Kita skaičiavimo metodų istorijos pusė  

Skaičiavimo metodai kilo 17 a. mokslininkų debatuose. 1635 m. italas Bonaventura Cavalieri^*) paskelbė, kad kiekviena plokštuma sudaryta iš begalinio lygiagrečių tiesių kiekio, o bet kuris trimatis kūnas – iš begalinio kiekio plokštumų. Jo „nedalomųjų metodas“ tapo integralinio skaičiavimo pirmtaku, tačiau ne anksčiau kaip atlaikęs šveicaro Paul Guldin‘o^**) užpuolius. Tačiau pasirodo, kad jų ginčus lėmė ne vien asmeniniai motyvai. Jiedu priklausė skirtingiems katalikų ordinams ir todėl skyrėsi jų samprata, kaip reikia naudoti matematiką aiškinantis gamtos paslaptis.

P. Guldino kritika pateikta jo „De Centro Gravitatis“ (1641) 4-e knygoje. Aiškinama, kad B. Cavalieri įrodymai nėra konstruktyvūs, tad klasikiniai matematikai negali jų pripažinti. Ir tai buvo tiesa: tradiciniame euklidiniame metode nuosekliai, nuo paprastesniųjų link sudėtingesniųjų, konstruojamos geometrinės figūros – vien liniuotės ir skriestuvo pagalba. Toks figūrų nubrėžimas privalomas kiekviename įrodymo žingsnyje.

Tuo tarpu Cavalieri panaudojo kitą būdą: jis pradėjo jau turimomis geometrinėmis figūromis (parabolės, spiralės...) ir tada dalija jas į nesuskaičiuojamą kiekį dalių. Tai gali būti vadinama „dekonstrukcija“ ir jos tikslas yra ne sukurti tikslinę figūrą, o išsiaiškinti vidinę egzistuojančios figūros struktūrą.

Tada Guldinas užsipuolė Cavalieri metodo pagrindą: „Joks geometras nepripažins, kad paviršius yra ... ‚visos tokios figūros linijos‘ “. Kitais žodžiais, jei linijos neturi pločio, tai visai nesvarbu, kiek jų sudėtumėm greta, - jos nesuformuotų net mažiausio plotelio. Cavalieri bandymas skaičiuoti plotą sumuojant „visų linijų“ plotus atrodo absurdu. Tad Guldinas darė galutinę išvadą: tas metodas remiasi proporcijos nustatymu tarp vienos figūros visų linijų su kitos figūros visomis linijomis. Bet, kadangi abiem atvejais jų kiekis begalinis, tai proporcija tarp begalinių dydžių yra beprasmė.

Iš esmės, Guldino kritika rėmėsi jėzuitiška matematikos samprata. Jėzuitų matematinės tradicijos pradininkas Christopher Clavius^***) manė, kad matematika privalo būti sisteminga ir deduktyvi, aprašydama universaliuosius dėsnius nuosekliai eiti nuo paprastų postulatų prie sudėtingesnių. Tokio idealo įsikūnijimu buvo konstrukciniai įrodymai. Tam buvo sukurta griežta ir hierarchinė logika, kuri, anot jėzuitų, buvo vienintelė priežastis, kodėl tą discipliną išvis reikia studijuoti: ji rodė, kaip abstraktūs dalykai per sistemingą dedukciją sukuria fiksuotą ir protingai sukonstruotą pasaulį, kuriame tiesos yra universalios ir nekintančios. Tad, anot Klavijaus, jėzuitams euklidinė geometrija yra artimesnė už bet kurį kitą mokslą.

Tas pats ir dėl kritikos apie figūrų skaidymą „visas linijas“. Matematika privalo ne tik būti konstruktyvi, bet ir be prieštaravimų. O B. Cavalieri toks tvirtinimas neatlaiko proto išbandymų: „Negalima lyginti daiktų, kurie neegzistuoja, ar negali egzistuoti“.

Jėzuitams tokia matematika buvo blogiau nei jokios matematikos nebuvimas. Juk matematikos tikslas buvo į pasaulį įnešti tvarką ir stabilumą, o nedalomųjų metodas galėjo įnešti tik sąmyšį ir chaosą. Jį pripažinus, matematika daugiau negalėjo būti amžinos tvarkos pagrindu.

Tik savo rašiniuose Guldinas nepateikė gilesnių filosofinių savo kritikos pagrindimų, kaip ir jėzuitų matematikai Mario Bettini bei Andrea Tacquet‘as, kurie irgi puolė Cavalieri metodą. Tik vienoje vietoje Guldinas užsiminė, kad yra gilesnės nei matematinės priežastys, paslaptingai parašydamas: „Nemanau, kad [nedalomųjų] metodas turėtų būti atmestas dėl priežasčių, kurias reikia nutylėti“.

