Nepaprasti Visatos skaičiai. Vartiklis

„Scientific American“ 2011 m. gegužės mėn. numeryje paskelbtas John Baez¹⁾ ir John Huerta²⁾ straipsnis „Keisčiausi skaičiai stygų teorijoje“.

„Didžiojo sprogimo“ skaičius tikrai unikalus

Kvantinės fizikos profesorius Šeldonas Kuperis iš serialo „Didžiojo sprogimo teorija“ (2007-2019) tvirtino, kad 73 yra „geriausias skaičius“ dėl keleto savo unikalių savybių – ir šį skaičių turėjo ant savo marškinėlių. Šiame seriale pamėtyta „velykinių kiaušinių“, moksliškai nusiteikusių žiūrovų pamaloninimui. C. Pomerance kartu su Ch. Spicer’iu 2019 m. vasario „American Mathematical Monthly“ paskelbė straipsnį „Šeldono teiginio įrodymas“, kuriame parodo, kad 73 yra tikrai nepaprastas. „Didžiojo sprogimo teorijos“ techninis konsultantas D. Saltzberg’as, išgirdęs apie Šeldono įrodymą, kreipėsi Dartmuto koledžo matematikos profesorių emeritą C. Pomerance, kad jis leistų jį panaudoti per šou, vyksiantį 2019 m. balandžio 18 d.

Pirminius skaičius (2, 3, 5, 7, …) galima sunumeruoti (1, 2, 3, 4, …). Ir pasirodo, kad 73 yra vienintelis pirminis skaičius, kurio indeksas (21) yra lygus jo skaitmenų sandaugai (21). Ir jei sukeisime 73 skaičiaus skaitmenis, gausime 37, kuris irgi yra pirminis, kurio indeksas yra 12, t.y. 21 atvirkščia tvarka. Lieka klausimas, ar 73 yra vieninteliu pirminiu skaičiumi, pasižyminčiu tokiomis savybėmis. Apie tai lengviau pasakytu nei įrodyti. Minėtame 10 psl. apimties straipsnyje pateikiamos lygtys, atseit įrodančios tokį jo unikalumą.

Oktonionai, 8-matė skaičių sistema, atrasta 19 a. viduryje, tačiau ilgą laiką ignoruota. Susidomėjimas ja kilo dėl nepaprastai glaudaus sąryšio su paskutiniaisiais tyrimais teorinės fizikos srityje, apimančiais supersimetriją, stygų teoriją ir M-teoriją. J. Baez rašo: „Jei stygų teorija teisinga, oktonionai nėra vien bereikšmio smalsumo objektas; priešingai, jie pateikia gilumines priežastis, kodėl Visata turi būti 10-ies matavimų: juose materijos ir jėgų dalelės yra išreiškiamos tokio pat tipo skaičiais – oktonionais“.

Tačiau oktonionų 8-i matavimai nėra vienintelis įdomus dalykas apie skaičių 8. J. Baez'as jį pateikia greta kitų dviejų skaičių: 5 ir 24. 2008-ais J. Baez eilėje paskaitų aiškino, kodėl 5,8 ir 24 yra tokie nepaprasti, unikalūs ir mistiniai.
Iš jų sužinome ir daugiau – apie sferos užpildymą objektais, aukso pjūvį, islamo čerpes ir kodėl visų sveikų skaičių suma yra lygi –1/12 (minus viena dvyliktoji).

Realiųjų skaičių aibė sudaro tiesę, todėl realiuosius skaičius ir laikome 1-mačiais. Teiginį galime apversti aukštyn kojomis: tiesė yra 1-matė, nes bet kurio jos taško nurodymui pakanka vieno realiojo skaičiaus. Kompleksiniai skaičiai išreiškiami a+bi pavidalu, kur i² = -1, o a ir b yra įprastiniai realieji skaičiai – ir jie nusako taškus plokštumoje, o aritmetiniai veiksmai su jais (sudėtis, atimtis, daugyba, dalyba) perteikia geometrines manipuliacijas plokštumoje. Su kompleksiniais skaičiais galima daryti beveik viską, ką galime su realiaisiais skaičiais.

