Tūkstantmečio problemos  

Yra keletas neišpręstų matematinių problemų sąrašų. Jie neretai įtraukia ir tas pačias problemas. Vienas žinomesnių sąrašų – 23 problemų D. Hilberto 1900-ais sudarytas sąrašas. Po šimto metų Klėjaus institutas 2000-aisiais paskelbė 7-ių problemų sąrašą – už kiekvienos sprendimą skirdamas po milijoną dolerių premiją.
Iš jų iki išspręsta tik viena – Puankarė teiginys. Mat didieji klausimai matematikoje nepritraukia daug dėmesio – skirtingai nei kitose mokslo srityse.

Tai problemos:

Puankarė teiginys (vienintelis išspręstas)

Puankarė teiginys yra teiginys topologijoje, kad kiekvienas paprastai sujungtas kompaktiškas uždaras dvimatis paviršius topologiškai yra lygus trimatei sferai.

1904 m. jį iškėlė A. Puankarė.

Puankarė teiginys buvo senai išspręstas visiems matavimas, aukštesniems už 3, tačiau tik 2003 m. jį įrodė G. Perelmanas, atsisakęs jam skirtos premijos.

Rymano hipotezė

Rymano hipotezę 1859 m. suformulavo B. Rymanas. Ji susijusi su kompleksinio kintamojo funkcijų bei skaičių teorijomis. Ji yra ir Hilberto problemų sąraše (8-je pozicijoje). Ji teigia, kad Rymano dzeta funkcijos visi netrivialūs nuliai turi realiąją dalį, lygią 1/2.

2015 m. Opeyemis Enochas iš Nigerijos pateikė jos įrodymą, tačiau jis nėra patvirtintas.
Vienu naujesnių proveržių (kaip laiko E. Bombieri) čia buvo 2019 m. Ken Ono primintas senas metodas, žr. >>>>>.

P-NP lygybė

Pirmąkart kompiuterijos srities P-NP lygybės problema paminėta 1956 m. K. Giodelio laiške Dž. fon Neimanui, o 1971 m. suformulavo Stefanas Kukas.
Tai klausimas, ar uždaviniai, kuriuos kompiuteris gali patikrinti (verifikuoti), gali būti būti ir jo greitai (t.y. per polinominį laiką) išsprendžiami.

2010 m. Vinay Deolalikar‘as teigė įrodęs hipotezę, tačiau jau 2013 m. keletas specialistų teigė, kad jo įrodymas nėra nei teisingas, nei duoda postūmį ją sprendžiant.
S. Aaronsonas, kartu su 2021 m. Abelio premijos laureatu Avi Wigderson‘u, 2009-ais paskelbė straipsnį, kuriame nurodė naują kliūtį – P klasė nėra ta pati kaip NP klasė (tai jau trečioji atrasta kliūtis).

Navier–Stokes lygčių sprendinys

Hidrodinamikoje Navier–Stokes lygtys aprašo skysčių ir dujų judėjimą. Jos pateiktos dar 19 a. (C. Navier ir G. Stokes), tačiau iki šiol jos nėra gerai suprantamos. Tūkstantmečio problemų sąrašė suformuluotas konkretus teiginys:
Trimatėje erdvėje su laiku duotam pradiniam greičio laukui egzistuoja greičio vektorius ir skaliarinis slėgio laukas, kurie abu yra glotnūs ir globaliai apibrėžti, esantys Navier–Stokes lygčių sprendiniu.

Hodžo teiginys

Algebrinės geometrijos srityje škoto W. Hodge 1941 m. suformuluotas Hodge teiginys apie tai, kad yra geriems erdvių tipams, vadinamosioms projektyvinėmis algebrinėmis daugdaromis, vadinamieji Hodžo ciklai yra geometrinę interpretaciją tutinčių objektų kombinacijomis – algebriniais ciklais.

Jango-Milso teorijos egzistavimas

Elementariųjų dalelių fizikoje klasikinė Jango-Milso teorija yra Maksvelo elektromagnetinės teorijos apibendrinimas, kuriame pats chromo-elektromagnetinis laukas perkelia krūvius. Klasikinėje lauko teorijoje ji turi sprendinį, kuris sklinda šviesos greičiu. Tada jos kvantinėje versijoje turėtų apibrėžti bemases daleles (gluonus). Tačiau postuluotas spalvos reiškinys teleidžia surištas gluono versijas numatant tik daleles su mase. Tai jau viena iš spragų. O kita – asimptotinė laisvė, dėl kurios Jango-Milso teorija egzistuoja be apribojimų apatinei energijos reikšmei. Todėl iškyla klausimas, ar egzistuoja kvantinė Jango-Milso teorija.

