Pirminiai skaičiai  

„Gal Dievas ir nežaidžia kauliukais Visatoje, tačiau kažkas keista vyksta su pirminiais skaičiais“, Paul Erdos (1913-1996).

Papildomai skaitykite „Pirminio skaičiaus“ koncepcija    
Taip pat skaitykite: Pirminiai dvyniai    
Naujas pirminių skaičių dėsningumas    
Kai kurios pirminių skaičių formos    
Rymano hipotezės paaiškinimas    

Pirminis skaičius – natūrinis (t.y. sveikas teigiamas) skaičius p, toks, kad p>1 ir neturi kitų sveikų teigiamų daliklių be 1 ir savęs paties (t.y. p). Pvz., 13 yra pirminis skaičius, nes dalijasi tik iš 1 ir 13, o 12 nėra pirminis, nes dalijasi ne tik iš 1 ir 12, bet ir iš 2, 3, 4, 6. Todėl 12 yra sudėtinis skaičius. Visi pirminiai skaičiai yra nelyginiai, išskyrus vienintelį atvejį – 2 yra pirminis skaičius (nors buvo metas, kai 2 nebuvo laikomas pirminiu skaičiumi).

Pastaba: Vienetas ( 1 ) yra specialus atvejis, nes jis nelaikomas nei pirminiu, nei sudėtiniu skaičiumi. Jis buvo laikomas pirminiu skaičiumi, tačiau reikalauja būti išskiriamas daugeliu atvejų, todėl paprastumo sumetimais nelaikomas pirminiu (pvz., tektų performuluoti fundamentaliąją aritmetikos teoremą).

2 yra ne tik mažiausias pirminis skaičius, ir vienintelis lyginis pirminis skaičius… jis vienintelis teigiamas skaičius, kuris pakeltas kvadratu padvigubėja ir jis vienintelis, kurio n-ųjų laipsnių suma lygi jo paties laipsniui, t.y. 23+23=24. Kompiuterių matematikoje yra svarbu, kad dvejetainės skaičiavimo sistemos pagrindas yra 2.

Paskaitykite kaip apie pirminius skaičius diskutuoja vištos...

Pirmieji pirminiai skaičiai yra 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... 2008 m. rugsėjo mėnesį Kalifornijos matematikai rado naują didžiausią (tuo metu), beveik 13 mln. skaitmenų ilgio pirminį skaičių 243 112 609-1, kuris yra Merseno skaičius. EFF*) skyrė 100 tūkst. dolerių premiją už pirminio skaičiaus, didesnio nei 107 suradimą. 2018 m. gruodžio 7 d. paskirstytų skaičiavimų tinkle GIMPS didžiausią 24 862 048 skaitmenų Marseno skaičių 282,589,933 (M82589933) IT specialistas iš JAV Patrick Laroche. Plačiau apie didžiausius pirminius skaičius >>>>>

Apie 300 m. pr.m.e. Euklidas parodė, kad pirminių skaičių yra begalinis skaičius (daugiau apie tai >>>>). Trumpai išdėstant, įrodymas būtų toksai:

Tarkim, kad jų skaičius baigtinis. Sudauginkime juos visus ir pridėkime 1 (Euklido skaičius). Gautas skaičius nesidalija nė iš vieno iš turimų pirminių skaičių. Vadinasi, privalo egzistuoti dar bent vienas pirminis skaičius, iš kurio jis dalintųsi.

Vėliau matematikai pateikė ir kitus begalinio pirminių skaičių kiekio įrodymus. Vienas jų, pateiktas Oilerio, parodo, kad visų skaičių, atvirkštinių pirminiams skaičiams, suma diverguoja, t.y. 1/2+1/3+1/5+1+1/7+1/11+..= ¥ S(n) žymi visų atvirkštinių pirminių skaičių p <= n sumą.
S(n) = ln ln n + O(1) -> ¥
Kitą įrodymą, besiremiantį Ferma skaičiais, pateikė Ch. Goldbachas, o ypač elegantiškas yra E. Kummer‘io įrodymas. H. Furstenbergas jį įrodė naudodamas bendrosios topologijos terminus.

2 a. pr.m.e. graikų matematikas Eratostenas pasiūlė paprastą metodą pirminių skaičių nuo 2 iki n suradimui. Kitas būdas generuoti pirminius skaičius, tai imti laimingus skaičius (lucky numbers), kurie irgi yra atsijojami. Šie rodo kai kurias įdomias bendras su pirminiais skaičiais asimptotines savybes.