1843 m. spalio 16 d. Viljamas Rovanas Hamiltonas ėjo su žmona palei Karališkąjį kanalą į Dublino Karališkąją Airijos akademiją. Beeinant jam netikėtai atėjo mintis apie kvaternionus: a+bi+cj+dk, kur i² = j² = k² = -1. Kvaternionai leido efektyviai perteikti 3-mačius sukinius. Kitądien po lemtingo pasivaikščiojimo, Hamiltonas savo koledžo draugui John T. Graves³⁾ išsiuntė 8 psl. apimties lašką, kuriame aprašė kvaternionus. Spalio 26 d. J. Graves atsakė, atsiprašydamas už savo įžūlumą, bet pridurdamas:
Čia vis dar yra kažkas sistemoje, kuri girgžda man. Aš dar neturiu [jos] aiškaus vaizdo skirtingai nuo to, kaip esame laisvi kurdami menamus skaičius ir jiems priskirdami antgamtiškas savybes.
Ir jei su savo alchemija galite pasigaminti tris svarus aukso, kodėl turite liautis dabar? Space deformation

Kitądien po Kalėdų J. Graves išsiuntė Hamiltonui laišką 8-matę pristatydamas sunormintą algebrą su dalyba. Taip jis 1843 m. gruodžio 26 d. įvedė naują 8-matę skaičių sistemą, kurią pavadino oktavomis (octaves; ir kurią dabar vadiname oktonionais). Hamiltonas pasiūlė paskelbti J. Graves darbą, tačiau niekad to nepadarė, nes buvo labai užimtas kvaternionų tyrinėjimu. 1845 m. jaunasis genijus Arthur Cayley⁴⁾ pakartotinai „atrado“ oktonionus, todėl neretai jie vadinami Keili skaičiais.

Skaičių, apibendrintų kaip kortežai, dalyba nėra paprastas dalykas. Skaičių sistema, kuri leidžia dalybą, vadinama daliąja algebra. Tik 1958-ais Michel Kervaire ir John Milnor'as, nepriklausomai vienas nuo kito, naudodami algebrinės topologijos metodus, įrodė faktą, apie kurį buvo tariama ištisus dešimtmečius, kad bet kuri dalioji algebra gali būti tik 1, 2, 4 ir 8-ių matavimų.

Hamiltonui oktonionai nepatiko, nes jie laužė kai kuriuos išpuoselėtus aritmetikos dėsnius. Realieji ir kompleksiniai skaičiai yra komutatyvūs (pvz., x+y=y+x), o kvaternionai jau ne komutatyvūs (t.y. ab ¹ ba). Oktonionai buvo dar keistesni – jie netenkino ir asociatyvumo (į tai Hamiltonas atkreipė dėmesį birželį, t.y., jiems nebuvo teisinga, kad (xy)z=x(yz) ). Tai kam jie galėjo tikti? Jie artimai susiję su 7 ir 8 matavimų geometrija ir tuose matavimuose galima apibrėžti sukinius panaudojant oktonionų daugybą.

20 a. 8-9 dešimtm. teorinėje fizikoje buvo išvystyta įdomi supersimetrijos idėja, t.y. simetrijos tarp materijos ir gamtos jėgų. Kiekviena elementarioji dalelė (pvz., elektronas) turi atitinkamą dalelę, perteikiančią jėgą, ir atvirkščiai. Supersimetrija taipogi išreiškia ir idėją, kad fizikos dėsniai privalo likti nepakitę, net jei pašalintume visas energijos ir jėgų daleles. Ir nors fizikai dar nerado konkrečių eksperimentinių supersimetrijos įrodymų, teorija yra tokia gundančiai patraukli ir siejasi su tiek daug kerinčių matematikos dalykų, kad daugelis fizikų viliasi, kad ji tikrai teisinga.

Įprastoje trimatėje kvantinės mechanikos versijoje, sukiniai (spinors) apibrėžia elementariųjų dalelių banginės prigimties judėjimus, o vektoriai apibrėžia jėgos dalelių judėjimus. Dalelių sąveika reikalauja, kad sukinių ir vektorių kombinacijos per daugybos regimybę. O dabar įsivaizduokime keistą visatą, kurioje nėra laiko, o tėra tik erdvė. Jei toji visata yra 1, 2, 4 ar 8-ių matavimų, tiek materijos, tiek jėgos dalelės privalo būti bangomis, apibrėžtomis vieno tipo vektoriniais objektais (sutampant vektoriams ir sukiniams), paprasčiausi realūs, kompleksiniai skaičiai, kvaternionai ir oktonionai. Supersimetrija išlenda natūraliai, numatydama unifikuotą materijos ir jėgų aprašą.

