Tūkstantmečio matematikos problemos. Vartiklis

Yra keletas neišpręstų matematinių problemų sąrašų. Jie neretai įtraukia ir tas pačias problemas. Vienas žinomesnių sąrašų – 23 problemų D. Hilberto 1900-ais sudarytas sąrašas. Po šimto metų Klėjaus institutas 2000-aisiais paskelbė 7-ių problemų sąrašą – už kiekvienos sprendimą skirdamas po milijoną dolerių premiją.
Iš jų iki išspręsta tik viena – Puankarė teiginys. Mat didieji klausimai matematikoje nepritraukia daug dėmesio – skirtingai nei kitose mokslo srityse.

Puankarė teiginys yra teiginys topologijoje, kad kiekvienas paprastai sujungtas kompaktiškas uždaras dvimatis paviršius topologiškai yra lygus trimatei sferai.

Puankarė teiginys buvo senai išspręstas visiems matavimas, aukštesniems už 3, tačiau tik 2003 m. jį įrodė G. Perelmanas, atsisakęs jam skirtos premijos.

Rymano hipotezę 1859 m. suformulavo B. Rymanas. Ji susijusi su kompleksinio kintamojo funkcijų bei skaičių teorijomis. Ji yra ir Hilberto problemų sąraše (8-je pozicijoje). Ji teigia, kad Rymano dzeta funkcijos visi netrivialūs nuliai turi realiąją dalį, lygią 1/2.

2015 m. Opeyemis Enochas iš Nigerijos pateikė jos įrodymą, tačiau jis nėra patvirtintas.
Vienu naujesnių proveržių (kaip laiko E. Bombieri) čia buvo 2019 m. Ken Ono primintas senas metodas, žr. >>>>>.

Pirmąkart kompiuterijos srities P-NP lygybės problema paminėta 1956 m. K. Giodelio laiške Dž. fon Neimanui, o 1971 m. suformulavo Stefanas Kukas.
Tai klausimas, ar uždaviniai, kuriuos kompiuteris gali patikrinti (verifikuoti), gali būti būti ir jo greitai (t.y. per polinominį laiką) išsprendžiami.

2010 m. Vinay Deolalikar‘as teigė įrodęs hipotezę, tačiau jau 2013 m. keletas specialistų teigė, kad jo įrodymas nėra nei teisingas, nei duoda postūmį ją sprendžiant.
S. Aaronsonas, kartu su 2021 m. Abelio premijos laureatu Avi Wigderson‘u, 2009-ais paskelbė straipsnį, kuriame nurodė naują kliūtį – P klasė nėra ta pati kaip NP klasė (tai jau trečioji atrasta kliūtis).

Hidrodinamikoje Navier–Stokes lygtys aprašo skysčių ir dujų judėjimą. Jos pateiktos dar 19 a. (C. Navier ir G. Stokes), tačiau iki šiol jos nėra gerai suprantamos. Tūkstantmečio problemų sąrašė suformuluotas konkretus teiginys:
Trimatėje erdvėje su laiku duotam pradiniam greičio laukui egzistuoja greičio vektorius ir skaliarinis slėgio laukas, kurie abu yra glotnūs ir globaliai apibrėžti, esantys Navier–Stokes lygčių sprendiniu.

Algebrinės geometrijos srityje škoto W. Hodge 1941 m. suformuluotas Hodge teiginys apie tai, kad geriems erdvių tipams, vadinamosioms projektyvinėmis algebrinėmis daugdaromis, vadinamieji Hodžo ciklai yra geometrinę interpretaciją turinčių objektų kombinacijomis – algebriniais ciklais.
Hodžo hipotezę pavyko įrodyti keliems atskiriems atvejams. Tačiau bendras įrodymas nėra rastas, kaip ir hipotezės paneigimas.

Tegu Hodžo klasių 2k laipsnio grupė X kompaktiškoje kompleksinėje daugdaroje būna:

Tada šiuolaikinė Hodžo hipotezės formuluotė yra:

Tegu X - neišsigimusi projektyvioji kompleksinė daugdara. Tada kiekviena Hodžo klasė iš X yra X kompleksinių subdaugdarų su racionaliais koeficientais homologijų klasių tiesine kombinacija.

Projektyvioji kompleksinė daugdara - kompleksinė daugdara, kurią galima įdėti į kompleksinę projektyviąją erdvę.

Stipriausiu Hodžo hipotezės parėmimu yra E. Cattani, P. Deligne ir A. Kaplan'o 1995 m. algebrinis rezultatas „On the locus of Hodge classes“, J. of the Am. Math. Society, no 8.

