Harmoninės eilutės
Eilutė
(1) 
vadinama harmonine eilute. Ji diverguoja, t.y. ši suma lygi begalybei.
Harmoninės eilutės apibendrinimas
vadinamas Rymano dzeta funkcija, kuri labai svarbi
pirminių skaičių analizėje. Jos savybę nusakantis
Rymano teiginys yra Tūkstantmečio premijos uždavinių sąraše.
Beje, harmoninė pirminių skaičių eilutė
(kurioje pk yra
pirminiai skaičiai) taip pat diverguoja, nors ir nepaprastai lėtai (pvz., 3 pasiekia
tik sudėjus 361139 narius). 1737 m. jos divergavimą įrodė L. Oileris (Euler). Eilutės asimptotinis elgesys
nusakomas formule (pagal antrąją Mertenso teoremą)
kur B1=0,2614972128 ... yra Mertenso konstanta (dar vadinama ir Hadamard-de la Vallee-Poussin
konstanta). o(1) yra Landau simbolis.
Taigi, asimptotinė formulė yra analogas paprastos harmoninės eilutės (1) asimptotinei formulei:
kur g yra Oilerio-Mascheroni konstanta.
Eilučių pertvarkymai
Prisimenate harmonines eilutes? Štai viena jų:
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+...
Ši suma diverguoja, t,y., jei pridėsite vis daugiau ir daugiau jos narių, jos suma vis didės ir didės. Yra keletas būdų
parodyti, kad ji diverguoja. Vienas jų pasinaudoti integralu. Paprastesnis būdas yra toks. Pradžioje sugrupuokite jos narius taip:
1+(1/2)+(1/3+1/4)+(1/5+1/6+1/7+1/8)+(1/9+
+1/16)+...
t.y. taip. Kad paskutinis kiekvienos grupės nario daliklis būtų dviejų laipsnis (2=21, 4=22,
8=23, 16=24,
). Pastebėkime, kad taip sugrupuota suma yra didesnė nei
1+(1/2)+(1/4+1/4)+(1/8+1/8+1/8+1/8)+(1/16+
+1/16)+...
Tačiau aiškiai matome, kad ši suma diverguoja, nes kiekvienos grupės suma lygi ½. Taigi, begalybę kartų sumuojame po 1/2. Taigi ir pradinė harmoninės eilutės suma diverguoja, nes ji yra netgi didesnė.
Tada gali kilti klausimas o kiek jos narių reikia pašalinti, kad eilutės suma pradėtų konverguoti? Paimkime tik narius, kurių dalikliai yra pirminiai skaičiai: 1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/13+...
Tačiau nors pirminiai skaičiai yra gana reti, ši suma irgi diverguoja, nors dabar to neįrodinėsime. O štai eilutė, kurios
narių dalikliai yra kvadratai, suma konverguoja!
1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+...
O dabar paimkime pradinę harmoninę eilutę ir sumoje pakeiskime kas antrą ženklą į minusą ir suma konverguos:
1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+
=ln 2
Tai galima įrodyti panaudojant Teiloro eilutes natūriniam logaritmui. Tokios eilutės, kurios diverguoja, tačiau alternuojančios eilutės konverguoja, vadinamos reliatyviai konverguojančiomis. Tuo tarpu absoliučiai konverguojančios eilutės yra konverguojančios eilutės, kurių alternuojančios eilutės irgi konverguoja.
O kas nutiks, jei pertvarkysime sekos narius? Intuityviai atrodo, kad tai neturėtų daryti
įtakos. Ir iš tikro, sudėtis yra komutatyvi, o tai reiškia, kad nesvarbi eilės tvarka, kuria sudedame. Tai tikrai dažnai teisinga
begalinėms eilutėms (pvz., eilutėms su dalikliais, kurie yra kvadratai). Tačiau reliatyviai konverguojančias eilutes galime
taip perstatyti, kad gautume bet kokį norimą rezultatą. Pirmiausia atskirkime teigiamus ir neigiamus narius:
1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ...
