Kaip išgyventi aukštesnius matavimus? Vartiklis

Pastaba: Straipsnis Kaip išgyventi aukštesnius matavimus gali būti įvadu į Puankarė teiginio supratimą.

Visų mokslų esmė yra smalsumas. Žmogus neišvengiamai ima kelti klausimus apie pasaulį. Ir matematikos nemažas privalumas tas, kad tą akimirką, kai paklausiama, iš principo žinoma, kad bus surasta atsakymas vien loginio samprotavimo pagalba. Todėl užsiėmimai matematika yra labai patrauklus ir naudingas laiko praleidimas. Atsakymo suradimui nereikia nei atlikinėti ilgų ir nuobodžių eksperimentų, nei ilgų valandų bibliotekose. Tereikia pakankamai sveiko proto nuovokos, pakankamo žinių kiekio ir suprasti klausimą išreiškiančius žodžius. Ir dar, galbūt, pieštuko ir popieriaus lapo.

Viskas tai atrodo gražu, teoriškai! Praktikoje paprasčiausiai skambantys klausimai virsta tokiais, į kuriuos beveik neįmanoma atsakyti. Tai ne tik nusivylimo šaltinis, bet ir tam tikra romantikos dozė matematikoje. Joje yra nemažai Didžiųjų problemų, kurios neišsprendžiamos šimtus ir net tūkstančius metų, nepaisant didžiausių protų pastangų. Jas gaubia pasakojimai apie žmones, ilgus metus skyrusius uždavinio sprendimui, netvarkingai besimaitinusius ir mažai miegojusius ir neretai gyvenusius ir mirusius vienatvėje, skurde ir nusivylusius savo gyvenimu. Ir nors žinoma, kad tuos kietus riešutėlius bandė krimsti gerokai protingesni, vis naujos mėgėjų ir profesionalų bangos vėl ir vėl jų imasi.

Tiesa, nėra griežtų kriterijų pagal kuriuos būtų nustatoma klausimo priskyrimas Didžiosioms problemoms. Aišku, padeda, jei problema aiškiai suvokiama, kaip, pvz., Goldbacho^*) teiginys. Ji teigia, kad bet kuris lyginis skaičius, didesnis nei 2, gali būti išreikštas dviejų pirminių skaičių suma (40=23+17; 42=37+5; 44=31+13 ir t.t.). Bet kuris gali lengvai patikrinti, kad tai teisinga bet kuriam lyginiam skaičiui, mažesniam už 100, o superkompiuteriai patikrino tai ir labai dideliems skaičiams. Tačiau dar nė vienam nepavyko įrodyti, kad tai galioja kiekvienam lyginiam skaičiui. Beje, ar hipotezė teisinga, ar klaidinga, jokios tiesioginės naudos iš to nebūtų niekam. Pats įdomumas yra problemos išsprendimas, o ne rezultatas.

Kita Didžioji problema yra Rymano hipotezė (tokia laikoma nuo tada, kai Andrew Wiles kambaryje užsidarė 7-iems metams, kad įrodytų Ferma teoremą [1992]), tokia tapusi dėl visiškai priešingų dalykų. Kad suprastum jos formuluotę, reikia gilių žinių kompleksinio kintamojo analizėje. Metams bėgant matematikai parodė, kad daug kitų, ne tokių garsių, problemų būtų išspręsta, jei ši hipotezė būtų įrodyta.

Trečias būdas – tai klausimą Didžiąją problemą sukurti dirbtinai. Gerai žinomas Hilberto sudarytas 23 problemų sąrašas, o vėliau – Klėjaus matematikos instituto 7-ių Tūkstantmečio problemų sąrašas, kai už kiekvienos jų išsprendimą pažadėta 1 mln. dolerių premija.

Įdomiausia, kad su laiku Puankarė teiginys buvo įrodytas 4, 5, 6 ir t.t. iki begalybės matavimams (vienmačiui ir dvimačiui atvejui įrodyta dar 19 a.), tačiau trimatis atvejis niekaip nepasidavė.

