Dalyba iš nulio

Skaitykite ir Nulio istorija            

Formaliai ji gali būti išreikšta formule a/0. Kokią ji turi reikšmę, priklauso nuo terpės. Aritmetikoje ji beprasmė, programavimo kalbose elgsena priklauso nuo konkrečios kalbos ir jos realizacijos.

Elementariame lygmenyje dalyba dažnai aiškinama kaip objektų rinkinio padalijimą į lygias dalis, pvz., 10 obuolių padalijimas 5-iems žmonėms. O kaip galėtume 10 obuolių padalinti 0 žmonių? Nėra jokios galimybės, t.y. negalima 10 elementų paskirstyti į 0 poaibių. Todėl 10/0 aritmetikoje laikoma beprasme išraiška.

Algebroje a/b yra lygties bx=a sprendinys, jei tokia reikšmė egzistuoja ir yra vienintelė. Kai b=0, lygtis gali būti perrašyta 0x=a arba tiesiog 0=a. Taigi, bx=a neturi sprendinio, kai a ± 0, ir turi bet kokį sprendinį, kai a=0. Bet kuriuo atveju, nėra vienintelės reikšmės, todėl a/b yra neapibrėžta.

Mat dalyba yra atvirkštinė operacija daugybai. Pvz., 6/3=2, nes 2 yra toji reikšmė, kuriai ?x3=6. Tačiau 6/0 reikalauja, kad rastume reikšmę ?x0=6. Tačiau bet koks skaičius padaugintas iš 0 yra lygus 0, tad nėra skaičiaus, kuris tenkintų lygtį.

Tuo tarpu 0/0 atveju reikia rasti reikšmę, tenkinančią ?x0=0. Šiuo atveju, galime paimti bet kokį skaičių, ir ši lygtis bus patenkinta.

Reikia pabrėžti atskirą dalybos iš nulio atvejį algebriniame kontekste, galintį „įrodyti“, kad 1=2. Paimkime 0x1=0 ir 0x2=0. Iš čia turi būti teisinga 0x1=0x2. Padaliję iš 0 gausime:
(0/0)x1=(0/0)x2, kurią supaprastiname į 1=2

Istorija

Brahmagupta*) (598-668) „Brahmasphutasiddhanta“ yra seniausias žinomas tekstas, aprašantis nulį ir operacijas su juo. Tačiau autoriui nepasisekė bandymas paaiškinti dalybą iš nulio: „Nulis padalintas iš nulio yra nulis“.

830-ais Mahavira pabandė pataisyti Brahmaguptos suklydimą knygoje „Ganita Sara Samgraha“: „Skaičius nesikeičia dalijamas iš nulio“. O Bhaskara II**) (1114-1185) pabandė išspręsti problemą apibrėždamas (jei panaudosime šiuolaikinius žymenis): n/0=∞. Tai turi tam tikrą prasmę, tačiau neatidžiai naudojant gali sukelti tam tikrus paradoksus.

Matematinėje analizėje

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad yra įmanoma nustatyti a/b reikšmę, paskaičiuojant ribą, kai b -> 0. Bet kuriam teigiamam a, kai artėjama iš teigiamos pusės, riba bus +∞, o kai iš neigiamos -∞, y 1/x function taigi riba, kai b -> 0 neegzistuoja. Be to, nėra akivaizdaus atsakymo apie a/b ribą, kai ir a, ir b artėja į 0. Jei tą ribą išreikšime forma:
lim (f/g)
kur ir f(x), ir g(x) artėja į nulį, kai x -> 0, tai riba gali būti bet koks skaičius arba begalybė (teigiama arba neigiama), priklausomai nuo to, kokias funkcijas paimsime. Visa tai rodo, kad 0/0 negalime apibrėžti naudojant ribų terminus.

Aibė R ∪ {∞} yra realių skaičių projektyvinė tiesė, kompaktiška viename taške. Čia ∞ reiškia „begalybę be ženklo“, t,y. tokią, kuri nei teigiama, nei neigiama. Šis „skaičius“ tenkina sąlygą ∞=-∞, kas būtina šiame kontekste. Tada galima nelygiems 0 skaičiams a apibrėžti a/0=∞, o taip pat a/∞=0.

Toks apibrėžimas leidžia gauti įvairius įdomius rezultatus. Tačiau rezultato algebrinė struktūra nėra laukas, todėl nereikia tikėtis, kad būtų elgiamasi kaip jame. Pvz., nėra apibrėžta ∞+∞

Aibė C ∪ {∞} yra Rymano sfera, kuri yra svarbi kompleksinių skaičių analizėje. Čia ∞ irgi yra be ženklo, arba „tašku begalybėje“. Toji aibė yra analogiška realių skaičių projektyvinei tiesei. Rymano sferoje 1/0=∞, tačiau 0/0 yra neapibrėžta kaip ir 0x∞

Skaičiavimo technikoje

IEEE slankaus kablelio operacijų standarte numatytos nulio su ženklu, begalybės ir NaN (ne skaičius) reikšmės. Todėl pagal šį standartą A /+0 rezultatas yra teigiama y 1/x function begalybė, kai A teigiamas, neigiama begalybė, kai A neigiamas ir NaN, kai A yra teigiamas arba neigiamas nulis.

Tuo tarpu sveikų skaičių dalyba iš nulio traktuojama kitaip. Kai kurie procesoriai įjungia išimties situaciją, o kiti, tuo tarpu tęsia darbą ir pateikia neteisingą rezultatą – priklausomai nuo realizacijos, jis gali būti arba 0, arba didžiausias leistinas sveikas skaičius.

