Revoliucija mazgų teorijoje
(tęsinys)

Šiame fragmente, dėl laiko stokos, liko nepaaiškintų sąvokų, tačiau nusprendėme baigti straipsnio teksto publikavimą be jų. Padėkotumėme skaitytojams, jei jie padėtų parengti paaiškinimus terminams (jie pabraukti, tačiau be nuorodų) - atsiųsdami paaiškinimus adresu info[eta]lithuanian.net

[  Įvadas  |  Pradžia  |  Virtualūs mazgai  |  Apibendrinti mazgai  |  Algebrinis mazgymas  |  Nauji mazgų invariantai ]

Algebrinis mazgymas

Šiaip, mazgų pavertimas algebrinėmis struktūromis yra sena idėja; Artino kaspinų grupės buvo įtrauktos 3-me dešimtm. [1] ir daugelis naudingų mazgų invariantų (ypač „kvantiniai invariantai“, turintys sąryšį su kvantinėmis grupėmis, t.y. nekomutatyvios Hopfo algebros) buvo išvestos įš suraizgytų algebrų matricinių atvaizdavimų [15]. Apibendrintų susikirtimų ir raizgymų įvedimas natūraliai įveda naujas atitinkamas algebrines struktūras - tokias kaip virtualios kaspinų algebros bei plokščios virtualios kaspinų algebros, iš kurių gali būti išvesti apibendrinti kvantiniai invariantai. Tačiau mazgų algebrizacija per grupių teoriją ar tiesinę algebrą primeta tam tikrus apriorinius apribojimus gaunamoms algebrinėms struktūroms, pvz., daugybos asociatyvumui, kas atrodo kažkiek dirbtina. O dar svarbiau, kad, kad brukdami algebrinę struktūrą, rizikuojame prarasti naudingą informaciją.

Kombinatorinis diagraminis požiūrio taškas siūlo metodą minimalios algebrinės struktūros, apibrėžtos mazgų diagramų Reidemeisterio ekvivalentiškumu, sukūrimui: pradedant mazgų diagramos sužymėjimu su algebrinės struktūros generatoriais ir tada apibrėžiant operacijas susikirtimuose. Tada Reidemeisterio veiksmai apibrėžia mūsų naujosios algebrinės struktūros aksiomas.

Mes galime gautas algebrines struktūras sudalinti į lankų algebras, kai žymės priskirtos lankams, t.y. atkarpoms nuo vieno susikirtimo taško iki kito (.y., kurias galima nubrėžti nepakeliant pieštuko), ir puslankių algebras, kuriose generatoriais yra puslankiai, t.y. kai mazgų diagramų dalys gaunamos dalijant abiejuose, tiek susikertančiuose viršuje, tiek apačioje, taškuose.

Pvz., jei sužymėsime lankus mazgų diagramoje su generatoriais ir apibrėšime operaciją x  y, reiškiančią „x rezultatas einant po y“, tada Reidemeisterio veiksmai mums nurodo minimalias aksiomas, kurias turi tenkinti algebrinė struktūra, atsižvelgiant į mazgo struktūrą. Gautas algebrinis objektas, vadinamas kei () arba involiuciniu gniaužu 5-me dešimtmetyje buvo apibrėžtas Mituhisa Takasaki [23], žr. 12 pieš.

Pieš.12. Involiucinio gniaužo aksiomos ir operacijos

Apibrėžimas. Kei yra aibė X su atvaizdavimu :X x X -> X, visiems x,y,z Î X tenkinant
(i) x x = x,
(ii) ( x y) y = x,
(iii) (x y) z = (x z) (y z).

