Ar įrodytas abc teiginys? Vartiklis

Matematikas iš Japonijos Kioto universiteto Shinichi Mochizuki (save vadinantis „įvairiapusiu geometru“) skelbiasi išsprendęs vieną iš sudėtingų matematikos uždavinių. Jis paskelbė kelis straipsnius, kuriuose teigia įrodęs abc teiginį.

Uždavinys spręstas 4 m.; 2012 m. rugpjūčio 30 d. paskelbtas mokslinis darbas yra 500 psl. (žr. skyrių „Teichmuller Theory“). Jo sprendimui matematikas sukūrė savą matematinę kalbą, kuria aiškino savo sprendimo žingsnius. Įrodymo teisingumo patikrinimas gali trukti dar kelis metus, nors 43 metų S. Mochizuki reputacija aukštosios matematikos srityje yra puiki. JAV matematikas D. Goldfeld‘as^*) sakė, kad S. Mochizuki sprendimas – „vienas labiausiai stulbinančių XXI a. matematikos pasiekimų“. Jei patikrinimo metu klaidų nebus rasta, šis įrodymas padės išspręsti ir kai kurias kitas sudėtingas matematines užduotis.

Motidzuki vadina „japonų Perelmanu“. Dauguma kolegų nesuprato jo įrodymo. 2015 m. gruodžio 7-11 d. jis per „Skype“ pravedė Klėjaus intitituto surengtą seminarą, aiškindamas savo įrodymą. Bet matematikai skirtingai priimė Motidzuki paaiškinimus. Vieni jų nusivylė taip ir nesupratę, o kiti išvis palaikė tai farsu. Didžiausią nepasitenkinimą kėlė ypatingai abstrakti įrodymo kalba bei neformalus Motidzuki aiškinimo stilius.

Jis nesukėlė jokios erzelynės. Paprasčiausiai patalpino savo straipsnius, nieko apie tai neinformavo ir laukė, kada pasaulis juos suras. Tikriausiai pirmuoju juos pastebėjo kolega Akio Tamagawa ir „ištrimitavo“ el. laišku vienam savo bendradarbių, skaičių teorijos specialistui I. Fesenko, kuris pradėjo skaityti straipsnius, tačiau netrukus užmetė, nes „neįmanoma jų suprasti“. Taip pamažu žinia ėmė sklisti plačiau.

Kol kas (2015 m.) tik 4-i matematikai yra pranešę, kad perskaitė ir suprato Motidzuki įrodymą. Mokslo bendruomenė delsia pripažinti Motidzuki darbą todėl, kad jis kategoriškai atsisako išvykti iš šalies, nebendrauja su žiniasklaida ir nereguliariai atsakinėja į el. laiškus. Tuo jis kažkiek panašus į garsųjį rusų matematiką G. Perelmaną.

2016 m. liepos pabaigoje dar kartą susirinkta Kyoto un-te siekiant suprasti Mochizuki įrodymą. Nuo ankstesnio 2015 m. seminaro padėtis nelabai pagerėjusi. Šįkart pats S. Mochizuki dalyvavo susirinkime ir atsakinėjo į klausimus – jis tampa labiau bendraujančiu. Kai kurie dalyviai išreiškė viltį, kad kada nors įrodymas bus suprastas, tačiau dar negreitai ir tam prireiks dar kelių metų.

2018 m. kovą P. Scholze ir J. Stix‘as nuvyko į Kioto, kad aptartų abc įrodymo klausimus. Jiedu tvirtina, kad įrodyme yra spraga, „tokia rimta, kad ... nežymūs pakeitimai neišgelbės įrodymo strategijos“. Tačiau Mochizuki atviru laišku atsakė, kad jiedu klaidingai suprato svarbius jo teorijos aspektus ir padarė klaidingus supaprastinimus. Jis 2018 m. rugsėjį paskelbė 41 psl. apimties apžvalgą su savo požiūriu į šią diskusiją. Tad dar ne viskas taip aišku ir taip sunkiai suprantamame dalyke.

