Kiekviena paprastai sujungta kompaktiška uždara trimatė daugdara yra homeomorfinė trimatei sferai.
Taip pat skaitykite: Erdvės formos
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
2010 m. kovo 18 d. Clay Matematikos institutas (CMI) paskelbė, kad Grigorijui Perelmanui (Rusija, St. Peterburgas) paskirta Tūkstantmečio premija už Puankarė teiginio įrodymą. Taip pat pranešta, kad 2011 m. birželio 8-9 d. Paryžiuje CMI ir A. Puankarė institutas**) (HPI) rengia konferenciją Puankarė teiginio įrodymo proga. Matematikas premijos atsisakė, žr. daugiau >>>>
Tai sukėlė tikrą šoką. Tarptautinės matematikų draugijos prezidentas atskrido į Peterburgą ir 10 val. įkalbinejo Grigorijų priimti apdovanojimą, kurį planavo įteikti Madride dalyvaujant karaliui Chuanui Karlosui I, tačiau Perelmanas buvo neperkalbamas.
Naujiena: Į G. Perelmano argumentaciją, atsisakant jam skirtos premijos (daugiau apie tai >>>>), kad atlygio nusipelnė ne vien tik jis, buvo atsižvelgta 2011 m. Shaw premija (1 mln. dolerių) matematikos srityje dalijama pusiau ir viena jos dalis skiriama R. Hamiltonui, padėjusiam pagrindus Puankarė teiginio įrodymui. Daugiau apie tai >>>>
Sąvokos
Norint suprasti formuluotę, reikia išsiaiškinti, ką reiškia naudojamos sąvokos.
Trimatė sfera tai yra keturmatis kamuolys, kuris tenkina lygtį x2 +
y2 + z2 + w2 = r2, kur r yra spindulys.
Taigi, vienmatė sfera yra apskritimas, dvimatė sfera yra rutulio paviršius, o trimatė sfera yra vienu matavimu aukštesnis paviršius.
Daugdara - tai erdvė, kuri sudaroma suklijuojant Euklido erdvės gabalus. Pavyzdžiui, galime paimti du dvimačius skritulius, išlenkti juos taip, kad susidarytų pusrutuliai ir tada juos suklijuoti. Gausime dvimatę sferą. Panašiai iš stačiakampio suformuojamas toras (baronka") suapvalinant ir sujungiant galus.
Trimatę sferą galima pagaminti iš dviejų rutulių. Tada įsivaizduokite, kad pirmojo rutulio paviršiaus kiekvienas taškas yra sujungtas su kito rutulio atitinkamu paviršiaus tašku.
Sakoma, kad daugdara turi kraštą arba ribą, jei bent vienas iš ją sudarančių gabalų suklijuotas su kitais ne visais kraštais. Puankarė teiginyje viena sąlygų yra kraštų neturėjimas (kaip sfera ar toras). Pateiktoje formuluotėje tai išreiškiama žodžiu uždara".
Kompaktinė daugdara yra apribota ir nesitęsia į begalybę (kaip į begalybę tęsiasi plokštuma ar begalinio ilgio cilindras). Skaitykite daugiau apie kompaktiškumo sampratą: >>>>
Homeomorfiškumas yra topologijos sąvoka, išreiškianti objekto topologinių savybių tapatumą, pvz., puodukas topologiškai yra homeomorfinis torui (žiedui) - žr. >>>>.
Daugdara yra paprastai sujungta, jei bet kokia jos paviršiuje nubrėžta kilpa gali būti
sutraukta į tašką. Pavyzdžiui, ant sferos užrišta virvutė. Tuo tarpu toras nėra paprastai sujungta
daugdara, nes per žiedą perrištos virvutės nesutrauksite į tašką, kad ir kaip ją tampytume (aišku, kiaurai nepersmaukę žiedo)
[ Gana aišku, kodėl Puankarė teiginyje yra jungumo reikalavimas dviejų jungių, tačiau ne homeomorfinių daugdarų
pavyzdžiai yra toras ir sfera ].