Pirmoji aksioma teigia, kad kiekvienas elementas yra idempotentinis⁴⁾; antroji teigia, kad operacija yra pati sau atvirkštinė iš dešinės, o trečioji, kad vietoje asociatyvumo turime savi-distributyvumą. Atkreipkite dėmesį į panašumą su grupės aksiomomis. Kei struktūrų pavyzdžiais yra Abelio grupės su x y = 2x = x ir ZM[t] /(t²)- moduliai su x y = tx + (1-t) y

Mazgų diagramai suteikus orientaciją (pageidaujamą judėjimo kryptį), leiskime atsisakyti reikalavimo, kad operatorius yra inversiškas iš dešinės, tik tereikalaukime, kad turėtų inversijos iš dešinės operaciją ^-1. Tada laikykime x y kaip x kirtimą y per apačią iš kairės į dešinę. Gautasis algebrinis objektas yra vadinamas gniaužu.

Apibrėžimas. Gniaužas yra aibė x su atvaizdavimais , ^-1: X x X -> X visiems x, y, z Î X tenkinanti:
(i) x x = x,
(ii) ( x y) ^-1 y = (x ^-1y) y = x,
(iii) (x y) z = (x z) (y z).

Nesunku parodyti, kad gniaužui visiems x mes turime x ^-1 x = x, kad atvirkštinė operacija ^-1 taip pat yra savi-distributyvi ir kad abi operacijos yra abipusiškai distributyvios. Ir šie faktai gali būti įrodyti algebriškai iš aksiomų arba grafiškai, naudojant Reidemesterio veiksmus.

Gniaužų struktūrų pavyzdžiais yra kei, kuris sudaro gniaužų, o taip pat ir grupių, kategorijos subkategoriją, ir kurie yra gniaužai n-konjunkcijoje x y = y^-nxyⁿ, kai n < Z, Z[t^+-1]-moduliai su xy=tx+(1-t)y (vadinamieji Aleksanderio gniaužai) ir <simpleksinės vektorinės erdvės su x y = x + (x, y)y.

Lanko algebra, kylanti iš įrėmintų orientuotų veiksmų, vadinama gembine (rack).

Apibrėžimas, Gembinė yra aibė su operacijomis, tenkinančiomis gniaužų aksiomas (ii) ir (iii), tačiau nebūtinai tenkinančiomis (i).

Gembinės aksiomos yra ekvivalentiškos tarytum cikliškam reikalavimui, kad funkcijos f_y:X -> X apibrėžtos f_y(x) = x y yra gembinės automorfizmai. Gembinės nutrina skirtumą tarp elementų ir operatorių, nes kiekvienas gembinės elementas kartu yra algebrinės struktūros elementu ir automorfizmu. Gembinės struktūrų pavyzdžiais yra gniaužai,moduliai virš
Z[t^+-1, s] / s (t+s-1) su x y = tx + sy (vadinamosios (t, s)-gembinės bei Coxeter‘io gembinės, vidinės erdvės su duotu x y atspindinčiu x virš y [9].

Kad suformuotume lygesnę algebrinę struktūrą, galime perskirti orientuotą mazgų diagramą tiek virš ir po susikertančiais taškais ir leisti puslankiams susikirtimuose veikti vienas kitą kaip pieš 13. Orientuotų mazgų puslankių algebra vadinama bigniaužu; ji yra apibrėžta kaip sutvarkytų porų atvaizdavimas B:XxX -> XxX tenkinantis tam tikras invertabilumo sąlygas kartu su aibių Yang-Baxter‘io lygtimi
(BxI)(IxB(BxI) =(IxB)(BxI)(IxB)
kur I:X -> Y yra atitikimo atvaizdavimas. Daugiau žr. [10].

Bigniaužų kategorija įtraukia gniaužus kaip subkategoriją apibrėžiant B(x,y)=(y x, x). Bigniaužo, nesančio gniaužu pavyzdys yra Aleksanderio bigniaužas, modulis virš Z[t^+-1, s^+-1] su B(x,y) = (ty + (1-ts)x, sx), kur s ¹ 1.

Naujų operacijų virtualiems, plokštiems ir singuliariems susikirtimams su aksiomomis, apibrėžtomis atitinkamomis sąveikavimo taisyklėmis, įtraukimas sukuria susijusių algebrinių struktūrų, tokių kaip virtualūs bigniaužai, singuliarūs gniaužai, pusgniaužiai ir pan., šeimą..

