Rymano hipotezės paaiškinimas

Susipažinkite: Rymano hipotezės formuluotė,
o taip pat apie Pirminių skaičių pasiskirstymus

Vienas P. Delignė (2013 m. Abelio premijos laureatas) pasiektų rezultatų ypač įdomus, o jo ištakos siekia legendinį 18 a. matematiką L. Oilerį.
Tasai nagrinėjo eilutes Sn=1+1/2/+1/3+1/4+…+1/n  bei  Tn=1+1/22+1/32+1/32…1/n2

O kas vyksta, kai n artėja į begalybę? Sn be galo didėja nepasiekdama jokios ribos – matematikai sako, kad ji diverguoja. Tn irgi didėja, tačiau suma niekad neviršija p2/6, - taigi ji konverguoja.

O kas vyksta, kai imami kiti laipsniai? Gauname, kad
z(s) =1+1/2s+1/3s+1/3s+1/4s+...
konverguoja kiekvienam s > 1.
Taip z(s) virsta funkcija, kurios reikšmė yra reikšmė, į kurią konverguoja eilutė, kai s > 1

Bet Oileris padarė kitą nepaprastą atradimą – 1737 m. jis įrodė, kad begalinė eilutė z(s) gali būti užrašyta begaline sandauga
z(s)=1/(1-1/2s)(1-1/3s)(1-1/5s)(1-1/7s

Tai gana įdomu – visų natūrinių skaičių išraiška virto išraiška su pirminiais skaičiais! Maždaug po šimtmečio vokiečių matematikas B. Rymanas*) vėl grįžo prie vadinamosios Oilerio dzeta funkcijos įvesdamas kitą įdomų sąryšį ir iškeldamas klausimą, tebejaudinantį matematikus iki šiol: kaip pasiskirstę pirminiai skaičiai?

Oilerio dzeta funkcija kaip argumentą ima realius skaičius s>1 ir gražina taip pat realius skaičius. Rymanas išplėtė nagrinėjamų skaičių erdvę įtraukdamas savitesnę kompleksinių skaičių aibę. Tai skaičiai, kurių forma yra a+ib, kur i yra menama lygties x2=-1 šaknis, o a ir b - realūs skaičiai. Su jais galimi sudėties, atimties, daugybos veiksmai (prisimenant, kad i2=-1).

Maža to, kompleksiniai skaičiai turi aiškią geometrinę interpretaciją – juos galime tapatinti su taškais plokštumoje, kurių koordinatės (a,b). Realūs skaičiai yra kompleksinių skaičių dalis (poaibis) – jie sudaro realių skaičių ašį (jie išreiškiami kaip a+i0).

Rymanas nustatė, kad Rymano funkcija (Oilerio funkcija su kompleksiniais argumentais) suteikia informacijos apie pirminius skaičius – tuo atveju, kai jos rezultatas lygus nuliui. Pirminių skaičių teorema teigia, kad pirminių skaičių, mažesnių už n, yra apytiksliai n/ln n. Lieka klausimas, kaip smarkiai klysta tasai įvertinimas?
Rymanas teigė, kad visi vadinamieji dzeta funkcijos nuliai turi formą 1/2+ib; kitaip tariant, atitinka taškus plokštumoje, kurių pirmoji koordinatė lygi 1/2. Teiginys dar neįrodytas, tačiau jis leistų nustatyti, kokio dydžio galėtų būti minėta paklaida.

P. Delignė darbų sritis yra algebrinė geometrija. Bet kur čia ryšis?

Kad algebra susijusi su geometrija žinom nuo mokyklos suolo. Plokštumos taškams (x,y) lygtis x2+y2=1 „brėžia“ apskritimą su spinduliu 1 aplink tašką (0,0). Taigi, algebra gali apibrėžti geometrines formas.

Mūsų pavyzdyje (x,y) yra realūs skaičiai. Bet yra ir kitų skaičių tipų. Jau minėjome kompleksinius skaičius. Pavyzdžiui, gali būti skaičiai valandoms žymėti – nuo 0 iki 11.O tarkim, kad teturime tik skaičius 0, 1, 2. Jiems galima nurodyti taisykles aritmetiniams veiksmams, pvz., 2+1=0; 2+2=1 ir t.t. Tada skaičiai 0-2 tokios sudėties atžvilgiu sudaro lauką F3 - turinčiu tik baigtinį narių skaičių.

Tada paklauskime: kas nutiks mūsų apskritimui x2+y2=1, jei lygties argumentai įgaus tik F3 reikšmes? Tada ir mūsų apskritimus turės tik taškus, kurių koordinačių reikšmės tėra F3 nariai, t.y (0,1), (1,0), (0,2) ir (2,0).

Tada galime sukurti platesnį laukąF3 - taip, kaip kūrėme kompleksinius skaičius. Pvz, lygtis x2=2 neturi sprendinių iš F3, tačiau tarkim, kad ji turi menamą sprendinį q - ir jis turės tokį pat vaidmenį, kaip i kompleksiniams skaičiams, t.y. gausime skaičius, kurių forma a+qb, kur a ir b yra reikšmės iš F3. Naujas laukas turės 9 narius.