Istorija
20 a. pradžioje Anri Puankarė (Henri Poincare) klojo topologijos pagrindus, tai, kas vėliau imta vadinti kombinatorine arba algebrine topologija. Jis ypač domėjosi sferos topologinėmis savybėmis. 1900 m. jis tvirtino, kad homologija, įrankis, kurį jis sukūrė remdamasis ankstesniais Enriko Bečio*) (Enrico Betti) darbais, yra pakankamas įrodyti, kad trimatė daugdara yra trimatė sfera. Tačiau 1904 m. jis pateikė paneigiantį pavyzdį, dabar vadinamą Puankarė homologine sfera, kuri buvo pirmąja daugdara, turinčia tą pačia homologiją su sfera ir iš kurios daugelis kitų buvo sukonstruota. Kad įrodytų, kad toji skiriasi nuo trimatės sferos, Puankarė įvedė naują topologinį invariantą, fundamentaliąją grupę ir parodė, kad Puankarė sferos fundamentalios grupės laipsnis yra 120, o trimatės sfera teturi trivialią" fundamentalią grupę (triviali" reiškia, kad kiekviena kilpa gali būti sutraukta į tašką".
Puankarė teiginys ilgokai nepatraukė dėmesio, kol 4-me dešimtm. J.H.C. Whitehead'as susidomėjo juo. Jis atrado kai kurių įdomių paprastai sujungtų nekompaktiškų trimačių daugdarų, kurios nėra homeomorfinės R3, kurio prototipas dabar vadinamas Whitehead'o daugdara.
6-7 dešimtm. matematikai pateikdavo įrodymus, kurie pasirodydavo esą su klaidomis. Įveikti teiginį bandė garsūs matematikai: R. Bingas***), W. Hakenas, E. Moisė, Ch. Papakyriakopoulas, G. Whitehead, J. Stallings ir kt. 1958 m. R. Bingas įrodė silpnąją Puankarė teiginio versiją. Bandymus įrodinėti populiariai apžvelgia G. Szpiro knyga Puankarė premija".
1961 m. Stephen Smale įrodė Apibendrintą Puankarė teiginį (homotopinė n-matė sfera yra homeomorfinė n-matei sferai), kai n > 4. Kartu tai parodė, kad 3 ir 4 matavimų sferoms reikia taikyti visai kitokias teorijas. Tai pasitvirtino po dešimtmečio, kai 1982 m. M. Freedman'as įrodė jį keturmačiam atvejui. Jis taip pat pateikė visų paprastų keturmačių daugdarų klasifikaciją. Tiek S. Smale (1966), tiek M. Freedman'as (1986) gavo Fieldso medalius.
1982 m. R. Hamiltonas pateikė straipsnį, kuriame į daugdarą įtraukė Riči srautą
(tenzorių; jis remiasi prieš 160 m. Ž. Furjė pateikta diferencialine lygtimi) ir parodė, kaip jį panaudoti
kai kurių Puankarė atvejų įrodymui. Tai buvo Hamiltono programa. Vėliau jis tai išplėtė, tačiau Puankarė teiginio įrodyti nesugebėjo.
Perelmanui pavyko, nes jis įvedė naujų elementų, tame tarpe entropiją, kuria matavo ne betvarkę
atominiame lygyje (kaip įprasta termodinamikoje), o globaliosios erdvės geometrijos betvarkę. Ši naujoji
entropija irgi auga laikui bėgant. Taip pat naudojo J. Cheeger'io bei
P. Aleksandrovo
įvestas teorijas, kad nustatytų erdvės ribas, kurios keičiasi veikiamos Riči srauto.
Hamiltono programa prasideda Rymano metrikos uždėjimo nežinomai trimatei daugdarai. Tą metriką pagerina" panaudodami Riči srauto lygtį:
kur g yra metrika, o R yra Riči tenzorius. Tikimasi, kad laikui t bėgant
daugdara bus lengviau suvokiama.
Įrodymas
2002-2003 m. keliuose straipsniuose rusų matematikas G. Perelmanas nurodė Puankarė teiginio įrodymo principus.
Jis rėmėsi R. Hamiltono programa.
Įrodymas išlaikė patikrinimą ir 2006 m. buvo patvirtintas (rastos klaidelės buvo nežymios ir galėjo būti ištaisytos naudojant tą pačią techniką).
Tačiau G. Perelmanas atsisakė Clay matematikos instituto įsteigtos milijono dolerių premijos,
skiriamos už bet kurios Tūkstantmečio problemos išsprendimą (kurių yra 7-ios; ir tik ši tėra išspręsta).