Kiekvienas apibendrintas mazgas turi susietą algebrinį objektą apibrėžtą jo turimais susikirtimo tipais ir jį apibrėžančiu atitikimo sąryšiu. Neorientuoti mazgai turi bazinį kei; orientuotieji mazgai turi bazinius gniaužus ir bigniaužus; įrėminti orientuoti mazgai turi bazines gembines ir t.t. Kaip su pačiais apibendrintais mazgais, mūsų nauji algebriniai objektai yra simbolių eilučių su Reidemeisterio tipo ekvivalentiško ryšiais ekvivalentiškumo klasės, kurias taip pat galime imti kaip algebrines aksiomas.

Panašiai kaip grupės, kei, gniaužų, gembinių ir bigniaužų struktūros sutinkamos matematikoje, glūdinčios po paviršiais vektorinėse erdvėse, moduliuose virš polinominių žiedų, Coxeter'io grupių, Hopfo algebrų, Weyl'io algebrų, perstatų ir t.t. Svarbu pabrėžti, kad ne kiekvienas kei, gniaužas ir t.t. kyla iš kiekvieno konkretaus mazgo ar jungties; dar daugiau, mazgų žymėjimas šiais algebriniais objektais yra ribojamas Reidemeisterio veiksmais.

[ tęsinys ]

⁴⁾ Idempotentiškumas – matematinio objekto savybė, pasireiškianti tuo, kad pakartotinis veiksmas su juo nekeičia jo (pvz., idempotentišku yra e kėlimas laipsniu, e² = e (red.) Plačiau žr. >>>>>

Literatūra:

[1] E. Artin. Theory of braids, Ann. of Math. 48 (1947), 101–126

[9] R. Fenn, C. Rourke. Racks and links in codimension two// J. Knot Theory Ramifications 1 (1992), 343–406

[10] R. Fenn, M. Jordan-Santana, L. Kauffman. Biquandles and virtual links// Topology Appl. 145 (2004), 157–175

[15] Ch. Kassel. Quantum Groups, 1995

[23] M. Takasaki. Abstractions of symmetric functions// Tohoku Math. J. 49 (1943), 143–207

---

Paaiškinimai

Simetrinė grupė S_n baigtinėje aibėje iš n elementų, yra grupė, kurios elementai yra visos galimos n elementų perstatos, o grupėje apibrėžta operacija yra tokių perstatų, traktuojamų kaip bijekcijos iš aibės į save, kompozicija. Kadangi gali būti n! perstatų, S_n galia yra n!.

Kaspinų grupė iš n gijų (B_n) yra simetrinės grupės S_n apibendrinimas. Jei n > 1, tada B_n yra begalinė grupė. Jas 1925 m. įvedė Emilis Artinas, nors jos jau buvo Adolfo Hurvičio darbe apie monodromiją (1891). Kaspinų grupės yra panaudojamos mazgų teorijoje.

Ji turi intuityvų paaiškinimą. Imkim n=4. Tegu ant stalo guli 4 išlyguotos gumos juostelės (kaspinai), kurių galai pritvirtinti prie stalo. Kaspinų grupę sudaro visi galimi pritvirtinimų ir unikalių „suraizgymų“ variantai. Pvz.,
  skiriasi nuo  
tačiau šios laikomos tuo pačiu elementu:

Reikalaujama, kad kaspinai tįstų iš kairės į dešinę ir neturėtų mazgų, tad toks variantas nepriklauso kaspinų grupei:

Raizgas - taip apskritimo supama mazgo sritis, kad mazgo gijos kirstų apskritimą tiksliai 4 kartus. Du raizgai ekvivalentiški tam, kad yra galima Reidemeisterio veiksmų seka, vieną jų transformuojančią į kitą - fiksavus keturių gijų galus ir neleidžiant gijoms praeiti apskritimo išorėje.