Įrodymas iki šiol nebuvo paskelbtas nė viename recenzuojamame žurnale. Po 8 m. debatų apie 600 psl. jo inter-universalios teorijos (IUT) išdėstymą, kurios dalį sudaro abc teiginio įrodymas, 2020-ais pagaliau atspausdino Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences. Tačiau šio žurnalo redaktorius yra pats Motidzuki, o jį leidžia institutas, kuriame jis dirba. Be to, dauguma tikinčių įrodymo teisingumu yra japonai. Tačiau tai netrikdo matematikų, daug laiko skyrusių įrodymo tyrinėjimui, kurio pagrindu recenzentai 2017 m. parengė 400 psl. apimties dokumentą. Pats Motidzuki jokių viešų pareiškimų apie publikaciją neišsakė ir atsisako duoti bet kokius interviu.

Papildomų trejetų paieškai Nyderlandų Leideno un-tas pradėjo paskirstytų skaičiavimų projektas abc@Home. 2012 m. rugsėjį projektas jau buvo radęs apie 23,1 mln. trejetų. Apie prisijungimą prie paskirstytų skaičiavimų žr. >>>>>

abc teiginį pirmieji nepriklausomai vienas nuo kito suformulavo britų matematikas David Masser'is (1985) ir prancūzas Joseph Oesterle (1988) - ir iki šiol jo niekas nesugebėjo įrodyti. Šis teiginys yra Mason-Stothers teoremos daugianariams analogas sveikųjų skaičių atveju.

Kitaip, bet kuriam realiajam skaičiui r > 1 egzistuoja baigtinis kiekis tarpusavyje pirminių skaičių a, b, c=a+b trejetų, kuriems tenkinama sąlyga:
c > rad(abc)^r

Sąlyga e > 0 yra būtina teiginio teisingumui, nes yra be galo daug trejetų a, b, c, kuriems rad(abc) < c. Pvz., a = 1; b = 2⁶ⁿ - 1 ir c = 2⁶ⁿ.

Griežtesnę nelygybę 1998 m. pasiūlė A. Baker‘is, teigdamas, kad joje rad(abc) galima pakeisti
e^-wrad(abc)
kur w yra bendras skirtingų pirminių skaičių, dalijančių a, b, ir c, kiekis.

Iš abc teiginio teisingumo seka Bilio hipotezė (Andrew Beal; ši hipotezė yra Didžiosios Ferma teoremos apibendrinimas), o iš šio – jau ir pačios Didžiosios Ferma teoremos įrodymas (1995 m. jau įrodyta E. Vailso^*) (Andrew Wiles)).
Taip pat iš abc teiginio seka Pillai hipotezė, o iš šios – Katalano hipotezė.

abc teiginio paaiškinimas „ant pirštų“ arba „žaliems“

abc teiginys paliečią pačią skaičių teorijos šerdį, nes jungia du pagrindinius veiksmus – sudėtį ir daugybą. O daugyba intymiai artima pirminiams skaičiams – mat kiekvienas natūrinis skaičius gali būti vienareikšmiškai užrašytas pirminių skaičių sandauga (žr. Pagrindinė aritmetikos teorema). Iš čia seka, kad, jei žinote a ir b daugiklius, tai iškart žinote ir jų sandaugos c=ab daugiklius.

O štai sudėties atžvilgiu pirminiai skaičiai ne tokie sukalbami. Tarkim turime a, b, c tokius, kad a+b=c - ir vis tiek nieko negalime pasakyti apie jų dėmenų pirminius daugiklius. Tarkim, a=4 ir b=9 – tada c=4+9=13 pats yra pirminis skaičius, o veiksme dalyvavo du pirminiai: 2 ir 3 (4=2², o 9=3²). Pats rezultate gautas pirminis yra didesnis už abu dėmenis (a ir b).

Tačiau taip yra ne visada. Paimkim a=4 ir b=5. Tada jų suma c=9=3². Taigi rezultato didžiausias pirminis (3) yra tarp dėmenų pirminių (2 ir 5). Tai negi nieko negalima pasakyti apie pirminius, įeinančius į sumos formulę?

