Rymano hipotezės paaiškinimas

Susipažinkite: Rymano hipotezės formuluotė,
o taip pat apie Pirminių skaičių pasiskirstymus

Vienas P. Delignė (2013 m. Abelio premijos laureatas) pasiektų rezultatų ypač įdomus, o jo ištakos siekia legendinį 18 a. matematiką L. Oilerį.
Tasai nagrinėjo eilutes Sn=1+1/2/+1/3+1/4+…+1/n  bei  Tn=1+1/22+1/32+1/32…1/n2

O kas vyksta, kai n artėja į begalybę? Sn be galo didėja nepasiekdama jokios ribos – matematikai sako, kad ji diverguoja. Tn irgi didėja, tačiau suma niekad neviršija p2/6, - taigi ji konverguoja.

O kas vyksta, kai imami kiti laipsniai? Gauname, kad
z(s) =1+1/2s+1/3s+1/3s+1/4s+...
konverguoja kiekvienam s > 1.
Taip z(s) virsta funkcija, kurios reikšmė yra reikšmė, į kurią konverguoja eilutė, kai s > 1

Bet Oileris padarė kitą nepaprastą atradimą – 1737 m. jis įrodė, kad begalinė eilutė z(s) gali būti užrašyta begaline sandauga
z(s)=1/(1-1/2s)(1-1/3s)(1-1/5s)(1-1/7s)…

Tai gana įdomu – visų natūrinių skaičių išraiška virto išraiška su pirminiais skaičiais! Maždaug po šimtmečio vokiečių matematikas B. Rymanas1) vėl grįžo prie vadinamosios Oilerio dzeta funkcijos įvesdamas kitą įdomų sąryšį ir iškeldamas klausimą, tebejaudinantį matematikus iki šiol: kaip pasiskirstę pirminiai skaičiai?

Oilerio dzeta funkcija kaip argumentą ima realius skaičius s>1 ir gražina taip pat realius skaičius. Rymanas išplėtė nagrinėjamų skaičių erdvę įtraukdamas savitesnę kompleksinių skaičių aibę. Tai skaičiai, kurių forma yra a+ib, kur i yra menama lygties x2=-1 šaknis, o a ir b - realūs skaičiai. Su jais galimi sudėties, atimties, daugybos veiksmai (prisimenant, kad i2=-1).

Maža to, kompleksiniai skaičiai turi aiškią geometrinę interpretaciją – juos galime tapatinti su taškais plokštumoje, kurių koordinatės (a,b). Realūs skaičiai yra kompleksinių skaičių dalis (poaibis) – jie sudaro realių skaičių ašį (jie išreiškiami kaip a+i0).

Rymanas nustatė, kad Rymano funkcija (Oilerio funkcija su kompleksiniais argumentais) suteikia informacijos apie pirminius skaičius – tuo atveju, kai jos rezultatas lygus nuliui. Pirminių skaičių teorema teigia, kad pirminių skaičių, mažesnių už n, yra apytiksliai n/ln n. Lieka klausimas, kaip smarkiai klysta tasai įvertinimas?
Rymanas teigė, kad visi vadinamieji dzeta funkcijos nuliai turi formą 1/2+ib; kitaip tariant, atitinka taškus plokštumoje, kurių pirmoji koordinatė lygi 1/2. Teiginys dar neįrodytas, tačiau jis leistų nustatyti, kokio dydžio galėtų būti minėta paklaida.

P. Delignė darbų sritis yra algebrinė geometrija. Bet kur čia ryšis?

Kad algebra susijusi su geometrija žinom nuo mokyklos suolo. Plokštumos taškams (x,y) lygtis x2+y2=1 „brėžia“ apskritimą su spinduliu 1 aplink tašką (0,0). Taigi, algebra gali apibrėžti geometrines formas.

Mūsų pavyzdyje (x,y) yra realūs skaičiai. Bet yra ir kitų skaičių tipų. Jau minėjome kompleksinius skaičius. Pavyzdžiui, gali būti skaičiai valandoms žymėti – nuo 0 iki 11.O tarkim, kad teturime tik skaičius 0, 1, 2. Jiems galima nurodyti taisykles aritmetiniams veiksmams, pvz., 2+1=0; 2+2=1 ir t.t. Tada skaičiai 0-2 tokios sudėties atžvilgiu sudaro lauką F3 - turinčiu tik baigtinį narių skaičių.