Paprasčiausi raizgai (pavaizduoti piešinyje) yra ¥-raizgas (A5 – 165) ir 0-raizgas. Raizgas su n kairės rankos susukimų vadinamas n-raizgu, o su n dešinės rankos susukimų - -n- raizgu. Suglaudžiant raizgus galima gauti sudėtingesnius raizgus:

3-raizgas ir -3-raizgas

-3-2-raizgo konstravimas

Idempotentiškumas – savybę, kai daugkartinis operacijos pakartojimas duoda tą patį rezultatą. Terminą pasiūlė Bendžaminas Pirsas (19 a. 8-me dešimtm.) - nuo „idem“ - „tas pats“ ir „potens“ - „gebantis“.
Unarinė operacija f, esanti aibės S atvaizdavimu į aibę S, vadinama idempotentiška, jei kiekvienam aibės S elementui x, f(f(x))=f(x)
Aibės S binarinė operacija * vadinama idempotentiška, jei kiekvienam aibės S elementui x, x*x=x.
Pavyzdžiai. Unarinė modulio operacija yra idempotentinė, nes ||x|| =|x|, pvz., ||-5||=|-5|=5
Maksimalaus elemento išrinkimo operacija yra idempotentinė, nes
max (x,y)=max (max(x,y),y)=max(x,max(x,y)

Žiedo R elementas x vadinamas nilpotentiniu, jei yra toks teigiamas n, kad xn=0. Terminą įvedė B. Pirsas algebros elementų, kurie dingsta pakelti laipsniu, kontekste.
Pvz., matrica yra nilpotentinė, nes A3=0

Kvantinis invariantas - tiesinė mazgo papildinio skaidymų nuspalvintų Jones polinomų suma.

Asociatyvioji operacija – binarinė operacija „+” yra asociatyvi (jungi) grupėje G, jei (a+b)+c=a+(b+c) kiekvienam a, b, c, priklausantiems G. Asociatyviai operacijai rezultatas nepriklauso nuo operacijų tvarkos (skliaustų sudėstymo) (taip pat žr. >>>>).

Komutatyvi operacija - binarinė operacija „*” yra komutatyvi grupėje G, jei a*b=b*a, kiekvienam a,b, priklausantiems G. Komutatyviai operacijai rezultatas nepriklauso nuo elementų tvarkos joje (taip pat žr. >>>>).

Komutatyviojoje grupėje apibrėžiančioji operacija dažnai traktuojama kaip (abstrakti) sudėtis ir užrašoma adityviai:

• a+b – ir gautas elementas vadinamas suma;
  
• neutralus elementas žymimas „0“ ir vadinamas nuliu;
• atvirkštinis elementas žymimas „-a“.

Kai operaciją grupėje vadina (abstrakčia) daugyba ir ji užrašoma multiplikatyviai:

• a*b – ir gautas rezultatas vadinamas sandauga;
• neutralus elementas žymimas „1“ ir vadinamas vienetu;
• atvirkštinis elementas žymimas a^-1.

Tegu M yra aibė su joje apibrėžta binarine operacija *. Jei bet kuriems aibės M elementams x ir y yra teisinga:
x*y=e,
e– tam tikras aibės M elementas (neutralus elementas arba vienetas), tada x vadinamas atvirkštiniu y elementui iš kairės, o y- atvirkštiniu x elementui iš dešinės.
Elementas x, esantis atvirkštiniu ir iš kairės, ir iš dešinės, t. y., jei tenkinama:
x*y=y*x=e,
vadinamas atvirkštiniu elementu ir žymimas x^-1 (taip pat žr. >>>>).

Topologija
Pirminiai skaičiai
Kaip supakuoti standžiau?
Kas tie romėniški skaitmenys?
Pagrindinės algebrinės struktūros
Mokslininkui nereikia matematikos!
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Mazgų teorija: juostos-nuopjovos teiginys
Endre Szemeredi darbų esmė „ant pirštų“
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Specialioji reliatyvumo teorija
Scenoje - paprastos grupės
Išmatuojam apskritimą
Matematika ir muzika
Harmoninės eilutės
Ar viskas čia taip?
Dalyba iš nulio
Matroidai