Eratosteno rėčio patobulinimas

Peru matematikas Harald Helfgott’as patraukė dėmesį 2013 m., kai įrodė 271 m. senumo Goldbacho silpnąjį teiginį – kad bet kurį nelyginį skaičių galima išreikšti 3-ių pirminių skaičių suma (pvz., 3+3+5=11; 19+13+3=35)

Tačiau 38 m. amžiaus mokslininkas ties tuo nesustojo ir sumąstė, kaip patobulinti Erotesteno rėtį (išdėstytą apie 240 m. pr.m.e.). Jis gana aiškus ir lengvai algoritmizuojamas, tad lengvai realizuojamas kompiuterine programa, tačiau reikalaujantis daug atminties. Helfgott’as sako: „Dabar kompiuteriai labai greiti ir gali atlikti operacijas lygiagrečiai, tačiau atminties kiekis vis tiek ribotas“.

Įkveptas 100 m amžiaus analitinio Hardy–Littlewood rato metodo modifikavo Erotesteno rėtį, kad reikalautų mažiau atminties (grubiai tariant, vietoje N - cube root N), nors ir nežymiai sumažinant greitaveiką. Pagrindines idėjas pristatė 2016 m. liepą XXI Lotynų Amerikos algebros koliokviume Buenos Airese bei Sinapsis 2016 Paryžiuje.

Eratosteno rėtis - algoritmas visų pirminių skaičių nuo 2 iki n suradimas, pasiūlytas Eratosteno. Jo aprašymas:
Išvardijami visi skaičiai nuo 2 iki n. Imame iš kairės pirmą pirminį skaičių (2) ir išbraukiame visus kartotinius jam. Tada imam sekantį iš išlikusių (jis yra pirminis) ir vėl išbraukiame kartotinius jam. Taip tęsiame, kol yra skaičių.
Pasakojama, kad Eratostenas skaičius išrašydavo ant papiruso, o tada išdurdavo kartotnius taip gaudamas “rėtį”.

Kai kurios pirminių skaičių savybės

Visi pirminiai skaičiai, didesni už 3, gali būti išreikšti arba 6n+1 arba 6n-1

Tai nesunku pamatyti. Paimkim išraišką 6n+r, kur r=0..5. Tada

  • jei r=0, 2, 4 – tai 6n+r dalus iš 2 (L=6n yra lyginis, ir L+lyginis bus taip pat lyginis, t.y. dalus iš 2);
  • jei r=3, tada 6n+r dalus iš 3 (L=6n yra dalus iš 3, nes 6 dalus iš 3, - tada 3*2*n+3 = 3 (2n+1) taip pat dalus iš 3;
  • lieka r=1, 5; bet jei r = 5, tai 6n+5 galima perrašyti kaip
    6n+6-1=(6n+6)-1=6(n+1)-1, t.y, 6q-1, kur q=n+1

    Taigi, bet kuris pirminis skaičius gali būti užrašytas kaip 6n+1 arba 6n-1. Apibendrinant šį faktą galima teigti, kad bet kuris pirminis už q didesnis skaičius gali būti išreikštas kaip q#n+m, kai 0 < m < q, o m neturi pirminio mažesnio ar lygaus už q daliklio.

    Pastaba: Nagrinėjami ir pirminių skaičių, turinčių tam tikras formas, poaibiai. Kai kurie jų aprašyti atskirame puslapyje: Kai kurios pirminių skaičių formos

    Pagrindinė aritmetikos teorema

    Kiekvienas natūrinis skaičius, didesnis už 1, gali būti pateikiamas pirminių skaičių sandauga, beje, vieninteliu būdu.

    Taigi, pirminiai skaičiai yra natūrinių skaičių „statybiniai blokai“. Skaičiaus išskaidymas į pirminių skaičių sandaugą vadinama faktorizacija. Šiuo metu dar nežinomi polinominiai faktorizacijos algoritmai, nors ir neįrodyta, kad toks algoritmas neegzistuoja. Faktorizacijos nustatymo sudėtingumu remiasi RSA šifravimo sistema.
    Daugiau Pagrindinė aritmetikos teorema...

    Ar skaičius pirminis?