Elementariųjų dalelių fizikoje klasikinė Jango-Milso teorija yra Maksvelo elektromagnetinės teorijos apibendrinimas, kuriame pats chromo-elektromagnetinis laukas perkelia krūvius. Klasikinėje lauko teorijoje ji turi sprendinį, kuris sklinda šviesos greičiu. Tada jos kvantinėje versijoje turėtų apibrėžti bemases daleles (gliuonus). Tačiau postuluotas spalvos reiškinys teleidžia surištas gliuono versijas numatant tik daleles su mase. Tai jau viena iš spragų. O kita – asimptotinė laisvė, dėl kurios Jango-Milso teorija egzistuoja be apribojimų apatinei energijos reikšmei. Todėl iškyla klausimas, ar egzistuoja kvantinė Jango-Milso teorija.

Įrodyti, kad bet kuriai paprastai kalibruotai grupei G netriviali Jango-Milso teorija egzistuoja R⁴ erdvėje ir turi masės defektą > 0.

Skaičių teorijoje Birčo ir Svinertono-Dajerio teiginys susijęs su elipsinėmis lygtimis racionaliais koeficientais – ar yra paprastas būdas nustatyti, ar lygtys turi baigtinį racionalių sprendinių kiekį. Hilberto 10-oji problema yra apie bendresnį lygties tipą ir yra įrodyta, kad neįmanoma nustatyti, ar lygtis aplamai turi bent kokį sprendinį.
Naudodamas EDSAC-2 kompiuterį Kembridžo un-te P. Swinnerton-Dyer‘is skaičiavo taškų moduliu p dideliam skaičiui taškų elipsinėms kreivėms su žinomu rangu. Iš gautų rezultatų 1965 m. ir buvo suformuluotas šis teiginys. Jo tikslus teiginys labai techninis ir su laiku vystėsi.
Jei konkrečiau, tai jie spėjo, kad sveikų skaičių kiekis kreivėje E su r rangu moduliu p (N_p) tenkina dėsnį
Birch ir Swinnerton-Dyer hipotezė

, kai x ® ¥ ir C yra konstanta.
2015 m. M. Bhargava su A. Šankuru įrodė, kad teiginys yra teisingas didesnei elipsinių kreivių daliai (tvirtinama, kad bent 66%) ir iš viršaus apribota 7/6.

Teiginys įrodytas kai kuriems specialiems atvejams, tačiau šiuo metu nėra įrodymų rangui didesniam nei 1.

¹⁾ Stefanas Kukas (Stephen Arthur Cook, g. 1939 m.) – Amerikos-Kanados kompiuterių mokslo atstovas ir matematikas, prisidėjęs vystant uždavinių sudėtingumo ir įrodymo teoriją. Yra Tiuringo premijos laureatas. Dėsto Toronto un-te.

²⁾ Klodas Liui Navjė (Claude-Louis Navier,1785-1836 ) – prancūzų inžinierius ir mechanikas. Rašė apie statybų mechaniką, medžiagų tamprumą, hidrauliką ir hidromechaniką. 1821 m. tamprumo teoriją išreiškė matematiniu pavidalu, tinkamu naudojimui statyboje. Didžiausias indėlis – 1822 m. išvestos Navier–Stokes lygtys.

³⁾ Džordžas Stoksas (George Gabriel Stokes, 1st Baronet, 1819-1903) – airių kilmės fizikas ir matematikas, visą gyvenimą praleidęs Kembridže. Prisidėjo vystant skysčių ir dujų dinamiką (Navier–Stokes lygtys; 1849), optiką, matematinę fiziką. Įvedė skysčių vidinės trinties sąvoką. 1848 m. išvedė diferencialinę lygtį, aprašančia sūkurio kitimą laike. Tyrinėjo ir kaip skystis sugeria garsą. Buvo Karališkosios draugijos prezidentu (1885-1890 ).

⁴⁾ Viljamas Hodžas (Sir William Vallance Douglas Hodge, 1903-1975) – škotų matematikas, specializavęsis geometrijoje. Pagrindiniai darbai algebrinės ir diferencialinės geometrijos srityse. 4-me dešimtm. pateikė „Hodžo žvaigždės” operatoriaus apibrėžimą.

⁵⁾ Piteris Svinertonas-Dajeris (Henry Peter Francis Swinnerton-Dyer, 1927-2018) – anglų matematikas Kenbridžo un-te, specializavęsis skaičių teorijos ir algebrinės geometrijos srityse. Žinomas kaip stiprus bridžo žaidėjas ir savo politine veikla. Žinomiausias dėl su B. Birču 1965 m. suformuluotu teiginiu.