Ieškant dieviškų įrodymų. Matematika ir muzika; D. Spielmanui Nevanlinna premiją. Vartiklis

Ieškant dieviškų įrodymų

Ekscentriškasis vengrų matematikas Palas Erdošas manė, kad Dievas turi dangiškąjį tomą, kuriame surašyti tikslūs visų matematikos teoremų įrodymai. „Šitas iš knygos“, galėjo pasakyti, kai norėjo labiausiai pagirti puikų įrodymą. Ir visai nesvarbu, kad Erdošas abejojo paties Dievo buvimu: „Jums nereikia tikėti Dievu, jums reiktų tikėti Knyga“.

Proofs from the Book 1994 m. Martinas Aigneris^(p1) pokalbio su Erdošu Oberwolfach‘o Matematikos inst-te^(p2) metu, pagalvojo – o kodėl iš tikro nepabandyti sukurti Dievo Knygą (ar bent žemišką jos šešėlį)? Jis pritraukė Giunterį Ciglerį^(p3) - ir abu ėmėsi rinkti išskirtinai puikius įrodymus, entuziastingai padedant pačiam Erdošui. Tačiau pačių „Įrodymų iš Knygos“ (1998) Erdošas nespėjo pamatyti. Knygos pratarmėjo pažymima: „Daugelis įrodymų atsekama tiesiai iki jo [Erdošo] arba buvo paskatinti jo aukščiausių įžvalgų tiksliai paklausiant arba teisingai suformuojant teiginį“.

Knyga, pavadinama „matematinio dangaus blyksniu“ pateikiama po keliolika įrodymų iš skaičių teorijos, geometrijos, matematinės analizės, kombinatorikos ir grafų teorijos. Per pora dešimtmečių pasirodė 5 jos leidimai, kiekviename įtraukiant naujų įrodymų.

2018 m. sausį G. Cigleris ir M. Aigneris San Diege Jungtiniame matematikų susirinkime gavo Stilo premiją^(p4) Už matematinį pateikimą. „Elegantiškų idėjų tankis puslapyje yra neįtikėtinai aukštas“, pažymima nominacijoje. Pateikiame fragmentus iš „Quanta“ žurnalo interviu su G. Cigleriu to renginio metu.

„Mes niekada nebandėme apibrėžti, kas yra tobulas įrodymas... Skirtingiems skaitytojų tipams yra saviti tobuli įrodymai. Juk kas yra įrodymas? Tai, galiausiai, yra tai, kas įtikina skaitytoją, kad dalykai yra teisingi. Ar įrodymas yra suprandamas ir puikus, priklauso ne tik nuo įrodymo, bet ir skaitytojo: ką žino? kas patinka? kas akivaizdu?“.

„5-me leidime pastebėjote, kad matematikai yra pateikę bent 196 skirtingus kvadratinio apipusiškumo teoremos įrodymus ir beveik 100-ą pagrindinės aritmetikos teoremos įrodymų. Tai kodėl matematikai tebekuria naujus įrodymus jau įrodytoms teoremoms?“

Tai pagrindiniai dalykai matematikoje; ir juos svarbu suprasti iš įvairių pusių... Kiekvienas įrodymas pasako kažką kita apie teoremą ir struktūras...

„P. Erdošas buvo vadintas ‚matematikos žyniu‘. Jis keliavo po pasaulį, dažnai nežinodamas konkretaus adreso, skleisdamas matematikos evangeliją. Ir naudojo tas religines metaforas kalbėdamas matematikos grožį.“

„P. Erdošas savo paskaitas vadino „pamokslais“. Tačiau jis buvo ateistas; ir Dievą vadino ‚Aukščiausiuoju fašistu‘...“

^p1) Martinas Aigneris (Martin Aigner, g. 1942 m.) - austrų matematikas, nuo 1974 m. Berlyno Laisvojo un-to prof., dirbantis kombinatorikos ir grafų teorijos srityse. Išleido knygų apie diskrečiąją matematiką.

^p2) Obervolfacho Matematikos institutas (Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach) – 1944 m. V. Ziuso įsteigtas institutas Obervolfache; Leibnico asociacijos narys. Jis rengia kassavaitinius posėdžius įvairiomis matematikos temomis, į kuriuos suvažiuoja matematikai iš viso pasaulio. Taip pat organizuoja vasaros mokyklas. Institutas garsus milžiniška matematikų fotonuotraukų kolekcija. Nuo 1991 m. kas trys metai skiriama Obervolfacho premija jauniesiems Europos matematikams už iškilius pasiekimus: pirmuoju laureatu buvo britas P. Kronheimeris (g. 1963 m.), dirbantis kalibravimo teorijos ir jos taikymų srityje.

