Tribologija ir tepimo sprendimai

Ilja Kudišas (taikomosios matematikos profesorius Kettering‘o un-te (buv. General Motors inst-as) Flinte, Mičigano valst., JAV) išvystė metodus problemos, su kuria kasdien susiduria vežantys sunkius krovinius – nuspėti tepimo sąlygas - sprendimui. Šis klausimas yra labai svarbus įrenginiams, turintiems krumpliaračius, guolius ir kitas nuolat judančias dalis – kitaip sakant, beveik visoms mašinoms. Jis išleido 700 psl. apimties knygą apie elastohidrodinaminį tepimą, kuris yra vienas svarbiausių veiksnių veikiančių kontaktinį medžiagų nuovargį. Ankstesnė jo 900 psl. apimties knyga buvo skirta tribologijai. Tai mokslas apie judančių paviršių sąveiką, apimantis ir trinties, medžiagų nuovargio ar dilimo, defektų susidarymo ir trūkinėjimo klausimus. Jie kyla dėl medžiagos defektų bei nuolat pasikartojančio stresinio poveikio. I. Kudišas šioje srityje dirba su kitais keliolika įvairių šalių specialistų.

Jis sako: „Tepimo problemos yra tokios sudėtingos, kad gali būti išsprendžiamos tik naudojant skaičiavimo metodus. Praktiškai neįmanoma rasti tikslaus analitinio sprendinių, nes vienas iššūkių yra išspręsti uždavinius, aprašytus integralinėmis ir diferencialinėmis lygtimis“.

Ilja Kudišas pasiekė pažangą suvesdamas dvimatę sunkių svorių tepimo uždavinį į vienmatį. Tokių uždavinių sprendiniai yra, kaip įprasta, nestabilūs. Tačiau derinant analitinius ir skaitmeninius metodus galima gauti paprastą lygtį, leidžiančią gauti aiškų, fizikinę prasmė turintį reguliavimo sprendinį.

  1. I. Kudish. Elastohydrodynamic Lubrication for Line and Point Contacts. Asymptotic and Numerical Approaches, 2012
  2. I. Kudish, M. J. Covitch. Modeling and Analytical Methods in tribology, 2010

Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą

Jei skrendant lėktuvui jo antsparnius palenksime 1-2%, jis ims kilti aukštyn. O jei palenksime antra tiek, jis kils dukart greičiau. Bet jei palenksime perdaug, paprastai daugiau nei 15%, oro srovė po sparnais taps chaotiška ir gali nutikti bet kas: lėktuvo priekis užsiriesti aukštyn arba smegti žemyn, vienas sparnas palinkti žemyn ir lėktuvas pradės suktis vilkeliu. Technine kalba – įprastinėmis sąlygomis lėktuvo valdymas yra tiesinis, o už jų ribų tampa netiesiniu.

Kitas pavyzdys: tarkim, kad teniso kamuoliuką metate 20 km/val. greičiu. Jei važiuojate dviračiu 10 km/val. greičiu ir metate kamuoliuką į priekį, jis išlekia 30 km/val. greičiu. O dabar įsivaizduokite, kad vietoje teniso kamuoliuko metate popierinį lėktuviuką. Jie elgiasi labai nenuspėjamai – kai kurie jų tuo blogiau Example of turbulence skrenda, kuo stipriau metate. Važiuojant dviračiu, gali būti, kad jų išvis nepavyks paleisti. Jei prie dviračio pritaisyti davikliai ir kompiuteris, jis teniso kamuoliuko greitį ir trajektoriją paskaičiuos per sekundės dalis. Tačiau net nereikia tikėtis, kad kompiuteris nuspės popierinio lėktuviuko elgseną.

Inžinieriai linkę dirbti su tiesinėmis sistemomis, nes jas lengviau modeliuoti matematiškai, tačiau, deja, mes gyvename netiesiniame pasaulyje. Tad nemažai pastangų įdedama stengiantis netiesinių sistemų elgesį apibrėžti tiesinėmis priklausomybėmis. Ir net tais atvejais, kai tai pavyksta, neretai sprendinio negalima apibendrinti pritaikant kitoms sistemoms.

Pablo Perrilo iš MIT sukūrė naują technikų rinkinį, palengvinantį darbą su netiesinėmis sistemomis. Daugeliu atvejų tai algoritmai. Pvz., R. Tedrake juos panaudojo kurdamas vaikščiojančių ir skraidančių robotų valdymo sistemas; kvantinės informacijos teoretikai – aprašant paslaptingą savybę, vadinamąjį susiejimą, kai subatominės dalelės tampa priklausomomis viena nuo kitos; biologai remiasi jais tirdami sudėtingus cheminius informacinius kelius ląstelėse.