-1/2, -1/4, -1/6, -1/8, ...
Jei sudėsime atskirai teigiamus ir atskirai neigiamus narius, abi sumos diverguoja. Dabar narius sugrupuokime taip:
1-(1/2-1/4-1/6-1/8)+(1/3)-(1/10-1/12)+(1/5+...)+...
Atrodytų, kad nieko tokio nenutinka, tačiau pabandykime paskaičiuoti. Imame vienetą ir iš jo atimame keturis neigiamus narius suma tampa neigiama. Tada pridedame teigiamus narius tol, kol suma vėl taps teigiama. Tada atimame iš jos tiek neigiamų narių, kad suma vėl taptų neigiama. Ir taip kartojame šį sumavimo procesą. Kadangi tiek teigiamų, tiek neigiamų yra be galo daug, o kiekviena tų eilučių diverguoja (tad visada galima rasti reikiamo dydžio dalinę sumą), tad visada bus pakankamai narių, kad jų procesą galėtume tęsti be galo. Sumos, kurias koreguojame į reikiamą pusę tampa vis mažesnės ir mažesnės ir jų riba yra lygi nuliui. Tad ir taip pergrupuotos reliatyviai konverguojanti eilutės suma bus lygi nuliui ( ! ).
Gana netikėtas rezultatas, ar ne? Ir visiškai neintuityvu. Tinkamai pergrupavę reliatyviai konverguojančią eilutę, galime gauti bet kokią norimą reikšmę. Pvz., jei norite gauti p, pirmiausia sudėkite pirmus teigiamus narius, kad gautume reikšmę, didesnę už p, tada atimkite tiek neigiamų narių, kad suma taptų mažesnė už p - ir tęskite analogiškai toliau...
Harmoninė funkcija
Harmoninė funkcija - realių kintamųjų funkcija U, tolydžioji n-matėje erdvėje D (arba
jo atvirajame poerdvyje) kartu su pirmosios ir antrosios eilės išvestinėmis tenkinanti Laplaso lygtį
kur 
-
Laplaso operatorius (t.y. antro lygio išvestinių suma).
Harmoninės funkcijos pavyzdžiu gali būti elektrostatinis potencialas taškuose, kuriuose nėra krūvio.
Landau simboliai
Landau simboliai O(x) ir o(x), kurie dar kartais vadinami O didysis ir o mažasis, sukurti asimptotiniam funkcijų elgesiui palyginti. Jie naudojami įvairiose matematikos srityse, tačiau daugiausia matematinėje analizėje, skaičių teorijoje ir kombinatorikoje, o taip pat įvertinant algoritmų sudėtingumą.
Jie apibrėžiami taip:
Tegu f(x) ir g(x) yra dvi funkcijos, apibrėžtos tam tikro taško x0 aplinkoje
(be paties to taško) ir g(x0) nelygi 0.
Tada sakoma, kad
f yra O(g), kai x -> x0, jei egzistuoja tokia konstanta
C>0, kad visiems x taško x0 aplinkoje |f(x)| <= C |g(x)| ;
f yra o(g), kai x -> x0, jei f(x) / g(x) -> 0.
Istoriškai, O(x) pirmąkart pasirodė Bachmanno 2-ame veikalo apie sveikus skaičius tome (1894) ir imtas naudoti L. Landau. Tuo tarpu o(x) yra jau paties L. Landau įvedimas.
Grandi paradoksas
Landau nuslopimas
Sutramdytas lagaminas
Didžioji Ferma teorema
Didžiausias bendras daliklis
Tolydumo sąvokos evoliucija
Revoliucija mazgų teorijoje
Linksmi nutikimai mokslininkams
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Pagrindinė aritmetikos teorema
Izingo modelis įmagnetinimui
Matematikai: Žanas Furjė
Visata kaip kompiuteris
Smeilo paradoksas
Ar viskas čia taip?
Nešo pusiausvyra
Dalyba iš nulio
Kvantinis chaosas
Perkoliacija
Vartiklis