Tada paklauskime: kas nutiks mūsų apskritimui x2+y2=1, jei lygties argumentai įgaus tik F3 reikšmes? Tada ir mūsų apskritimus turės tik taškus, kurių koordinačių reikšmės tėra F3 nariai, t.y (0,1), (1,0), (0,2) ir (2,0).

Tada galime sukurti platesnį lauką iš F3 - taip, kaip kūrėme kompleksinius skaičius. Pvz, lygtis x2=2 neturi sprendinių iš F3, tačiau tarkim, kad ji turi menamą sprendinį q - ir jis turės tokį pat vaidmenį, kaip i kompleksiniams skaičiams, t.y. gausime skaičius, kurių forma a+qb, kur a ir b yra reikšmės iš F3. Naujas laukas turės 9 narius.

Panašiu būdu (įtraukdami konkrečių lygčių sprendinius) galime sukonstruoti visą panašių laukų seką: F3, F32, F33, F34..., kur indeksai nurodo lauko narių kiekį. Be to, tai galim padaryti ne tik skaičiui 3, bet ir bet kuriam pirminiam skaičiui p  Fp, Fp2, Fp3, Fp4...

Kiekvienai tų sekų galime paklausti, kiek (kiekvienai tų sekų) taškų turės „apskritimas“ x2+y2=1
Atsakymas sudarys seką a1 (Fp,), a2 (Fp2), a3 (Fp3,), a4 (Fp4,), …

Galim „žaisti“ ir toliau. Vietoje apskritimo lygties galime imti bet kokią lygčių (polinominių) aibę, kuriai minėtai laukų aibei gausime reikšmių aibę b1, b2, b3, b4,...

Ir taip pamažu priartėjome prie ryšio su Rymano hipoteze. Rymano dzeta funkcija, jei hipotezė teisinga, suteikia mums informaciją apie pirminių skaičių teoremos paklaidą. Iš reikšmių aibės laukų sekai galime sudaryti funkciją
Z(x) = exp (b1x+ b2x2/2+ b3x3/3+ b4x4/4+...)

20 a. 5-me dešimtm. A. Weil‘as2) suformulavo eilę teiginių apie tokiu būdu sudaromas funkcijas, kurie padarė žymią įtaką matematikai. Kai kurie jų yra visiškai analogiški tam, kas jau žinoma apie Rymano dzeta funkciją, tame tarpe ir apie Rymano hipotezę dėl jos nulių. dėl to ir Z(x) funkcijos vadinamos dzeta funkcijomis.

Ir tame yra daugiau nei vien analogijos. Ir Z(x) suteikia informaciją apie spėjamą paklaidą, pvz., paimam kokį nors natūrinį n ir norim žinoti, keliais būdais jį galima užrašyti skaičių iki 24 kvadratų suma. Imame tokias skaičių x1, x2, x3,… x24 sekas, kurioms:
n= x12+ x22+… x242

Kiek yra tokių sekų?
Turime apytikslę formulę skaičiui n, tačiau vėl kyla klausimas apie paklaidą.

1916 m. legendinis indų matematikas S. Ramanudžanas pasiūlė ribas tai paklaidai ir vėliau paaškėjo, kad jis teisus – tai A. Weil‘o analogas Rymano hipotezei. O 1974 m. būtent P. Delignė įrodė A. Weil‘o analogą Rymano hipotezei.

Rymano hipotezė jau krito? Skeptikai taip nemano...

Vienas iškiliausių matematikų, tik dabar jau senyvo amžiaus, Michael Atiyah’as3) skambiai pareiškė apie vienos iš „Tūkstantmečio problemų“ išsprendimą. 2018 m. rugsėjo 24 d. 89 m. amžiaus Edinburgo un-to emeritas Heidelbergo laureatų forume (Vokietijoje) 45 min. trukmės pasisakyme jis pristatė „paprastą“ Rymano hipotezės įrodymą. Tačiau jai skyrė tik keletą skaidrių, didesnę laiko dalį skyręs kalboms apie 20 a. mokslininkus Dž. fon Neimaną ir F. Hirzebruch’as, kurių pasiekimais, atseit, jis rėmėsi. Michael Atiyah