Tiesinių problemų ratas gana siauras ir gerai ištirtas, tuo tarpu netiesinių – milžiniškas ir komplikuotas. Dauguma žmonių su abiem susidūrė matematikos pamokose. Lygtis su dviem nežinomaisiais yra tiesinė, jei jos grafikas yra tiesė (pvz., y=x). Jei funkcijos grafikas yra kreivė, tada funkcija yra netiesinė (pvz., y=x2, kurios grafikas yra parabolė, kuri nėra tiesinė: kai x=1, y=1; kai x=2, y=4, tačiau kai x=3, y=9, o ne y=6). Kai kintamųjų daugiau nei 2, netiesinės lygtys tampa nepaprastai sudėtingos. Trijų kintamųjų lygties trimatis pavidalas gali atrodyti tarsi kalnagūbris, su nelauktais išsikišimais ir tarpekliais. Inžinerijoje ir fizikoje neretai naudojamos lygtys su 10-15 nežinomųjų.

Tačiau kartais pakanka bent kažką žinoti apie netiesinių lygčių topografines ypatybes, visai nesigilinant į detales. Pavyzdžiui, trimačio kūno atveju susiaurėjimo buvimas (pvz., kaip taurėje) gali duoti supratimą apie elgseną realiame pasaulyje. Taškas taurės dugne gali perteikti fizikinės sistemos būseną, o taurės sienelės pokrypis liudyti, kad sistema turi tendenciją tą būseną pasiekti.

Tarkim, kad lėktuvui, skrendančiam į tašką C aukštyje A ir greičiu B, reikia pakeisti kursą taip, kad skristų į tašką X aukštyje Y ir greičiu Z. Pirmąją lėktuvo būseną galime priimti kaip tašką trimatėje erdvėje (C, A, B), o siektiną būseną kaip kitą tašką (X, Y, Z). Ir jei turime netiesinę lygtį, aprašančią lėktuvo skrydį, reikia paklausti – ar antrasis taškas yra taurės dugne?

Parrilo pateikia būdą, leidžiantį atsakyti į šį klausimą nesprendžiant netiesinių lygčių. Tarkim, kad turime lygtį x2-2xy+y2<=0. Ar galite surasti x ir y reikšmes, kurioms nelygybė galioja? Negalite. Tačiau prisiminkite, kad toji formulė užsirašo (x- y)2. Kadangi bet koks skaičius, pakeltas kvadratu, visada teigiamas, tai nelygybę tenkins tik taškai, kuriems galioja y=x (t.y., tiesė).

Parrilo sukūrė pluoštą technikų, leidžiančių perrašyti sudėtingas netiesines lygtis (gerokai sudėtingesnes, nei toji, kurią pateikėme pavyzdžiu) kaip „sumų kvadratus“ (panašius į CODE>(x- y)2). Šie visada didesni arba lygus nuliui – ir ten, kur pasiekia nulį, yra taurės dugnas. Tačiau tai veikia tik su tam tikrais lygčių tipais, tačiau jie įprasti fizikinių sistemų matematiniuose modeliuose.

Tenzoriaus samprata
Kaip supakuoti standžiau?
Paslaptingi Markovo procesai
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
P-NP: Ant sveiko proto svarstyklių
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Laimėti pralaimint: „dviejų vokų“ paradoksas
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Semantinės derybos: Dviprasmybių modeliavimas
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Apie reliatyvumo teorijos prioriteto nustatymą
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
El. dalelių simetrija persmelkia viską
Kalbos matas ir netiesinė struktūra
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Visatos topologija: pradžiamokslis
Da Vinči matematinė klaidelė
Matematinė kalba ir simbolika
Kvantinė chemija – ateities mokslas?
Mokslininkui nereikia matematikos!
Diagramos, pakeitusios pasaulį
P. Fejerabendas prieš mokslą
Paviliota senovinio žaidimo
Revoliucija mazgų teorijoje
Pasikėsinimas į multivisatas
Kur viešpatauja chaosas?
Visata kaip kompiuteris
Matematikai: Žanas Furjė
Ar viskas čia taip?
Pokalbis su Eliza
Dalyba iš nulio
Minties virusai
Haketonai