    Eratosteno, Sundaramo ir Atkino sietai pateikia paprastus metodus pradiniams pirminiams skaičiams surasti, tačiau praktikoje dažnai reikia patikrinti, ar žinomas skaičius yra pirminis. Yra daugybė polinomialinių metodų (testų), tačiau dauguma jų yra tikimybiniais (pvz., Milerio-Rabino testas) ir naudojami kriptografijos reikmėms. Tik 2002 m. buvo įrodyta, kad patikra polinomiškai įmanoma, tačiau pasiūlytas algoritmas pernelyg sudėtingas praktinėms reikmėms (Agrawal-Kayal-Saxena AKS testas).

    Kai kurioms skaičių klasėms egzistuoja specializuoti testai, pvz., Marseno skaičiams patikrinti naudojamas Liuko-Lemero testas, o Ferma skaičių patikrinimui – Pepino testas.

    Daugianario  Polynum of Yuri
    teigiamų reikšmių aibė sutampa su pirminių skaičių aibe, kai daugianario kintamieji perbėga per visus teigiamus sveikus skaičius. Tai Jurijaus Matiasevičiaus įrodyto bet kokios efektyviai išvardijamos aibės diofantiškumo atskiras atvejis.

    Pirminių skaičių kiekis ir pasiskirstymas

    Papildomai skaitykite Naujas pirminių skaičių dėsningumas

    p(n) nusako pirminių skaičių kiekį iki n. Pvz., p(11)=5, nes yra 5 pirminiai skaičiai iki 11. Žinomi greiti šios reikšmės tikslaus paskaičiavimo būdai, kurie „lengvas grobis” šiuolaikiniams kompiuteriams. Didelėms n reikšmėms apytikslė reikšmė yra n/ln(n), t.y., kuo didesnis n, jo buvimas pirminiu atvirkščiai proporcingas jo skaitmenų kiekiui. Žinomi ir tikslesni įverčiai, pvz., pirminių skaičių teorema.

    Žinant, kad pirminių skaičių yra begalinis skaičius (tai įrodė dar Euklidas, žr. prieš tai >><>), natūralu ieškoti jų pasiskirstymo dėsnio. Ši tema populiari tarp skaičių teorijoje dirbančių matematikų. Tačiau konkretaus pirminio skaičiaus pasirodymas yr nenuspėjamas, nepaisant esančių dėsningumų (tokių, kaip pirminių skaičių teorema ar Bertrano postulatas). Oileris tai išreiškė grakščiai:
    Ulamo spiralė Matematikai bergždžiai bandė atrasti tam tikrą pirminių skaičių tvarką ir turime priežasčių tikėti, kad tai yra paslaptis, į kurią mūsų protas niekada neprasiskverbs.

    Tačiau tas pats Oileris pastebėjo, kad formulė n2+n+41, kai n < 40, generuoja pirminius skaičius (tačiau ne visada didesniems n). Tai leidžia nerti giliau į algebrinę skaičių teoriją ir, būtent, Heegner'io skaičius.
    Vis tik neaišku, ar tokiu būdu galima gauti be galo daug pirminių skaičių.

    Įdomu, kad šį uždavinį sprendė pusryčiaudamas ir amerikiečių fantasto A. Bestero (1913-1987) apsakymo „Pi-žmogus“ (1959) veikėjas Peter Marko. Jis aptiko, kad x2+x+41, kai x=40, duoda sudėtinį skaičių. Tuo lengva įsitikinti, pastebėjus, kad x2+x+41=x(x+1)+41.

    D. Zagier'as pakomentavo: „Yra du faktai apie pirminių skaičių pasiskirstymą [ ... ] Pirmasis, kad nepaisant jų elementaraus apibrėžimo ir statybinių blokų vaidmens natūriniams skaičiams, jie veši tarsi piktžolės tarp natūrinių skaičių ir atrodo, kad nėra jokio dėsningumo, o tik atsitiktinumas, todėl niekas negali nuspėti, kur išdygs kitas. Antrasis faktas dar labiau nustebina, nes teigia visiškai priešingai – kad pirminiai skaičiai pasirodo stebėtinai reguliariai, kad yra dėsniai, nusakantys jų elgseną, ir kad jie tų dėsningumų prisilaiko beveik kariška drausme“.

