivių teorija, išvaduota iš koordinatinio atvaizdavimo, leidžia gauti paprastesnes ir bendresnes formules. Ši teorija pagrindžia Keli algebrą. Belavičio metodas nebuvo vystomas, nes tuo pat metu buvo paskelbtas Mobiuso baricentristinis metodas bei Hamiltono kvaternionų teorija.

10)Germanas Giunteris Grasmanas (Hermann Günther Grassmann, 1809-1877) – vokiečių fizikas, matematikas ir filologas, leidėjas.

Jo tėvas buvo Štetino gimnazijos profesoriumi, išgarsėjęs darbais geometrijos, fizikos ir kristalografijos srityse. Germanas išlaikė abu teologijos egzaminus Berlyno un-te ir iki gyvenimo pabaigos galvojo apie dvasininko kelią, tačiau susidomėjo matematika, ir išlaikė reikiamą egzaminą, kad galėtų dėstyti tiksliąsias disciplinas. Tam pateikė darbą apie jūros potvynius, kuriame išsakė vėliau išvystytas idėjas apie „pratęsimus“. Jis idėjas paėmė iš Laplaso „Dangaus mechanikos“ bei Lagranžo „Analitinės mechanikos“, tačiau perteikė naudodamas vektorinius metodus. Jo esėje yra pirmą kartą panaudota tai, ką dabar vadiname tiesine algebra bei vektorinės erdvės sąvoka.

1844 m. jis paskelbė pagrindinė savo darbą „Tiesinių pratęsimų teoriją, naują matematikos šaką“ (žymėtą A1), paveikusį ir filosofinius požiūrius. Grasmanas parodė, kad geometriją įkėlus į algebrines formas, matavimas 3 daugiau neturi privilegijuotos vietos ir erdvės matavimų kiekis tampa neribotu.

1846 m. Mobiusas pakvietė Grasmaną dalyvauti konkurse sprendžiant Leibnico iškeltą vadinamąją analysis situs (sukurti geometrinį skaičiavimą nenaudojantį koordinačių ir metrikų). Grasmano „Geometrinė analizė“ buvo pakankamas (ir vienintelis) darbas pergalei, tačiau Mobiusas sukritikavo Grasmano naudotą abstrakčių žymenų panaudojimo būdą.

1853 m. Grasmanas pristatė teoriją apie spalvų maišymą naudojant tris spalvas (Grasmano dėsnis). 1861 m. pristatė pirmą aksiomatinį aritmetikos pateikimą, įvesdamas laisvą indukcijos naudojimą. Apie 1890 m. tuo darbu ėmė remtis Peano su pasekėjais.

Grasmano darbus ėmė pripažinti tik po 1860-ųjų, - ir vienu pirmųjų buvo H. Hankelis. Vektorinių erdvių koncepcija išpopuliarėjo po Vaithedo „Universaliosios algebros“ (1898).

Dėstydamas ir užsiimdamas fizika ir matematika, dėmesį skyrė ir kinų bei senovės indų filologijai – jis išvertė „Rigvedą“ ir parengė žodyną jai. Jo posūkį link istorinės lingvistikos paskatino nusivylimas, kad visuomenėje nesuprantama matematikos svarba. Jis pasiūlė, dabar vadinamą jo vardu, indoeuropiečių kalbų dėsningumą.

11) Automorfines funkcijas, apibendrinančias elipsines funkcijas, 19 a. 9-me dešimtmetyje įvedė ir nagrinėjo A. Puankarė. 20-me a. beveik visi iškilūs matematikai vystė elipsinių funkcijų teoriją, labai naudingą sprendžiant diferencialines lygtis. Tačiau vis tik jos nepateisino vilčių, ir buvo susimąstyta, ar nereikia jų apibendrinti taip, kad tiktų platesnei lygčių klasei.

A. Puankarė idėją pasiėmė iš 1880 m. L. Fuchso straipsnio ir išvystė vadnamąją fuksinių funkcijų teoriją. Jis taip paaiškino savo atradimą:
15 dienų bandžiau įrodyti, kad neturėtų būti jokių funkcijų tokių kaip tos, kurias pavadinau fuksinėmis. [ ... ] Vieną vakarą, priešingai savo įpročiams, išgėriau kavos ir negalėjau užmigti. Būriais kilo idėjos, jaučiau jas susiduriant, kol poromis susipynė poromis sudariusios stabilią kombinaciją. Ryte nustačiau esant naują fuksinių funkcijų klasę, kildinamą iš hipergeometrinių eilučių – man beliko surašyti rezultatus, kas teužėmė vos kelias valandas.