Anot jo, kritinėje Rymano dzeta linijoje (realių skaičių s=1/2) Todo funkcija turi ribą, atvirkščią smulkiosios struktūros konstantai (a). Todo funkcija, kuri yra silpnai analitinė, suprantama kaip analitinių funkcijų riba. Jo samprotavimai išdėstyti dviejuose ne ypač stambios apimties preprintuose, patalpintuose Google Drive. Pirmajame 17 psl. aprašoma Todo funkcija ir nagrinėjamas laiptuotos funkcijos pavyzdys, o antrasis 5 psl. apimties skirtas pačiai Rymano hipotezei. Jame jis remiasi įrodymu, kurį pasiuntė Proceedings of the Royal Society A. (bus atspausdintas).
Vis tik įsigilinus į tai, kas pateikta atrodo, kad „Todo metodo“ panaudojimas Rymano hipotezės kontekste yra įdomus. Tik ar Todd operator turi tas savybes, kurios jai priskiriamos?

Specialistai apie jo įrodymo teisingumą pasisakė skeptiškai, tačiau dauguma nedrįso viešai jo komentuoti, nenorėdami gadinti santykių su garsiu mokslininku. Jis yra Fieldso medalio (1966) ir Abelio premijos (2004) laureatas. Pirmąją savo mokslinės veiklos daugiausia skyrė algebrinei geometrijai, o antrąją – matematinei fizikai. Tarp kitų pasiekimų, jis įrodė Atijos-Boto teoremą apie fiksuotą tašką ir išvystė indeksų teoriją.

Tačiau paskutiniais metais M. Atija padarė klaidingų pareiškimų. 2017 m. jis Londono „The Times“ skelbė, kad 255 psl. apimties Feit-Thompson’o teoremą, apie nelyginio laipsnio baigtines grupes ir įrodytą 1963 m., pertvarkė į 12-os psl. įrodymą. Tai buvo priimta skeptiškai arba tyliai, o jo įrodymas nebuvo paskelbtas jokiame žurnale. O dar prieš metus, jis skelbė, kad išsprendė žinomą diferencialinės geometrijos problemą paskelbdamas ArXiv, tačiau netrukus buvo nurodyta daug netikslumų jame ir jis irgi nebuvo formaliai paskelbtas.

Vis tik Dž. Baezas iš Kalifornijos un-to viešai išsakė savo nuomonę: „Įrodymas tiesiog deda vieną įspūdingą tvirtinimą ant kito be jokių jungiančių argumentų ar be realaus pagrindimo“. Tačiau M. Atija nesutrikęs ir prieš prezentaciją el laiške rašė: „Aš metu save liūtams.Tikiuosi ištrūkti nesudraskytas“. Bet nepriklausomai nuo to, bus patvirtintas jo įrodymas ar ne, Atija jau padarė kažką nepaprasta - paskatino pasaulį kalbėti apie Rymano hipotezę.

Galite patys susipažinti su tais M. Atijos preprintais: a) apie smulkiąją struktūros konstantą; b) apie Rymano hipotezę...

Dzeta akis

Performuluokime problemą kitaip. Paimkime realių skaičių parametrizuotų funkcijų šeimą:
Rymano: parametrizuotų funkcijų šeima
kur 0 < r < 1; t yra realus skaičius, a, b ir g realių skaičių parametrai, o l(·) – logaritmiškai didėjanti Dzeta akis realaus skaičiaus funkcija. Nesudėtingi paskaičiavimai rodo, kad s=r+it yra z(s) kompleksinė šaknis (vadinamasis nulis), kai 0 < r < 1, jei ir tik jei
f1(r, t) = f(r, t; 0, 1, 0) = 0;
f2(r, t) = f(r, t; 0, 1, -p/2) = 0;
l(n) = log(n).

Kalbėsime apie (f1, f2) orbitą, kai r yra fiksuotas, o kinta tik t, kurią plokštumoje sudaro taškai (f1(r, t), f2(r, t)), laikant t > >= 0.
Čia pavaizduota orbita, kai r=0,75 ir t yra tarp 0 ir 3000.

Įspūdinga šios orbitos ypatybė yra „skylė“ aplink (0,0), kas leidžia daryti gilias įžvalgas spėjant, kad ne tik f1(r, t) ir f2(r, t)) negali kartu būti lygios nuliui, bet, kas dar svarbiau, kad jos abi kartu niekada vienu metu nepriartėja prie nulio. O tai reikštų, kad Rymano hipotezė žymiai mažiau kelianti iššūkių nei pradžioje manyta. Panašios „akys“ ir kitoms r reikšmėms ir toji “skylė” darosi tuo siauresnė, kuo r arčiau 0,5. Ir kai r=0, skylė išvis pranyksta, ir be galo daugeliui t reikšmių f1(r, t) = f2(r, t)) = 0

Šia vizualizaciją atliko Vincent Granville (paskelbta 2021 sausį).