Tūkstantmečio sąraše problema suformuluota taip:
Įrodyti, kad bet kuriai paprastai kalibruotai grupei G netriviali Jango-Milso teorija egzistuoja R4 erdvėje ir turi masės defektą > 0

Birch'o ir Swinnerton-Dyer'o teiginys

Skaičių teorijoje Birčo ir Svinertono-Dajerio teiginys susijęs su elipsinėmis lygtimis racionaliais koeficientais – ar yra paprastas būdas nustatyti, ar lygtys turi baigtinį racionalių sprendinių kiekį. Hilberto 10-oji problema yra apie bendresnį lygties tipą ir yra įrodyta, kad neįmanoma nustatyti, ar lygtis aplamai turi bent kokį sprendinį.
Naudodamas EDSAC-2 kompiuterį Kembridžo un-te P. Swinnerton-Dyer‘is skaičiavo taškų moduliu p dideliam skaičiui taškų elipsinėms kreivėms su žinomu rangu. Iš gautų rezultatų 1965 m. ir buvo suformuluotas šis teiginys. Jo tikslus teiginys labai techninis ir su laiku vystėsi.
Jei konkrečiau, tai jie spėjo, kad sveikų skaičių kiekis kreivėje E su r rangu moduliu p (Np) tenkina dėsnį
Birch ir Swinnerton-Dyer hipotezė  , kai x ® ¥ ir C yra konstanta.
2015 m. M. Bhargava su A. Šankuru įrodė, kad teiginys yra teisingas didesnei elipsinių kreivių daliai (tvirtinama, kad bent 66%) ir iš viršaus apribota 7/6..


Trumpos biografijos

Stefanas Kukas (Stephen Arthur Cook, g. 1939 m.) – Amerikos-Kanados kompiuterių mokslo atstovas ir matematikas, prisidėjęs vystant uždavinių sudėtingumo ir įrodymo teoriją. Yra Tiuringo premijos laureatas. Dėsto Toronto un-te.

Klodas Liui Navjė (Claude-Louis Navier,1785-1836 ) – prancūzų inžinierius ir mechanikas. Rašė apie statybų mechaniką, medžiagų tamprumą, hidrauliką ir hidromechaniką. 1821 m. tamprumo teoriją išreiškė matematiniu pavidalu, tinkamu naudojimui statyboje. Didžiausias indėlis – 1822 m. išvestos Navier–Stokes lygtys.

Džordžas Stoksas (Sir George Gabriel Stokes, 1st Baronet, 1819-1903) – airių kilmės fizikas ir matematikas, visą gyvenimą praleidęs Kembridže. Prisidėjo vystant skysčių ir dujų dinamiką (Navier–Stokes lygtys; 1849), optiką, matematinę fiziką. Įvedė skysčių vidinės trinties sąvoką. 1848 m. išvedė diferencialinę lygtį, aprašančia sūkurio kitimą laike. Tyrinėjo ir kaip skystis sugeria garsą. Buvo Karališkosios draugijos prezidentu (1885-1890 ).

Viljamas Hodžas (Sir William Vallance Douglas Hodge, 1903-1975) – škotų matematikas, specializavęsis geometrijoje. Pagrindiniai darbai algebrinės ir diferencialinės geometrijos srityse. 4-me dešimtm. pateikė „Hodžo žvaigždės” operatoriaus apibrėžimą.

Topologija
Puankarė teiginys
Zenono paradoksai
Monte-Karlo metodas
Abelio premijos laureatai
Kur viešpatauja chaosas?
Revoliucija mazgų teorijoje
Paslaptingi Markovo procesai
Pi keliai ir klystkeliai
Matematika prieš eismo spūstis
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Nepaprasti skaičiai: skaičius 42
Galilėjus, Dievas ir Matematika
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Rymano hipotezės paaiškinimas
Hipokratas iš Chijo salos
Golbacho teiginio įrodymas?
Matematikai: Anri Puankarė
Santykis ir proporcija
Harmoninės eilutės
Va tai šeimynėlė!
Smeilo paradoksas
Algebros istorija
Pirminiai skaičiai
Matroidai
Vartiklis