    Ulamo spiralė visus natūrinius skaičius vaizduoja spiralės forma. Įdomu, kad pirminiai skaičiai būriuojasi atskirose spiralės diagonalėse. Daugiau apie Ulamo spiralę skaitykite Ulamo spiralė...

    Bertrano postulatas

    Jį 1845 m. suformulavo prancūzų matematikas Bertranas (Joseph Bertrand, 1822–1900):
    Kiekvienam natūriniam skaičiui, didesniam už 2, intervale n .. 2n egzistuoja pirminis skaičius

    Bertranas šį teiginį patikrino iki n=3000000, o 1850 m. jį įrodė P. Čebyševas. 1920 m. Ramanudžanas atrado paprastesnį įrodymą, o 1932 m. dar paprastesnį – vengras P. Erdiošas.

    Panaši, tačiau iki šiol neįrodyta Lažandro hipotezė:
    Kiekvienam n, pirminis skaičius bus intervale n2 .. (n+1)2

    Rymano hipotezė

    Rymano hipotezė yra susijus su dzeta funkcijos nuliais (t. y., d(s)=0). Sąryšis su pirminiais skaičiais tas, kad ji nurodo, kad pirminiai skaičiai yra vienodai pasiskirstę tiek, kiek tai galima. Iš fizikinio požiūrio taško, ji grubiai teigia, kad nereguliarumai pirminių skaičių pasiskirstyme kyla tik iš atsitiktinio triukšmo. Iš matematinio požiūrio taško, ji grubiai teigia, kad asimptotinis pirminių skaičių pasiskirstymas (apie 1/ log x skaičių, mažesnių už x, yra pirminiai; pirminio skaičiaus teorema) yra siauresniu intervalu lygiu apie sqrt(x) (intervalams prie x). Bendrai priimta laikyti, kad teorema yra teisinga. Atskiru atveju, laikoma, kad pirminių skaičių pasiskirstymas neturi nereguliarumų be rimtos priežasties.
    Skaitykite Rymano hipotezės paaiškinimas...

    Prof. Opeyemis Enochas (Opeyemi Enoch) iš Nigerijos teigia įrodęs Rymano hipotezę ir jos įrodymą pristatė 2015 m. lapkričio 11 d. Tarptautinėje Matematikos ir Kompiuterijos mokslų konferencijoje Vienoje (Austrija). O 2018 m. rugsėjį apie jos įrodymą paskelbė M. Atija, tačiau skeptikai šį pareiškimą priėmė skeptiškai...

    Kiti teiginiai

    Apie pirminius skaičius yra nemažai neišspręstų teiginių, kurių kai kurie jau gana seni, pvz., visos 4 Landau problemos iš 1912 m. (Goldbacho, dvynių, Ležandro teiginys ir teiginys n2+1 pirminius).

    Dauguma teiginių susiję su tam tikros formos pirminių skaičių begaliniu (Fibonačio, Mersenne) arba baigtiniu (Ferma) kiekiu. Nežinoma, ar Euklido pirminių skaičių kiekis begalinis ar baigtinis.

    Dalis teiginių yra apie pirminių skaičių pasiskirstymą. Pvz., kad yra be galo daug pirminių dvynių (kurių skirtumas 2). Tą teiginį sustiprina Polignac'o teiginys, kad kiekvienam teigiamam skaičiui n yra be galo daug pirminių skaičių porų, kurių skirtumas yra 2n. Taip pat teigiama, kad yra be galo daug pirminių skaičių pavidalu n2+1. Šie teiginiai yra atskiri platesnės Schinzel'io hipotezės atvejis. Brocard'o hipotezė teigia, kad tarp dviejų nuosekliai einančių, didesnių už 2, pirminių skaičių kvadratų yra bent 4 pirminiai skaičiai. Ležandro teiginys teigia, kad tarp n2 ir (n+1)2 yra pirminis skaičius. Jis yra iš griežtesnio Cramerio teiginio.

    Kiti teiginiai susiję su pirminių skaičių sumavimo savybėmis. Goldbacho teiginys tvirtina, kad kiekvienas lyginis, didesnis už 2, sveikas skaičius gal būti užrašytas kaip dviejų pirminių skaičiu suma, o silpnesnė jo versija – kad kiekvienas nelyginis didesnis už 5 skaičius gali būti užrašytas 3 pirminių skaičių suma (žr. >>>>>

    Neišspręsti klausimai

    Žinomiausius 5-ame tarptautiniame matematikų kongrese išvardijo Edmundas Landau.