Stygų teorijoje kiekvieną objektą atitinka miniatiūrinė vieno matavimo styga erdvėje ir kita styga laike, tad prie kiekvieno erdvės taško pridedami du papildomi matavimai. Tai gaunama 3, 4, 6 ir 10-ties matavimų supersimetriją. Daugelį metų fizikai sakė, kad tik 10-ies matavimų teorija yra nuosekli, nes kituose matavimuose atsiranda anomalijos, sugriaunančios stygų teoriją. Tačiau 10-ies matavimų stygų teorija yra būtent toji, kuri naudoja oktonionus. Tad oktonionai gali būti pagrindas, apibrėžiantis, kodėl mūsų visata turi būti 10-ies matavimų, kai materijos ir jėgos dalelės išreiškiamos to paties tipo skaičiais.

Neseniai fizikai sumanė stygas keisti membranomis. Šiuo atveju reikia pridėti ne 2, o 3 papildomus matavimus, ir tada supersimetrinės membranos atsiranda 4, 5, 7 ir 11-ajame matavime. Tyrinėtojai teigia, kad M-teorija turi būti 11-os matavimų.

Vis tik nei stygų, nei M-teorija dar nėra patvirtintos eksperimentiškai. Jos yra gražios svajonės, tačiau kol kas ne daugiau nei vien svajonės. Visata, kurioje gyvename, mums neatrodo nei 10-matė, nei 11-matė, ir nematome jokios simetrijos tarp materialių ir jėgos dalelių. Ir tik laikas parodys, ar keistieji oktonionai yra mūsų pasaulio dalis, ar jie tėra tik įdomi abstrakčios matematikos dalis.
Strings and Membranes

Peter Woit'as (2011 m. balandžio 28 d.) parašė kiek cinišką apžvalgą („Not Even Wrong“), tai apibūdindamas kaip akių dūmimą. Gindamasis J. Baez'as komentaruose rašė: „Tai šokiruojantis ir keistas faktas, su kuriuo susiduriate, kai tik pradedate aiškintis superstygas... tai pasirodė verta paaiškinti – detaliai matematikos straipsniuose ir populiariai Sci.Am.“.

Eric Weinstein'as nesutinka, kad oktonionai turėjo tik nežymų vaidmenį stygų teorijai. Bet kokia sritis, kurioje spiečiasi supersimetrija, plačios išskirtinės Li grupės (F_4 ir E_6_8), trijalumas, G_2, išskirtinė Džiordano algebra ir pan., yra, iš esmės, oktioninė matematikos ar fizikos šaka. Ir būtent stygų teorija atkreipė matematikų dėmesį į oktonionus.

P. Woit'as tą mintį praplečia, paminėdamas E8, kai jau nesuprantama, kur yra fundamentali struktūra, o kur sudėtingi matematiniai manipuliavimai [Zathras: „žmonės, užsiimantys stygų teorija, yra taip įtraukti matematikos grožio, kad mano, kad teorija privalo būti teisinga“]. Stygų teoretikai irgi prisidėjo prie E8 išpopuliarinimo, tačiau vėliau, atrodo, nustojo ja domėtis. Giotis paaiškina, kad dėmesys atkreiptas į heterozinę E8, nes tai tebuvo vienintelis kelias, jungiantis stygų teoriją su fenomenologija. Įvedus D-brainius, sugebėta IIB/F teorijoje sukonstruoti realistinį styginį vakuumą ir net sujungti tuos modelius su kosmologija. Ir vis tik heterozinė E8 tebeturi kai kurias modulio stabilizavimo problemas.

Thomas Larsson pažymi, kad sumažinus reikalavimus aksiomoms, CayLey-Dickson konstruktorius kuria begalinį algebrų bokštą: 16-mačiai sedenionai, 32-ionai ir t.t. Jis klausia, kodėl algebros dalumas yra svarbus? Ar tai ne priežastis, kodėl oktonionai per 150 m. nepasirodė fizikoje?