Kai Cavalieri 1642 m. pirmąkart sužinojo apie Guldino kritiką, jis nieko nelaukdamas ėmė darbuotis su paneigimu. Pradžioje jis ketino atsakyti dialogo tarp draugų forma, kurią mėgo jo mokytojas Galileo Galilėjus. Tačiau parodžius trumpą eskizą draugui ir matematikui Giannantonio Rocca, šis pasisakė prieš, nes yra saugiau jos nenaudoti (kuri gali tik dar labiau supykdyti stiprius oponentus), o geriau tiesiogiai atsakyti į Guldino kaltinimus, koncentruojantis vien į matematinius klausimus. Tik Rocca nepasakė, kad Cavalieri neturėjo nei Galilėjo kaip rašytojo talento, nei sugebėjimų sudėtingus dalykus perteikti sąmojingai ir patraukliai. Ir Cavalieri atsakymas Guldinui buvo pateiktas kaip trečiasis „Uždavinys“ jo paskutinėje knygoje apie nedalomuosius „Exercitationes Geometricae Sex“ (1647) ir pavadintas gana įtikinamai - „Apie Guldiną“.

Neatrodo, kad B. Cavalieri buvo sunkiai įveikiama Guldino kritika. Jis neigė, kad kontinuumas sudarytas iš begalinio kiekio nedalomų dalių, aiškindamas, kad jo metodas nesiremia tokia prielaida. Jei kas tiki, kad kontinuumas yra sudarytas iš nedalomųjų, tada taip, „visos linijos“ kartu sudėtos sudaro paviršių, o „visos plokštumos“ – tūrinį daiktą. Bei jei kas nepripažįsta, kad visos linijos kartu sudaro paviršių, tada neišvengiamai egzistuoja dar kažkas (be tų linijų), ko reikia paviršiaus sudarymui, ir kažko prie plokštumų, kad būtų sudarytas erdvinis kūnas. Nė vienas tų prielaidų neįtakoja nedalomųjų metodo, kuris visas vienos figūros linijas ir visas plokštumas lygina su kitos figūros tomis, neatsižvelgiant į tai, ar jos iš tikro sudaro visą figūrą.

Tad toks Cavalieri argumentas privalėjo būti techniškai priimtinas, tačiau kartu buvo ir nenuoširdus. Bet kas skaitydamas jo knygas „Geometria Indivisibilibus“ (1635) arba „Exercitationes“ turėjo neabejoti, kad jos remiasi intuityvu supratimu, kad kontinuumas sudarytas iš nedalomųjų. Tad Guldinas buvo visiškai teisus dėl tokio požiūrio į kontinuumą ir jėzuito gynyba teatrodė tarsi mažas atsiprašymas.

Cavalieri atsakymas Guldinui, kad „begalybė neturi jokios proporcijos su kita begalybe“ buvo vargiai įtikinamas. Jis skyrė du begalybės tipus, tvirtindamas, kad „absoliuti begalybė“ neturi proporcijų su kita „absoliučia begalybe“, tačiau visos linijos ir plokštumos sudaro ne absoliučia, o „reliatyvią begalybę“. O ši begalybė jau turi santykį ir proporciją su kita reliatyvia begalybe. Tad kaip ir anksčiau, Cavalieri bandė ginti savo metodą techniškai painokai, kas galėjo būti priimtina ar nepriimtina kitiems matematikams. Kaip bebūtų, šis argumentas neturėjo ryšio su tikraisiais motyvais, glūdinčiais už nedalomųjų metodo.

Tie motyvai išryškėjo B. Cavalieri atsakyme Guldino kaltinimui, kas jisai neteisingai „konstruoja“ savo figūras. Čia Cavalieri kantrybė trūko ir jis parodė tikras spalvas. Guldinas tvirtino, kad kiekviena figūra, kampas ar linija geometriniame įrodyme privalo būti kruopščiai sukonstruota pagal pirminius principus. Cavalieri tai kategoriškai neigė: „Kad įrodymas būtų teisingas, nėra būtina tikrovėje nubrėžti tas figūras, o yra pakankama laikyti, kad jos nubrėžtos mintyse“.

Ir čia esminis skirtumas tarp Guldino ir Cavalieri, tarp jėzuitų ir nedalomųjų šalininkų. Jėzuitams matematikos tikslas buvo sukonstruoti fiksuotą ir amžiais nekintantį pasaulį, kuriame niekada nebūtų kėsinamasi į tvarką ir hierarchiją jame. Tam reikėjo, kad tvarkingai ir protingai būtų sukonstruotas bet kuris jame esantis daiktas ir neturėjo likti jokių prieštaravimų bei paradoksų. Tai matematika, kurios tikslas buvo chaotiškame pasaulyje įvesti tvarką.