    1. Goldbacho problema: bet kuris lyginis skaičius didesnis už 2 gali būti pateiktas dviejų pirminių skaičių suma, o bet kuris nelyginis skaičius, didesnis už 5, gali būti pateiktas trijų pirminių skaičių suma;

    Ji iškilo laiškuose tarp Ch. Goldbacho ir L. Oilerio. Šis nujautė, kas šį klausimą daro nelogišku išsprendimui – kuo skaičiai didesni, tuo daugiau būtų juos užrašyti pirminių skaičių sumomis, pvz., 42 gali būti išreikšti kaip 5+37, 11+31, 13+29 ir 19+23. Tad tarsi Golbacho teiginys yra labai didelių skaičių nepakankamas įvertinimas.
    R. Grigo bandymas įrodyti Goldbacho teiginį >>>>>

    2. Ar begalinė „pirminių dvynių“ (tokių, tarp kurių skirtumas lygus 2) aibė?

    3. Ležandro hipotezė: Ar teisinga, kad tarp n2 ir (n+1)2 visada bus pirminis skaičius?

    4. Ar begalinė pirminių skaičių, kurių pavidalas yra n2 + 1, aibė?

    Taip pat tebėra atviras klausimas apie pirminių skaičių begalinį skaičių daugelyje skaičių sekų: Fibonačio, Ferma ir t.t.

    Apibendrinimai

    Pirminių skaičių koncepcija buvo apibendrinta įvairiais būdais skirtingose matematikos šakose. Bendra prasme „pirminis“ žymi minimalumą ir nedalomumą. Pvz., pirminis laukas yra mažiausas lauko F sublaukas, turintis abu: 0 ir 1. Jis yra arba Q arba baigtinis laukas su p elementų. Neretai antroji, papildoma „pirminio“ prasmė yra galimybė suskaidyti objektą, paprastai vieninteliu būdu, į pirminius jo elementus. Pvz., mazgų teorijoje pirminis mazgas yra toks, kuris yra nesuskaidomas ta prasme, kad negali būti išreikštas dviejų netrivialių mazgų suma. Bet kuris mazgas gali būti išreikštas kaip pirminių mazgų jungi suma. Šio tipo pavyzdžiais yra pirminiai modeliai ir pirminės trimatės daugdaros.

    Apibrėžiami ir kitokie pirminiai skaičiai, pvz., Gauso pirminiai skaičiai yra „pirminiai“ kompleksiniai skaičiai. Taip pat apie juos žr. >>>>>

    Pirminiai žiedo elementai

    Pirminiai skaičiai leido atsirasti dviem bendresnėms koncepcijoms, kurios taikomos bet kurio žiedo R elementams: pirminiams elementams ir nesuprastinamiems elementams. Žiedo R elementas p vadinamas pirminiu, jei jis nėra vienetas (t. y., neturi multiplikatyvaus atvirkštinio elemento) ir turi tokią savybę: žiedo R elementams x ir y, tokiems, kuriems p dalo jų sandaugą, p dalo ir vieną iš daugiklių. Nesuprastinami elementai yra tokie, kurie negali būti užrašyti kaip dviejų žiedo elementų, kurie nėra vienetais, sandauga. Bendrai imant, čia yra silpnesnė sąlyga, tačiau kiekvienam faktorizacjos domenui, tokiam kaip sveikų skaičių žiedas Z, pirminių elementų aibė yra lygi nesuprastinamų elementų aibei, t. y. Z atveju: {… -5, -3, -2, 2, 3, 5, 7, …}

    Pavyzdžiu yra Gauso sveikieji skaičiai Z[i], t. y. kompleksinių skaičių a+bi aibė, kur a ir b priklauso Z. Jų pirminiai elementai vadinami Gauso pirminiais elementais. Ne kiekvienas pirminis Z elementas yra kartu Gauso pirminiu elementu, pvz, 2 yra dviejų Gauso pirminių (1+i) ir (1-i) sandauga. Z pirminiai elementai, turintys formą 4k+3 yra Gauso pirminiai, o turintys formą 4k+1 - nėra.