Trumpos biografijos

1) Bernhardas Rymanas (Georg Friedrich Bernhard Riemann, ) - vokiečių matematikas, mechanikas ir fizikas teoretikas, žymiai prisidėjęs vystant matematinę ir kompleksinio skaičiaus analizę, skaičių teoriją ir diferencialinę geometriją. Jis dažniausiai minimas sąryšyje su dzeta funkcija, Rymano integralu, Rymano paviršiumi. Jo darbai suteikė pagrindą Einšteinui bendrosios reliatyvumo teorijos sukūrimui.
Mechanikoje jis tyrė slegiamo skysčio (dujų) tėkmių (tame tarpe ir viršgarsinių) dinamiką. Jam priklauso sąvoka „smūginė banga“, aptikta ne eksperimentiškai, o teoriškai.

2) Andrė Veilis (Andre Weil, 1906-1998) – prancūzų matematikas, žinomas darbais skaičių teorijos ir algebrinės geometrijos srityse. Buvo vienu Nikola Burbaki grupės steigėjų ir faktiniu jos lyderiu. Parašė kelias knygas apie skaičių teoriją. Buvo Volfo (1979) ir Kyoto (1994) premijų laureatas.
Skaičių teorijoje panaudojo Galua homologijų metodą bei funkcionalinę analizę. Matematikos vystymąsi paskatino Veilio hipotezės, rodančios diskretinio algebrinių daugdarų pasaulio ryšį su tolydžiu topologijos pasauliu. Tas hipotezes daugiausiai įrodė A. Grotendikas ir P. Delinas. Jo pažiūras nemažai paveikė struktūralizmo filosofija, nes jis manė, kad matematika susiveda į matematinių struktūrų tyrinėjimą. Taip pat jis labai vertino indų filosofiją.

3) Maiklas Atijas (Michael Francis Atiyah , g 1929 m.) – libaniečių kilmės britų matematikas, specializavęsis algebrinėje geometrijoje (iki 1958 m.) ir teorinėje fizikoje (po 1977 m.; ypač kalibracinių laukų srityje). Buvo Oksfordo ir Kembridžo un-tų profesoriumi, Lesterio un-to rektoriumi (1995-2005), Londono karališkos draugijos (1990-95) ir Edinburgo karališkos draugijos (2005-08) prezidentu, gavęs Fieldso medalį (1966) ir Abelio premiją (2004) bei kitus apdovanojimus. Pagrindiniai darbai skirti algebrinei topologijai, kur A. Grotendiko įtakoje kartu su F. Hirzebruch’u sukūrė K-teoriją, atsisakęs įprastinių kohomologijų, jas pakeisdamas K-funktoriumi – ir jos pagalba, kartu su R. Botu, įrodė Atijos-Boto teoremą, o kartu su I. Zingeriu – teoremą apie elipsinio operatoriaus indeksą, leidusią nustatyti naujus sąryšius tarp topologijos ir diferencinių lygčių teorijos. Taip atsirado naujas topologijos skyrius – indekso teorija. 2018 m. rugsėjį pasiskelbė įrodęs Rymano hipotezę, tačiau mokslo bendruomenė šį pareiškimą priėmė skeptiškai.

Pirminiai skaičiai
Didžioji Ferma teorema
Ar įrodytas abc teiginys?
Kaip supakuoti standžiau?
Skaičiai: apžvalga/pradmenys
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Ar jau rūksta dūmai ir garuoja kava?
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Naujos skaičių sistemos siekia atgauti pirminius skaičius
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Pagrindinės algebrinės struktūros
Priešsparnio istorija ir priešistorė
Kiek iš viso turime skaičių?
Puankarė problemos įrodymas
Revoliucija mazgų teorijoje
Iniciatyva: Matematikos keliu
Tūkstantmečio problemos
Harmoninės eilutės
Beal'o hipotezė
Trikampiai skaičiai
Pirminiai dvyniai
Dalyba iš nulio
Erdvės formos
Vartiklis