B. Cavalieri ir jo pasekėjams viskas buvo atvirkščiai: matematika prasideda materialiąja pasaulio intuicija – kad figūra plokštumoje sudaryta iš atkarpų, o tūrinės figūros – iš plokštumų, panašiai kaip audeklas nuaudžiamas iš siūlų ir knygą sudaro lapai. Niekam nebūtina tokias figūras kurti realiame pasaulyje, nes žinome, kad jos jau egzistuoja tikrovėje. Tereikia tai pripažinti ir tirti jų vidines struktūras. Jei susidursime su paradoksais ir prieštaravimais, tai jie susiję su aukštesniais dalykais ir iškyla dėl mūsų riboto supratimo, ir gali būti išsiaiškinami arba panaudoti kaip tyrinėjimo įrankiai. Tačiau jie nesustabdys mūsiškio vidinės struktūros tyrinėjimo ir ryšių ieškojimo.

Klasikinio požiūrio matematikams (kaip Guldinui) nuostata, kad matematika gali remtis miglota intuicija, atrodė absurdiška. Guldinas pašaipiai klausė Cavalieri: „Kas bus nusprendžiančia ranka, akimi ar protu?“. O Cavalieri manė, kad Guldino nusistatymas vengti paradoksų buvo perdėtas pedantiškumas: juk kiekvienas žino, kad figūros egzistuoja ir jis nematė tikslo įrodinėti, kodėl jos negalėtų egzistuoti.

Tereikia džiaugtis – jei Guldino požiūris būtų nugalėjęs, mes būtume netekę galingo metodo matematikoje.

---

^*) Bonaventura Kavaljeri (Bonaventura Francesco Cavalieri, 1598-1647) – italų jėzuitas ir matematikas, matematinės analizės pirmtakas, iškiliausias „nedalomųjų geometrijos“ atstovas, su G. Galilėjumi susirašinėjęs apie figūrų skaidymą į be galo mažus elementus. Nuo 1629 m. iki mirties dėstė Bolonijos un-te. 1632 m. įvedė žymėjimą log. Jį globojęs popiežius Urbanas VIII paskyrė vienuolyno vyresniuoju. Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

^**) Paulius Guldinas (Paul Guldin, tikr. vardas Habakkuk Guldin, 1577-1643) – žydų kilmės šveicarų jėzuitas, matematikas, astronomas, žinomas bendradarbiavimu (ir susirašinėjimu) su J. Kepleriu ir B. Kavaljeri. Augęs protestantų šeimoje, būdamas 20 m. amžiaus priėmė katalikybę ir įstojo į jėzuitų ordiną. 1617 m. pradėjo dėstyti matematiką Graco jėzuitų kolegijoje, o 1623 m. buvo paskirtas profesoriumi Vienos un-te.
Pirmąjį straipsnį apie kalendoriaus reformą paskelbė 1618 m. 1622 m. paskelbė straipsnį apie Žemės masės centrą. Anot jo, bet kurio stambaus kūno masių centras turi judėti taip, kad vėliau sutaptų su Visatos masės centru – iš to padarė išvadą, kad Žemę visąlaik juda. O svarbiausias jo 4 t. darbas buvo „Centrobaryca seu de centro gravitatis trium specierum quantitatis continuae“ (1635-41), kurio 2 tome pateiktos teoremos apie plokščios figūros sudaryto kūno tūrį ir paviršiaus plotą (Papo-Guldino teoremos).

^***) Kristoferis Klavijus (Christopher Clavius, 1538-1612) – vokiečių jėzuitas, matematikas, astronomas. Išgarsėjo dalyvavimu komisijoje dėl kalendoriaus reformos; iš esmės yra Grigaliaus kalendoriaus bendraautorius. Jėzuitu tapo 1555 m. Jis savo lentelėse pirmasis Vakaruose ėmė naudoti dešimtainį tašką skaičiaus dešimtainės dallies atskyrimui. Logikoje jo vardu vadinamas dėsnis (teiginio tiesa, sekanti iš jo neigimo neteisingumo).
Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje (nors ir buvo išreiškęs abejones dėl kalnų buvimo Mėnulyje).

Puankarė teiginys
Meilės sinusoidė
Grandi paradoksas
Begalybė (pristatymas)
Monte-Karlo metodas
Jų begalinė išmintis
Santykis ir proporcija
Paslaptingi Markovo procesai
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematikos pradžia Lietuvoje
Galilėjus, Dievas ir Matematika
A. Whitehead. Skaičiavimų prigimtis
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Dviejų filosofinės logikos paradigmų kova
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
El. dalelių simetrija persmelkia viską
P. Florenskis ir Maskvos matematikai
Neapibrėžtumas, tikimybė ir prognozė
Visatos topologija: pradžiamokslis
Kas tie romėniški skaitmenys?
Rymano hipotezės paaiškinimas
Skaičių simbolika Vedose
Sutramdytas lagaminas
Dioklas ir jo cizoidė
Aritmetikos pagrindai
Algebros istorija
Dalyba iš nulio
Vartiklis