    Pirminiai idealai

    Žiedų teorijoje skaičiaus sąvoka paprastai pakeičiama idealo sąvoka. Pirminius skaičius apibendrinantys pirminiai idealai yra svarbiu įrankiu ir tyrimų objektu komutatyvinėje algebroje, algebrinių skaičių teorijoje ir algebrinėje geometrijoje. Sveikų skaičių žiedo pirminiai idealai yra (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... Pagrindinė aritmetikos teorema apibendrinama Lasker-Noether'o teorema, kuri kiekvieną idealą Noether'o komutatyviame žiede išreiškia kaip pirminių idealų sankirtą, kurie yra pirminių skaičių laipsnių apibendrinimas.

    Pirminiai idealai yra algebrinės geometrijos objektų taškai. Aritmetinė geometrija irgi panaudoja šią sąvoką, nes daugelis koncepcijų egzistuoja tiek geometrijoje, tiek skaičių teorijoje. Pvz., pirminių idealų faktorizacija ir išsišakojimas, pagrindinis klausimas algebrinių skaičių teorijoje, turi panašumų į išsišakojimą geometrijoje.

    Aritmetinis pirminio skaičiaus modulis

    Modulinė aritmetika yra įprastinės aritmetikos modifikacija, kai visos operacijos atliekamos tam tikro skaičiaus n moduliu. Visos modulinės aritmetikos operacijos atliekamos baigtinėje aibėje {0, 1, 2, … , n-1}.

    Joje atliekamos sudėties, atimties ir daugybos operacijos, tačiau jų rezultatu imama tik dalybos iš n liekana. Pvz., moduliu 7, 3+5=1 (8 dalybos iš 7 liekana yra 1). Taip 3 x 4=5, o 2-5=4 (nes -3+7=4).

    Modulinėje aritmetikoje išlieka įprastinės sveikų ir racionalių skaičių sudėties ir daugybos savybės, pvz., distributyvo dėsnis:
    (a+b)c = ac+bc

    Tačiau modulinėje aritmetikoje negalima dalyba. Pvz., n= 6 atveju lygtis 3x=2 (mod 6) neišspendžiama. Išskirtinė pirminių skaičių savybė yra ta, kad moduliui pagal juos dalyba yra galima, t.y. 3x=2 (mod 7) išsprendžiama ir turi vienintelį sprendinį x=3.

    Aibė {0, 1, 2, … , n-1} su įvesta sudėtimi ir daugyba žymima Z/nZ. Algebriškai tai yra žiedas kiekvienam n, tačiau yra baigtiniu lauku tik tada, kai n yra pirminis.

    Nemažai teoremų abstrakčiu išvedama iš Z/nZ. Pvz., naudojantis šiais žymenimis gali būti įrodyta Ferma mažoji teorema, teigianti, kad ap-a yra dalomas p kiekvienam sveikajam a. Šio fakto pasekmė tokia: jei p yra pirminis skaičius, nelygus 2 ir 5, tada trupmena 1/p visada yra periodinė, kurios periodas yra p-1 arba daliklis p-1. Trupmena 1/p išreikšta pagrindu q (nelygiu 10), turi panašų efektą, jei p nėra pirminis q daugiklis. Wilsono teorema teigia, kad sveikas skaičius p>1 yra pirminis tada ir tik tada, kai faktorialas (p-1)!+1 yra dalus iš p. be to, sveikas skaičius n>4 yra sudėtinis tada ir tik tada, kai (n-1)! yra dalus iš n.

    Pirminių skaičių panaudojimai

    Ilgą laiką skaičių teorija laikyta grynai matematine sritimi be praktinio panaudojimo. Tačiau XX a. 8 dešimtm. viešai paskelbta, kad pirminiai skaičiai gali būti naudojami kriptografijoje. Jie taip naudojami kešavimo lentelėms bei pseudo-atsitiktinių skaičių generavimui.

    Viešo rakto kriptografija

    Keli viešo rakto algoritmai kaip RSA ir Diffie-Hellman, grindžiami labai dideliais pirminiais skaičiais (pvz., 512-os bitų). Remiamasi tuo, kad manoma, kad daug lengviau sudauginti du didelius skaičius x ir y, nei rasti tarpusavyje pirminius x ir y, kai težinoma jų sandauga xy.
    Daugiau žr. Viešojo rakto kriptografija

    Pirminiai skaičiai matematikoje

    Pirminiai skaičiai naudojami daugelyje matematikos sričių. Pvz., baigtinių grupių teorijoje yra Sylovo teorema: jei G yra baigtinė grupė ir pn yra pirminio skaičiaus p aukščiausias laipsnis, kuris dalo G eilę, tada G turi pn eilės pogrupį.