Tai atrodo keista dėl dviejų priežasčių. Pirma, trimatė erdvė atrodo esanti tokia „sava“, mes joje gyvename, ją stebimi. Aukštesni matavimai daugeliui žmonių tiesiog neįsivaizduojami. Tačiau matematikai dėl jų neturi problemų – mat objektas pradeda egzistuoti kai tik pateikiamas jo apibrėžimas (visai nepriklausomai, ar yra ryšis su realiu pasauliu ar ne).

Tad tereikia surasti tinkamą apibrėžimą n matei erdvei, kuri derėtų su mums suvokiamomis 1, 2 ir 3 matavimų erdvėmis. Jose matavimas nustatomas pagal tai, kiek yra krypčių, kuriomis iš taško galima išvesti stačiu kampu susikertančias tieses (17 a. Dekarto įvesta koordinačių sistema). Tokiose erdvėse bet kurį tašką galima vienareikšmiškai nurodyti vienu skaičiumi, jų pora arba trejetu.

Taip kyla akivaizdus būdas apibrėžti 4-matę erdvę, kai kiekvienas jos taškas nurodomas skaičių ketvertu (a, b, c, d) ir t.t. Toks apibrėžimas leidžia mums tirti žemesnių matavimų objektus aukštesnių matavimų erdvėse. Tad kaip taškai (1, b, c) sudaro plokštumą trimatėje erdvėje, taip visi taškai (2, b, c, d, 4) sudaro Distance on Plane: Example

trimatę hiperplokštumą penkiamatėje erdvėje. Tokiu būdu mažesnių matavimų geometrinės figūros (pvz., kubai) gali būti apibendrinti aukštesnių matavimų erdvėse. Pvz., trimatį kubą sudaro visi taškai (a, b, c), kurių kiekviena koordinatė yra tarp 0 ir 1 (t.y., 0<=a<=1; 0<=b<=1; 0<=c<=1). Taip visi n-matės erdvės taškai, kurių koordinatės yra tarp 0 ir 1, sudarys n-matį kubą. Lygiai taip pat galima apibrėžti kubo dalis (briaunas, šonus, kampus ir pan.) bei kitas geometrines figūras.

Tačiau vien taško nustatymo nepakanka, kad turėtume pakankamą struktūrą. Kita svarbi sąvoka yra atstumas tarp taškų. Tiesėje (vienmatėje erdvėje) matuoti atstumą paprasta – tereikia atimti jų koordinates (pvz., atstumas tarp 3 ir 5 yra 5-3-2). Dvimatėje erdvėje į pagalbą pasitelkiame Pitagoro teoremą – ir iš jos, bendruoju atveju, atstumas tarp taškų (x₁, y₁) ir (x₂, y₂) yra

Taip n-matėje erdvėje atstumą tarp taškų p=(p₁, p₂, ..., p_n) ir q=(q₁, q₂, ..., q_n) apibrėžiame:

Kai turime matą erdvėje, jau galime daryti visa, ką tik norime, t.y., apibendrinti visas kitas idėjas. Ir yra vienas svarbus objektas Puankarė teiginiui – tai apskritimo apibendrinimas.

Įprastinis apskritimas (t.y. vienmatis apskritimas dvimatėje plokštumoje) yra visi taškai, esantys vienodu atstumu (spinduliu) nuo centro. Tada n-matė sfera (t.y. n-matis „apskritimas“) Sⁿ n+1 erdvėje yra visi taškai, esantys vienodu atstumu r nuo centro. Taip 2-matė sfera yra sfera trimatėje erdvėje (kurią galime įsivaizduoti kaip muilo burbulą). Tačiau S³, nors tai ir 3-matis objektas, vizualizuoti jau negalime, nes ji „apsigyvenusi“ keturmatėje erdvėje. Circle

Tiriant objektus daugiamatėse erdvėse, natūraliai kyla klausimai, kokios jų savybės mane domina, o kokios nedomina. Pvz., du apskritimai laikomi vienodais, jei jų spinduliai vienodi. Šiuo aspektu dar toliau eina topologija. Joje du objektai vienodi, jei iš vieno galima gaunant kitą spaudžiant, tempiant, tačiau neplėšant ir neklijuojant (žr. iliustruotą paaiškinimą >>>>). O tos savybės, kurios nesikeičia atliekant tokius veiksmus, vadinamos topologinėmis savybėmis. Vien tokių savybių yra jungumas (žr. >>>> ).