Kad išvengtų dviprasmybių, daugelis programavimo kalbų tiesiog neleidžia dalybos iš nulio ir tiesiog nutraukia programos darbą, pateikdamos „dalybos iš nulio“ klaidą (jei nėra numatytos specialios priemonės šios situacijos apdorojimui). Kalkuliatoriai dažniausiai pateikia klaidą, nors kai kurie jų (pvz., kai kurie TI ir HP) nurodo, kad rezultatas yra begalybė.

Kai kurio išvystytos kompiuterinės algebros sistemos (MS Math ar Mathematica) dalybos iš nulio rezultatu laikys begalybę.

Įdomūs faktai

1. Tarp 1 m. pr.m.e. ir 1 m.e.m nėra nulinių metų!

Metų skaičiavimą „mūsų eroje“ 525 m. įvedė vienuolis Dionysius Exiguus, kuriam buvo pavesta nustatyti būsimų Velykų datas. Jis apytiksliai žinojo, kiek metų praėjo nuo Jėzaus gimimo (pagal šiuolaikinius istorikus – 529-eri), tačiau pasirinko „lygesnį“ skaičių 525, kad išvengtų liekanos savo Velykų paskaičiavimo formulėje.

Net po kelių šimtmečių, kai prigijo datų „prieš mūsų erą“ naudojimas, Vakarų matematikai vis dar neturėjo nulio koncepcijos. Korekciją įvesdami nulinius metus padarė šiuolaikiniai astronomai, taip įvedę vienerių metų neatitikimą su istorikais. Kitos kalendorių sistemos nesusidūrė su nulinių metų problema, nes nebandė pervardinti ankstesnes datas. Padėties neištaisė net prancūzų revoliucionieriai, bandę įvesti griežtą logiką kalendoriuje.

2.  1997 m. rugsėjo 21 d. dalybos iš nulio klaida sustabdė visų kreiserio USS Yorktown (CG-48) sistemų darbą ir sutrikdydama variklių darbą.

*) Brahmagupta (apie 598-665) – senovės Indijos matematikas ir astronomas, parašęs du veikalus: „Brahmasphutasiddhanta“ (628, Patobulintas Brahmos mokymas - labiau teorinis, daugiaus skirtas astronomijai, tačiau du skyriai, 12 ir 18, matematikai) ir „Khandakhadyaka“ (665, Valgomas dalykas - 8 skyrių, labiau praktinis; jai komentarai rašyti 864, 966, 1040, 1180 m., tačiau ne visi išliko). Vadovavo Uddžaino observatorijai.

Matematikai nusipelnė tuo, kad astronominiams skaičiavimams pradėjo naudoti algebrinius metodus, įvedė veiksmų su nuliu, teigiamais ir neigiamais skaičiais taisykles. Pasiūlė tris skaičių daugybos „stulpeliu“ būdus, kurių pagrindinis pavadintas „gomutrika“ („karvės šlapimo kreivė“). Pateikė tiesinės lygties sprendimo būdą. Jis pasiūlė apytikslės kvadratinės šaknies paskaičiavimą, panašų į iteracinį Niutono metodą ir kt. „Khandakhadyaka“ knygoje pateikė interpoliacinę formulę sinusų paskaičiavimui.

Astronomijoje laikė, kad Žemė nejuda (nesisuka apie ašį), tačiau teigė, kad Žemė ir dangus yra sferos pavidalo. Tiksliai apibūdino Žemės trauką: „Daiktai krenta ant žemės, nes tai Žemės prigimtyje – traukti juos; kaip vandens prigimtis - tekėti“. Ypač vertingi buvo jo dangaus kūnų judėjimo laike bei Mėnulio ir Saulės užtemimų paskaičiavimai.

**) Bhaskara II (1114-1185, dar vadintas Bhaskaračarija) – indų matematikas ir astronomas. Jis vadovavo observatorijai Udžaine. Parašė „Siddhanta širomani“ (Mokymo vainikas), susidedantį iš 4 dalių: „Lilavati“, skirta aritmetikai; „Bidžaganita“, skirta algebrai; „Goladhaja“, skirta sferoms; „Grahaganita“, skirta planetų judėjimui. Pažymėtina, kad jis gaudavo neigiamus lygčių sprendinius, nors abejojo jų reikšmingumu. Jis nustatė diferencialinio skaičiavimo principus ir juos naudojo astronominių klausimų sprendimui. Taip pat skaitykite apie jo Pitagoro teoremos įrodymą. Taip pat jam priklauso vienas ankstyviausių „amžinojo variklio“ projektų, kurį aprašė apie 1150 m. parašytame eilėraštyje. Jo vardu pavadintas 1981 m. startavęs Indijos palydovas.

Pastaba: Nereikia painioti su kitu matematiku, Bhaskara iš 7 a., kuris žinomas kaip įvedęs specialų pažymėjimą nulio skaitmeniui, taip pat rašiusio traktatus apie astronomiją.

Nulio istorija
Ar viskas čia taip?
Pirminiai skaičiai
Kvadratinė lygtis
Aritmetikos pagrindai
Pirmasis Einšteino įrodymas
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Ar įrodytas abc teiginys?
Vištų matematiniai pokalbiai
Didžiausias bendras daliklis
Matematikos šlovė ir garbė
Amerikai matematika nereikalinga!
Truputis apie skaičių psichologiją
Kombinatorika, polinomai, tikimybės
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Jei Napoleonas nebūtų panaikinęs dešimtainio laiko
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Geriausios alternatyvos parinkimas
Galilėjus, Dievas ir Matematika
Kas tie romėniški skaitmenys?
Matematikos pradžia Lietuvoje
Postūmis nulių žaidime
Didžioji Ferma teorema
Monte-Karlo metodas
Nekenčiu kalkuliatoriaus!
Algebros istorija
Anri Puankarė
Vartiklis