    Pirminiai skaičiai gamtoje

    Neišvengiamai kai kurie skaičiai gamtoje yra pirminiai. Tačiau tėra gana nedaug skaičių, pasirodančių gamtoje būtent todėl, kad jie pirminiai.

    Vienu pavyzdžių yra Magicucada rūšies cikadų evoliucinė strategija. Šie vabzdžiai didesnę gyvenimo dalį praleidžia kaip lervos po žeme. Jie virsta lėliukėmis ir išnyra iš savo kokono po 13 ar 17 metų, kai skraido, apsivaisina ir po kelių savaičių miršta. Manoma, kad intervalai tarp pasirodymų yra pirminiais tam, kad jų galimiems priešams būtų sunku juos aptikti ir prie jų prisitaikyti. Tarkim, jei pasirodymų periodas būtų 12 metų, tai priešai, pasirodantys kas 2, 3, 4, 6 ar 12 metai, pataikytų į cikadų ciklą tiksliau ir pasimaitintų jomis gerokai gausiau.

    Taip pat yra spėlionė, kad dzeta funkcijos nuliai yra susiję su sudėtingų kvantinių sistemų energetiniais lygiais.

    Mene ir literatūroje

    Pirminiai skaičiai patraukė daugelio menininkų ir rašytojų dėmesį.

    Prancūzų kompozitorius Olivier Messiaen'as juos naudojo ametrinės muzikos kūrimai per „gamtos reiškinius“. Pvz., „La Nativite de Seigneur“ (1935) ir „Quatre etudes de rythme“ (1949-50) jis naudojo lygiagrečius motyvus, kurių ilgiai pagal skirtingus pirminius skaičius, kad sukurtų nenuspėjamus ritmus: pirminiai 41, 43, 47 ir 53 panaudojami viename iš etiudų. Anot Messiaen'o, tokį kūrybos būdą įkvėpė „judesiai gamtoje, atsitiktinės ir nevienodos trukmės judesiai“. Numb3rs

    NASA mokslininkas Karlas Saganas romane „Kontaktas“, pagal kurį vėliau pastatytas filmas, teigė, kad pirminiai skaičiai gali būti bendravimo su ateiviais priemonė – šią idėją jis prieš tai 1975 m. neformaliai išvystė su JAV astronomu Franku Dreiku.

    Nemažai filmų rodo susižavėjimą pirminių skaičių ir kriptografijos paslaptimis: „Kubas“ (1997), „Rafinuoti vagys“ (Sneakers, 1992), „Veidrodis turi dvi puses“ (1996), „Nuostabus protas“ (2001). Paskutinysis remiasi matematiko ir Nobelio premijos laureato Dž. Nešo biografija.

    Pirminiai skaičiai yra naudojami kaip vienišumo ir izoliacijos metafora Paolo Giordano romane „Pirminių skaičių vienatvė“, kuriame jie parodomi kaip „svetimi“ tarp sveikųjų skaičių. Markas Daddon’as romane „Keistas šuns nutikimas naktį”\“ (2003) protagonistas Christoferis skyrius numeravo pirminiais skaičiais. TV detektyviniame seriale „NUMB3RS” (Ska1č1a1) pirmojo sezono episode “Įtariamas pirminis skaičius” (2005) matematikos genijus Čarlis Epsas (Charlie Eppes) nustato, kad Etano dukra buvo pagrobta todėl, kad tasai buvo beįrodąs Rymano hipotezę, kas leistų nusikaltėliams „nulaužti“ Internete bet kokią apsaugą.

    Bilas Geitsas „Kelias pirmyn“ rašė: „Kadangi tiek sistemos saugumas, tiek elektroninių pinigų saugumas priklauso nuo šifravimo, proveržis matematikoje ar kompiuterijoje, kuris pralaužtų kriptografijos sistemą būtų neganda. Akivaizdus matematinis proveržis galėtų būti lengvo didelių pirminių skaičių daugybos būdo sukūrimas“.