Topologijos uždavinys nėra nustatyti ar du objektai yra vienodi topologiškai (dažnai, tai nesunku padaryti). Tačiau neretai įrodyti, kad du objektai nėra topologiškai vienodi, gerokai sunkiau. Mat negalite laiko begalinį kiekį kartų tampyti ir spaudyti objektus. Tad vienintelis būdas neatitikimo įrodymui yra topologinės savybės, kurią vienas objektas turi, o kitas – neturi, suradimas. Pvz., jungumo savybė gali būti panaudota įrodant, kad tiesė nėra topologiškai tapati plokštumai. Abu objektai yra jungūs, tačiau iš plokštumos pašalinus tašką, ji lieka jungi, tuo tarpu tiesė – ne.

Tačiau jungumo savybė mažai padeda bandant įrodyti, kad dvimatės sferos paviršius nėra tapatus dvimatei plokštumai. Šiuo atveju prireikia kompaktiškumo savybės (žr. >>>> ). Šią koncepciją sunkiau paaiškinti, neįtraukiant kitų sąvokų, tačiau ją abstrakčiai galima apibrėžti, kaip tenkinančią du reikalavimus:
a) bet kokiame apribotame objekte, kuris randasi platesnėje erdvėje, visų jo sekų riba priklauso pačiam objektui;
b) objektą patalpinus aukštesnių matavimų erdvėje, yra baigtinio tūrio dėžė, į kurią jis sutelpa.

Nelabai aišku, ar ne? Todėl paaiškinsiu pavyzdžiais. Jei paimsime vienmatę skaičių tiesę, tai vienas kompaktinių objektų bus uždaras intervalas [0..1], nes a) jam priklauso ribiniai taškai 0 ir 1; b) galime rasti baigtinio ilgio dėžę, į kurią jis telpa (pvz., intervalą [-5..5] ). Tačiau plokštuma, iš kurios pašalintas taškas (0, 0), nėra kompaktiška, nes yra daugybė sekų, kurių riba yra (0, 0), tačiau šis taškas nepriklauso mūsų objektui. Be to, tas objektas netenkina ir antros sąlygos, nes jį patalpinus, tarkim trimatėje erdvėje, visos ją gaubiančios „dėžės“ turės begalinį tūrį.

Toliau, įdomi objektų grupė yra daugdaros (žr. >>>> bei >>>> ). Jas galime įsivaizduoti kaip n-mačius objektus, kurie joje (ant jos) gyvenančioms būtybėms atrodytų neatskiriama nuo pačios n-matės erdvės (kaip žmonėms sunkų suvokti, kad gyvename ne ant plokščios Žemės). Daugdarų pavyzdžiais gali būti tos pačios Sⁿ.

Tačiau tada kyla klausimas – kiek gali būti skirtingų n-mačių daugdarų – ir būtent šis klausimas nedavė ramybės Henry Poincare (1854-1912). Ir būtent su tuo susijęs Puankarė teiginys – tiksliau, jis yra apie specialią kompaktiškai jungių daugdarų klasę.

Puankarė teiginys toks:
Kiekviena paprastai sujungta kompaktiška uždara trimatė daugdara yra homeomorfinė trimatei sferai.

Daugiau apie šį teiginį ir jo įrodinėjimo istoriją skaitykite atskirame puslapyje Puankarė teiginys, o taip pat Erdvės formos, kuriame paaiškinama ir daugdarų klasifikavimo klausimai bei ryšis su mūsų Visata. Straipsnyje Visatos mechanika aptariami galima mūsų Visatos forma.

^*) Christianas Goldbachas (Christian Goldbach, 1690-1764) - vokiečių matematikas iš Karaliaučiaus. Žinomas Goldbacho problema, kurią 1742 m. laiške pasiūlė L. Oileriui. Taip pat įrodė kelis teiginius apie tobulus laipsnius. Taip pat 1742 m. įsidarbinęs Rusijos Užsienio reikalų ministerijoje užsiėmė pasiuntinių korespondencijos dešifravimu; nuo 1728 m. buvo Petro II mokytoju.