Panašiu būdu (įtraukdami konkrečių lygčių sprendinius) galime sukonstruoti visą panašių laukų seką: F3, F32, F33, F34..., kur indeksai nurodo lauko narių kiekį. Be to, tai galim padaryti ne tik skaičiui 3, bet ir bet kuriam pirminiam skaičiui p Fp, Fp2, Fp3, Fp4...

Kiekvienai tų sekų galime paklausti, kiek (kiekvienai tų sekų) taškų turės „apskritimas“ x2+y2=1
Atsakymas sudarys seką a1 (Fp,), a2 (Fp2), a3 (Fp3,), a4 (Fp4,), …

Galim „žaisti“ ir toliau. Vietoje apskritimo lygties galime imti bet kokią lygčių (polinominių) aibę, kuriai minėtai laukų aibei gausime reikšmių aibę b1, b2, b3, b4,...

Ir taip pamažu priartėjome prie ryšio su Rymano hipoteze. Rymano dzeta funkcija, jei hipotezė teisinga, suteikia mums informaciją apie pirminių skaičių teoremos paklaidą. Iš reikšmių aibės laukų sekai galime sudaryti funkciją
Z(x) = exp (b1x+ b2x2/2+ b3x3/3+ b4x4/4+...)

20 a. 5-me dešimtm. A. Weil‘as*) suformulavo eilę teiginių apie tokiu būdu sudaromas funkcijas, kurie padarė žymią įtaką matematikai. Kai kurie jų yra visiškai analogiški tam, kas jau žinoma apie Rymano dzeta funkciją, tame tarpe ir apie Rymano hipotezę dėl jos nulių. dėl to ir Z(x) funkcijos vadinamos dzeta funkcijomis.

Ir tame yra daugiau nei vien analogijos. Ir Z(x) suteikia informaciją apie spėjamą paklaidą, pvz., paimam kokį nors natūrinį n ir norim žinoti, keliais būdais jį galima užrašyti skaičių iki 24 kvadratų suma. Imame tokias skaičių x1, x2, x3,… x24 sekas, kurioms:
n= x12+ x22+… x242

Kiek yra tokių sekų?
Turime apytikslę formulę skaičiui n, tačiau vėl kyla klausimas apie paklaidą.

1916 m. legendinis indų matematikas S. Ramanudžanas pasiūlė ribas tai paklaidai ir vėliau paaškėjo, kad jis teisus – tai A. Weil‘o analogas Rymano hipotezei. O 1974 m. būtent P. Delignė įrodė A. Weil‘o analogą Rymano hipotezei.


Trumpos biografijos

*) Bernhardas Rymanas (Georg Friedrich Bernhard Riemann, ) - vokiečių matematikas, mechanikas ir fizikas teoretikas, žymiai prisidėjęs vystant matematinę ir kompleksinio skaičiaus analizę, skaičių teoriją ir diferencialinę geometriją. Jis dažniausiai minimas sąryšyje su dzeta funkcija, Rymano integralu, Rymano paviršiumi. Jo darbai suteikė pagrindą Einšteinui bendrosios reliatyvumo teorijos sukūrimui.
Mechanikoje jis tyrė slegiamo skysčio (dujų) tėkmių (tame tarpe ir viršgarsinių) dinamiką. Jam priklauso sąvoka „smūginė banga“, aptikta ne eksperimentiškai, o teoriškai.

**) Andrė Veilis (Andre Weil, 1906-1998) – prancūzų matematikas, žinomas darbais skaičių teorijos ir algebrinės geometrijos srityse. Buvo vienu Nikola Burbaki grupės steigėjų ir faktiniu jos lyderiu. Parašė kelias knygas apie skaičių teoriją. Buvo Volfo (1979) ir Kyoto (1994) premijų laureatas.
Skaičių teorijoje panaudojo Galua homologijų metodą bei funkcionalinę analizę. Matematikos vystymąsi paskatino Veilio hipotezės, rodančios diskretinio algebrinių daugdarų pasaulio ryšį su tolydžiu topologijos pasauliu. Tas hipotezes daugiausiai įrodė A. Grotendikas ir P. Delinas. Jo pažiūras nemažai paveikė struktūralizmo filosofija, nes jis manė, kad matematika susiveda į matematinių struktūrų tyrinėjimą. Taip pat jis labai vertino indų filosofiją.

Pirminiai skaičiai
Didžioji Ferma teorema
Ar įrodytas abc teiginys?
Kaip supakuoti standžiau?
Skaičiai: apžvalga/pradmenys
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Ar jau rūksta dūmai ir garuoja kava?
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Pagrindinės algebrinės struktūros
Priešsparnio istorija ir priešistorė
Puankarė problemos įrodymas
Revoliucija mazgų teorijoje
Iniciatyva: Matematikos keliu
Tūkstantmečio problemos
Harmoninės eilutės
Beal'o hipotezė
Trikampiai skaičiai
Pirminiai dvyniai
Dalyba iš nulio
Erdvės formos
Vartiklis