    Priedai

    Donas Zagieras Don Zagier

    Donas Zagieras (g. 1951 m., Don Zagier) – JAV matematikas, daugiausia dėmesio skiriantis skaičių teorijai, vienas iš Makso Planko Matematikos instituto Bonoje direktorių, Paryžiaus „College de France“ profesorius. 1987 m gavo Cole premiją.

    Gimė Heidelberge, Vokietijoje, užaugo JAV, aukštąją mokyklą baigė būdamas 13 m., o po to 3 m. studijavo MIT, 16 m. gaudamas magistro laipsnį. Vadovaujamas F. Nirzebruch‘o iš Oksfordo parašė daktarinę disertaciją apie charakteristiškas klases (būdamas 21 m. amžiaus) ir vėliau bendradarbiavo su F. Nirzebruch‘u tyrinėdamas Hilberto modularinius paviršius.

    Vienas žymesnių pasiekimų padarytas kartu su B. Gross. Jų formulė susieja sudėtingos elipsinės kreivės taške 1 L-serijos pirmąją išvestinę su tam tikru Heegner‘io tašku. Ši teorema daug kur pritaikoma. Tame tarpe ir Birch ir Swinnerton-Dyer teiginiui bei yra pagrindas klasės skaičiaus uždavinio D. Goldfeld‘o sprendime.

    Taip pat atrado trumpą ir elementarų Ferma teoremos apie dviejų kvadratų sumą įrodymą.

    *) EFF (Electronic Frontier Foundation) – 1990 m. John Perry Barlow ir Mitch Kapor JAV įkurta nekomercinė pilietinių laisvių grupė, siekianti apginti žmogaus teises atsižvelgiant į elektroninių priemonių naudojimą. Jos veikla apima žmogaus teises saugančių įstatymų palaikymą ir kūrimą, bendrą strategiją cenzūrai, bendruomenių įvairovę ir pan., suteikia gynybos paslaugas teismuose, organizuoja politines akcijas bei skleidžia informaciją. Išsilaiko iš narių ir korporacijų aukų. Įsikūrusi San Franciske; 2007 m. atsidarė EFF atstovybė Europoje. EFF yra įsteigusi premijas už pirminių skaičių, turinčių per 1 mln. (įteikta 2000 m. Nayan Hajratwala, GIMPS projekto dalyviui), 10 mln. (įteikta 2009 m. Kalifornijos universiteto Matematikos fakultetui, GIMPS dalyviui), 100 mln. ir 1 mlrd. skaitmenų, suradimą.

    Literatūra:

    1. B.C. Berndt. Ramanujan’s Theory of Prime Numbers// Ramanujan’s Notebooks, part IV, 1994
    2. J.R. Chen. On the Distribution of Almost Primes in an Interval II// Sci. Sinica, 22, 1979
    3. R. Ceandall, C. Pomerance. Prime Numbers, 2001
    4. J. Derbyshire. Prime Obsession..., 2004
    5. E.J. Ellison, F. Ellison. Prime Numbers, 1985
    6. P.J. Giblin. Primes and Programming..., 1994
    7. K. Ramachandra. Many Famous Conjectures on Primes...// Proc. Indian Nat. Sci. Acad., part A, 64, 1998
    8. P. Ribenboim. The Little Book of Big Primes, 1994

    Pirminiai dvyniai
    Beal'o hipotezė
    Loterijų matematika
    Kaip supakuoti standžiau?
    Ar įrodytas abc teiginys?
    Rymano hipotezės paaiškinimas
    Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
    Golbacho teiginio ?rodymas?
    Pagrindinė aritmetikos teorema
    Hipatija – pirmoji matematikė
    Nauja pirminių skaičių klasė
    Gauso skaičių teorijos kursas
    Proveržis skaičiuojant skaidinius
    Didžiausias bendras daliklis
    Didžioji Ferma teorema
    Euklidas iš Aleksandrijos
    Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
    Kai kurios pirminių skaičių formos
    A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
    Naujas pirminių skaičių dėsningumas
    Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
    Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
    Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų
    Littlewood teiginys apie aproksimaciją
    Iniciatyva: Matematikos keliu
    Pagrindinės algebrinės struktūros
    Puankarė problemos įrodymas
    Revoliucija mazgų teorijoje
    Parabolės lenktas likimas
    T?kstantme?io problemos
    Dalyba iš nulio
    Pitagoro teorema
    Algebros istorija
    Erdvės formos
    Vartiklis