Apie tolimesnes periperijas dėl Puankarė teiginio įrodymo žr. >>>>>
Be kitų naujovių, Perelmanui reikėjo išspręsti ir klausimą, kaip surasti geometrinių figūrų ribas (panašiai, kaip reikia rasti ribas matematinėje analizėje, ko mokoma pirmajame kurse). Čia verta prisiminti Zenoną ir jo paradoksą: stovite kambario viduje, tada nueinate pusę atstumo iki durų, po to dar pusę likusio atstumo ir t.t. Kiekvienąkart jūs arčiau durų, tačiau visada lieka vis mažėjantis atstumas iki jų. Durys yra riba, tačiau jų niekada nepasieksite per baigtinį priartėjimų skaičių. O dabar įsivaizduokite erdvinį kūną, besikeičiantį bėgant laikui. Kiekvienu žingsniu kūnas pasikeičia, bet niekada netampa idealios formos (glotnus). Ribiniam kūnui situacija skiriasi. Jis gali būti glotnus arba turėti ypatingų taškų, kitaip, singuliarumų. Ribinės formos yra vadinamos Aleksandrovo erdvėmis.
Diferencialinių lygčių taikymo geometriniams uždaviniams pradžią žymi 1963-iųjų J. Eels'o ir J. Sampson'o straipsnis. Jie įvedė harmonišką mapinimo lygtį, savotišką netiesinę Furjė šilumos lygties versiją. Pasirodė, kad tai galingas įrankis, leidžiantis spręsti geometrijos ir topologijos uždavinius. Reikia paminėti ir Yang-Mills lygtį, atėjusią iš kvantinių laukų fizikos. 1983 m. ji panaudota griežtų apribojimų nustatymui keturmatėje erdvės paviršiuose.
G. Perelmanas ir R. Hamiltonas įrodė teiginį deformuodami
daugdarą panaudodami vadinamąjį Riči srautą (kuris elgiasi panašiai kaip šilumos lygtis, parašanti šilumos sklidimą kūnu).
Riči srautas kūną deformuoja į apvalesnę formą - išskyrus kai kuriuos atvejus, kai jis ištempia daugdarą
(tarsi karštą mozarelos sūrį) link singuliarumų. Tada G. Perelmanas ir R. Hamiltonas nukirsdavo
daugdarą ties singuliarumais (procesas, kuris vadinamas chirurgine operacija") priversdamas atskirus
gabalus suformuoti kamuolio formos objektus. Įrodyme pademonstruojama kaip elgiasi Riči srauto deformuojamos daugdaros,
nustatoma, kokio tipo singuliarumai susidaro, nustatoma, ar operacija" gali būti užbaigta ir ar nereikės jos kartoti begalinį skaičių kartų.
© 2009. Visos teisės saugomos. Jokia teksto dalis negali būti panaudota be leidimo ir šaltinio nurodymo.
Literatūra
- G. Szpiro. Poincare's Prize
- R.H. Bing. Some aspects of teh topology of 3-manifolds related to Poincare conjecture// Lectures on Modern Mathematics, vol. II, 1964
- R. Hamilton. Three-manifolds with positive Ricci curvature// J. of Differential Geometry, no 17, 1982
- G. Perelman. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Nov. 11, 2002
- G. Perelman. Ricci flow with surgery on three-manifolds, March 10, 2003
- G. Perelman. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, July 17, 2003
- J. W. Morgan, Gang Tian. Ricci Flow and the Poincare Conjecture, 2007
- B. Kleiner, J. Lott. Notes on Perelman's papers, 2006
- Huai-Dong Cao, Xi-Ping Zhu. Hamilton-Perelman's Proof of the Poincare Conjecture and the Geometrization Conjecture, Dec. 2, 2006
- M. Anderson. Geometrization of Three Manifolds via the Ricci Flow// Notices of the AMS, vol. 51, No 2
- K. Chang. Highest Honor in Mathematics is Refused// New York Times, Aug. 22, 2006
- J. Cheeger. M. Gromov. Collapsing Riemannian manifolds while keeping their curvature bounded. I and II // J. Differrential Geom, 1986, vol.23, no 3; 1990, vol.32, no 1
- S.K. Donaldson. An application og gauge theory to four-dimensional topology// J. Differrential Geom., 1983, vol.18
Matematikos genijus pasitraukė
Barzdotas Griša Perelmanas linkęs gyventi tarsi atsiskyrėlis tarakonų apgultame bute St. Peterburge
ir atsisako Clay matematikos instituto jam skirtos 1 mln. dolerių premijos už Puankarė teiginio įrodymą.
Pro uždarytas duris jis pasakė korespondentui: Man nieko nereikia. Aš turiu viską, ko noriu.
M. Gromovas palaikė G. Perelmano sprendimą: Dideliems darbams reikia nesuteršto proto.
Privalai mąstyti tik apie matematiką. Visa kita žmogiška silpnybė. Priimti apdovanojimą reiškia parodyti silpnybę.