Galima vienu būdu įvertinti pirminius skaičius, esančius a, b ir c dalikliais, - tai sudauginti visus jų daugiklius (juos imant tik po vieną kartą). Tad atvejui 4+5=9, gauname 2*5*3=30. Tokia sandauga vadinama abc radikalu (žymima rad(abc)) ir jį galime įsivaizduoti tarsi tam tikro tipo vidurkį. Radikalas nesuteikia informacijos apie pačius dėmenis, tačiau turi informacijos apie jų pirminių daliklių dydžius.

Mūsų atveju radikalas yra didesnis už dėmenų sumą (30 > 9) [ taip yra ir pirmojo pavyzdžio (4+9=13) atveju (2*3*13=78) ]. Tad galima imti įtarti, kad taip yra visada. Tad tai ir yra, ką ketintų teigti abc teiginys!
t.y., kad skaičių trejetui a, b, c, neturinčiam bendrų daliklių ir tokiam, kad a+b=c, visada c < rad(abc)

Bet tai netiesa! Paimkime a=2, b=243. Tada c=245, o rad(abc)=2*3*5*7=210
(nes 243=3⁵, o 245=5*7²).

Tad iš tikro, abc teiginys tvirtina, kad „paprastai“ c < rad(abc), tačiau „paprastai“ prasmė yra iš dviejų dalių. Pirmoji dalis susijusi su faktu, kad yra be galo daug tai trejetų. Tada „paprastai“ reškia, kad tėra tik baigtinis netenkinančių c < rad(abc) sąlygos kiekis (nors tas baigtinis iš tikro gali būti ir nepaprastai dideliu kiekiu, bet vis tiek baigtiniu – bet juk bet koks baigtinis yra niekis lyginant su begaliniu, ar ne?).

Tai ar jau teisinga, kad tik baigtinis trejetų skaičius netenkina minėtos nelygybės? Deja ne! Iš tikro, tai galima rasti begalinį jų skaičių. Tada suveikia antroji „paprastai“ dalis.

Tam imkime ir truputį „pagudraukime“, imdami nežymiai didesnį už rad(abc) skaičių. Juk bet kuriam teigiamam e,
rad(abc)^1+e > rad(abc)

Tada „patikslintas“ abc teiginio sąlyga bus c < rad(abc)^1+e

Nelygybę netenkinančių trejetų (baigtinis) kiekis priklauso nuo pasirinktos e reikšmės, tačiau bet kokiai e reikšmei jų skaičius bus baigtiniu.

Endrius Vailsas (Sir Andrew John Wiles, g. 1953 m.) – britų matematikas, kurio specializacija yra skaičių teorija. Labiausiai išgarsėjo įrodęs didžiąją Ferma teoremą (1995), už ką gavo Abelio premiją (2016). 1982 m. persikėlė į JAV.
Jis tvirtina, pirmąkart susidūręs su Ferma teorema būdamas 10 m. Bet tada greitai suprato, kad tai ne jo žinioms ir prie jos grįžo tik 33 m. amžiaus, kai K. Ribetas 1986 m. įrodė epsilon teiginį (apie Galua atvaizdavimų susiejimą su moduliarinėmis formomis). Galiausiai 1993 m. jis pateikė Ferma teoremos įrodymą, tačiau jame buvo aptikta klaida. Jos pašalinimui prireikė virš metų ir tik 1995 m. buvo paskelbtas naujas straipsnis.
E. Vailso darbai su Ferma teorema atspindėti miuzikle „Didysis Ferma tango“ (2000), taip pat paminimi „Žvaigždžių treko: Giliojo kosmoso DS9“ epizode „Facets“.

Teigiamo sveikojo skaičiaus n radikalas, žymimas rad(n) yra skirtingų n pirminių daliklių sandauga.
Pvz., rad(16) = 2; rad(17) = 17; rad(504) = 2 * 3 * 7 = 42

^*) Dorianas Goldfeldas (Dorian Morris Goldfeld, g. 1947 m.) – amerikiečių matematikas, dirbantis analitinės skaičių teorijos ir automorfinių formų srityse. Nuo 1985 m. Kolumbijos un-to prof.; nuo 2018 m. – žurnalo „Skaičių teorija“ vyr. redaktorius. Tarp jo indėlių yra prisidėjimas suprantant Zygelio nulius, ABC teiginį, moduliarines formas virš GL(n) ir kriptografijoje.