J. Baez'as atsakė, kad pati algebros dalumo savybė nėra svarbi. Svarbūs du dalykai:
a) turime n-matę normalizuotą dalią algebrą tada ir tik tada, kai randame n-matį sukinio atvaizdavimą. Tai pradeda sukinių ir vektorių tarpusavio žaidimus, numatančias specialias Lorenco geometrijos savybes n+2 matavimuose (3, 4, 6 ir 10);
b) normalizuota dali algebra yra alternatyvi (t.y., tenkinamos sąlygos x(xy) = (xx)y ir (yx)x = y(xx)). Alternatyvumas leidžia turėti sukinius, užtikrinančius, kad supersimetrija galioja super-Yang-Mills teorijoje ir klasikinių superstygų teorijoje (3, 4, 6 ir 10 matavimuose). Tai taip pat duoda Jacobi tapatybę išskirtinėms Li algebroms F4, E6, E7 ir E8, turinčias Lie algebras matavimams 3, 4, 6 ir 10. Ir t.t.

John Baez¹⁾ studentas John Huerta² parengė paaiškinimus panaudodamas aukštesnių matavimų Li algebras. J. Huerta 2011 m. gegužės 18 d. apsigynė daktarinę ir dabar, kartu su Peter Bouwknegt, gavo post-daktarinę vietą Kanberos Australijos nac. un-te.

Sci.Am. straipsnyje nesigilinama į detales, tačiau tai geras įvadas į tas idėjas. J. Baez'as nėra vienintelis, propaguojantis oktonionus. Apie oktonionus ir jų pritaikymą fizikoje rašė Corinne Monugue, Tevian Dray, Schray (archiv.org). Ferrara ir Mike Duff ir bendraautorių darbe dėstoma hiperdeterminančių algebra ir kiek kitokia oktonionai rolė stygų teorijoje. Pateikiamos dualios algebros randamos „juodųjų skylių“ stygų teorijoje. Žr. ir Philip Gibs. Oktonionai stygų teorijoje

Tai, kad tos pačios algebrinės struktūros pasireiškia skirtinguose kontekstuose, labai intriguoja, kelia sumaištį galvoje, tarsi būtų praleisti kai kurie unifikacijos principai. O jei oktonionai turi principinę reikšmę fizikoje, tai gali reikšti, kad fizika, iš pagrindų, nėra asociatyvi, ką tai turėtų reikšti fiziškai arba S-matricos kontekste.

¹⁾ Džonas Baesas (John C. Baez, g. 1961 m.) – amerikiečių fizikas teoretikas ir matematikas, Kalifornijos un-ro Riversaite profesorius, vienas iš kilpinės kvantinės gravitacijos („sukinių putos“ topologijos) teoretikų, populiarus blogeris. Nagrinėjo aukštesnių eilių kategorijų teoriją. Internete žinomas kaip „sudužusio puodo“ indekso, vertinančio mokslinius teiginius, autorius.

²⁾ Džonas Huerta (John Huerta) – australų kilmės fizikas teoretikas ir matematikas, rašęs daktarinę disertaciją vadovaujamas Dž. Baeso. Nagrinėja išskirtines matematines struktūras ir jų ryšį su fizika:
* G2 Li grupę kaip rutulio riedėjimo ant kito triskart didesnio rutulio simetriją;
* stygų ir M-teorijos kociklus ir kaip jie kyla iš sunormintos algebros su dalyba.

³⁾ Džonas Greivas (John Thomas Graves, 1806-1870) – airių teisininkas ir matematikas, matematiko Č. Greivo brolis, V. Hamiltono draugas. Kartu su juo atrado oktanionus (jo vadintus octaves) ir įkvėpęs jį kvaternionų atradimui. 1839 m. išrinktas Karališkajai draugijai.

⁴⁾ Artūras Kelis (Arthur Cayley, 1821-1895) – britų teisininkas ir matematikas, prisidėjęs prie šiuolaikinės grynosios matematikos sukūrimo. Parašė per 700 darbų, kurių daugiausia skirta tiesinei algebrai, diferencialinėms lygtims ir elipsinėms funkcijoms. Įrodė Hamiltono-Cayley teoremą, kad kiekviena kvadratinė matrica yra savo charakteringojo daugianario šaknimi. Pirmasis suformulavo šiuplaikinį grupės apibrėžimą – t.y. kaip aibę su dvinare operacija (iki tol grupe laikyta perstatų grupė).