Plečiantis šiam skirsniui apie Perelmano gyvenimo peritetijas, nusprendžiau atskirti nuo šio puslapio ir perkelti į atskirą straipsnelį:
Skaitykite Ar sunku suprasti keistuolį?
*) Enrikas Betis (Enrico Betti Glaoui, 1823-1892) italų matematikas ir fizikas, žinomas topologijos darbais. Taip pat užsiėmė algebra ir matematine analize. Nuo 1864 m. buvo Pizos Aukštesniosios normalinės mokyklos direktoriumi tuo metu tai buvo stipriausia mokslo įstaiga Italijoje. Pradžioje dėmesį skyręs algebrai (Galua teorijai) ir matematinei analizei (elipsinės funkcijos), 1858 m. susipažinęs su Rymanu, tęsė darbus daugiamatės geimetrijos ir matematinės fizikos srityse. 1871 m. paskelbė straipsnį Apie bet kokių matavimų erdves, kuriame apsirodė sąvoka, veliau pavadinta Bečio skaičiais. Prisidėjo prie daugiamačių paviršių jungumo teorijos, potencialų teorijos vystymo. Fizikoje tyrinėjo šilumos sklidimo, kapiliariškumo, hidrodinamikos klausimus. Kūnų stangrumo (elastingumo) srityje atrado Bečio teoremą.
**) A. Puankarė vardo institutas (Institut Henri Poincaré) matematikos tyrimų įstaiga, priklausanti Pjero ir Marijos Kiuri vardo universitetui ir esanti CNRS (Nacionalinis mokslinių tyrimų centras) asociacijoje. Įsikūręs Paryžiuje Šv. Ženevjietės kalvoje greta kitų aukštųjų mokyklų. Iškart po Pirmojo pasaulinio karo buvo skirta lėšų centro paskaitoms ir tarptautinio bendradarbiavimo užtikrinimui matematikos ir teorinės fizikos srityse. Centras atidarytas 1928 m. lapkričio 17 d. jis netruko tapti mėgstama prancūzų mokslinės bendruomenės susirinkimų vieta. Dabar kasmet čia priiimama apie 11 tūkst. matematikų, organizuojamos konferencijos, intensyvūs bendradarbiavimo kursai ir pan. Institutas leidžia tris matematinius žurnalus, publikuojančius fundamentalius atitinkamų sričių straipsnius, - planuojamas ir ketvirtasis. Rengia ir plačiai visuomenei skirtus renginius. Jo bibliotekoje surinkta apie 400 įvairių matematinių modelių, pagamintų iš įvairių medžiagų (stiklo, plastiko, kartono, vielos,...). Nuo 2009 m. jam vadovauja Fieldso premijos laureatas Cédric Villani.
***) R.H. Bingas (R.H. Bing, 1914-1986) amerikiečių matematikas, daugiausia dirbęs geometrijos
topologijos ir kontinuumo teorijos srityse, yač didelį dėmesį skiriant 3D daugdaroms ir T3
geometrinei topologijai. Jo metodų stiliui naudotas Bingo tipo topologija įvardijimas. Buvo MAA (196364) ir AMS (197778) prezidentu.
Jį domino Puankarė teiginys ir padarė keletą rimtų bandymų jam įrodyti, tačiau jam nepasisekus, teiginys imtas laikyti
labai sudėtingu. Jis atsakingas už Punkarė teiginio ypatybės (Property P conjecture), kuri yra
sukalbesnė Puankarė teiginio versija, tyrimo iniciaciją. Tik likimo ironija, kad ji įrodyta 2004 m., praėjus kažkiek laiko po
to, kai G. Perelmanas paskelbė apie pačio Puankarė teiginio įrodymą.
Erdvės formos
Topologija
Černo medalis
Visatos mechanika
Tūkstantmečio problemos
Perelmano peripetijos
Riči srautas ir tenzorius
Ar įrodytas abc teiginys?
Didžioji Ferma teorema
Matematikai: Anri Puankarė
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Visatos topologija: pradžiamokslis
M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius
Apie reliatyvumo teorijos prioriteto nustatymą
Erdvės B tyrimas remiantis Puankarė modeliu ir kai kurios išvados
Intuicijos problema pas Puankarė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Iniciatyva: Matematikos keliu
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Pasikėsinimas į milijoninę premiją
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
Rymano hipotezės paaiškinimas
2018 metai matematikoje
Paslėpti erdvės matavimai
Smeilo paradoksas
Tenzoriaus samprata
Fieldso medalis
Žanas Furjė
Matroidai
Vartiklis