Tačiau F. Kleinas pasiūlė jas vadinti „automorfinėmis funkcijomis“. A. Puankarė išvedė tų funkcijų išdėstymą eilutėmis, įrodė sudėties teoremą. Jis atrado ir ryšį su Lobačevskio geometrija, kas leido teoriją išdėstyti geometrijos kalba. 10-me a. teorija buvo išplėsta daugelio kintamųjų funkcijoms (žr. pvz., moduliarinės formos), bandyta dar labiau apibendrinti.

Automorfinės formos taikomos daugelyje sričių:

Apibrėžimas

Funkcija f, analitinė kurioje nors kompleksinių skaičių srityje G ir joje tenkinanti f(g(z))=f(z), kur g - tam tikros trupmeninių linijinių kompleksinės plokštumos transformacijų grupės suskaičiuojamo pogrupio elementas.

12) Liusas Kutiuras (Louis Couturat, 1868-1914) – prancūzų matematikas, logikas, lingvistas (tobulino Ido kalbą), filosofas, Leibnico idėjų tyrinėtojas, rūpinosi matematikos pagrindimu.

Mokėsi Paryžiaus Normalinėje mokykloje (filosofiją), buvo profesoriumi Tulūzos un-te, o vėliau Prancūzijos koledže. Įsitikinęs pacifistas, Kutiura žuvo į jo automobilį įsirėžus automobiliui, vežančiam šaukimus mobilizacijai.

Simbolinę logiką (kaip Vaithedas ir Raselas) laikė įrankiu tiek matematikos, tiek filosofijos pažangai – ir tuo buvo opozicijoje A. Puankarė intuicionizmui.

Jo pirma rimta publikacija buvo „De l'Infini mathematique“ (1896). 1901 m. išleido „Leibnico logiką“ – ir tas studijas tęsė ir vėliau ir tuo nemažai prisidėjo prie dėmesio Leibnicui 20 amžiuje. 1905 m. paskelbė veikalą apie logiką ir matematikos pagrindus su priedu apie KantoDž. Bulio, E. Šrioderio ir Č. Pirso logiką. 1907 m. atskleidė Ido kalbą, išvestinę iš Esperanto, ir tuo varžėsi su Peano Interlingua kalba.

13) Šarlis Ermitas ( Charles Hermite , 1822-1901) – prancūzų matematikas, Paryžiaus akademijos narys (nuo 1856 m.), apdovanotas garbės legiono ordinu (1892).

1842-45 m. mokėsi Politechnikos mokykloje, kurią po metų paliko dėl negalios (toji tuo metu buvo karinė institucija). 6 m. užsiimdamas asmeniškai, apgynė bakalauro laipsnį (1847). Apgynęs daktaro disertaciją, tampa jos profesoriumi (1869-1876). Dėstė ir Normalinėje mokykloje. Žinomiausi jo mokiniai: A. Puankarė ir T.J. Stiltjesas (Stieltjes).

Pagrindiniai darbai iš skaičių teorijos, kvadratinių formų teorijos, invariantų, ortogonalių (Ermito) daugianarių, elipsinių funkcijų ir algebros, indėlis į algebrinių formų ir jų invariantų teoriją, tame tarpe sveikųjų skaičių pateikimo algebrinėmis formomis... Atrado ypatingas bitiesines (Ermito) formas. Įrodė, kad e yra transcendentinis skaičius; vėliau jo metodą panaudojo F.von Lindemanas įrodymui, kad ir p yra transcendentinis.

Anri Puankarė
Puankarė teiginys
Begalybė (pristatymas)
Fichtės mokymas apie mokslą
Laplasas: asmenybė ir veikla
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
N. Hansonas. Atradimo modelis: stebėjimas
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Mokslo riboženkliai: 1867-ieji – kartų kaita
Betarpiško pažinimo problema 17 a. filosofijoje
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Blezas Paskalis: mokslinis mąstymas ir krikščioniškas tikėjimas
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Empirinis teorinio gamtos pažinimo pagrindimas
Dviejų filosofinės logikos paradigmų kova
VU Matematikos fakultetas pokariu
V. Nalimovas. Skaičiaus filosofija
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Gotfydas Vilhelmas Leibnicas
Revoliucija mazgų teorijoje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Specialioji reliatyvumo teorija
Matematikai: Davidas Hilbertas
Hipatija – pirmoji matematikė
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Kur viešpatauja chaosas?
Algebros istorija
Matematikos keliu
Vartiklis