^p3) Giunteris Cigleris (Gunter Matthias Ziegler, g. 1963 m.) - vokiečių matematikas, besidomintis diskrečiąja matematika ir geometrija, o ypač briaunainių kombinatorika. Nuo 1995 m. Berlyno Technikos un-to prof. Įkūrė (2006) ir vadovauja Berlyno Matematikos mokyklai. Buvo Vokiečių matematikos metų (2008) iniciatoriumi. Išleido „Paskaitas apie politopus“ (1995).

^p4) Stilo premijos (Leroy P. Steele Prizes) - 1970 m. įsteigtos Amerikos matematikų asociacijos kasmetinės premijos 3-ose nominacijose: 1) už viso gyvenimo pasiekimus; 2) už matematinį pateikimą; 3) už vaisingą indėlį į tyrimus. Premija įsteigta pagal Leroy P. Steele testamentą ir jos dydis 5 tūkst. dolerių (10 tūkst. už viso gyvenimo pasiekimų nominaciją). Kaip taisyklė, skiriama už matematinę veiklą JAV teritorijoje. Pirmuoju premiją 1970 m. gavo Rusijos žydų emigrantas S. Lefšecas (1884-1972, JAV nuo 1905 m.), daugiausia pasiekęs algebrinės geometrijos ir ypač topologijos srityse, o premija jam skirta už autobiografiją.

Matematika yra baisu, visiškas pravalas. Tokia filosofija vyrauja naujai atidarome Matematikos muziejuje (MoMath) Niujorke. Viena muziejaus įkūrėjų, Cindy Lawrence sako: „Norime parodyti kitą matematikos pusę. Mūsų tikslas yra sužavėti vaikus ir parodyti jiems, kad ta matematiką, su kuria jie susiduria mokykloje, tėra tik vienas medis plačiame miške“.

Muziejuje matematika persmelkia viską, pasireikšdama kartais netikėtose vietose. Paimkim, pvz., „Enigma“ kavinę. Iš pirmo žvilgsnio ji atrodo kaip bet kuri kita įprasta šiuolaikinė Manheteno kavinė. Tačiau vietoje kavos pateikiamos dėlionės. O įdėmus apžiūrėjimas atskleidžia, kad grindys yra 6x6 gardelė, sienos padarytos iš Tetrio tipo elementų, kurie vadinami pentominais, o stalai sustatyti taip, kaip vaikšto šachmatų žirgas.

Įkvėpimą šiam muziejui davė mėgtas, tačiau senokas muziejus Long Ailende, kuris buvo uždarytas 2006-ais. Kitas MoMath įkūrėjas Glen Whitney, buvęs Ribotos rizikos fondų specialistas, bespecializuojantis algoritmų srityje, suringo grupę, kad užpildytų atsiradusią spragą, tačiau daugelį mėnesių viskas liko tik kalbomis, kol jiems pasiūlė stendą 2009 m. Pasaulinėje Mokslo šventėje Niujorke. Jo kūrimo metu kilusios mintys išsiplėtė į kilnojamą parodą, pavadintą „Math Midway“, kuri, savo ruožtu, padėjo pagrindus muziejui, kurio atidarymas Madisono aikštės parke planuojamas 2012 m. gruodžio 15 d.

MoMath pristatys abstrakčias koncepcijas, tokias, kaip skaičių teorija bei topologija, ir leis jums ant jų Fraktalai Chaos Ball

pridėti savo rankas ir net užminti kojomis. Jis skatina ir kūrybiškumą dizaino studija „Mathenaeum“ leidžia lankytojams kurti geometrines figūras, apie kurias jie anksčiau net nesapnavo.

Aplinka išskirtinė: kiekviena salė sukurta vis kitokiu stiliumi: renesanso paviljonas, gotikinė katedra, karinė stovykla, kavinė. O muziejaus komanda deda viltis į platesnį poveikį. JAV Nacionalinio saugumo agentūros (kuri įdarbina daugiau matematikų, nei bet kuri kita organizacija, tačiau priima tik JAV piliečius) narys kartą pasakė C. Lawrence, kad, jo manymu, didžiausias pavojus nacionaliniam saugumui yra matematikų, kurie gimę JAV, trūkumas. Tačiau politikų ir mokytojų požiūriai retai sutampa.

2014 m. spalio 14 d. blizgančioje privačioje salėje Manhetene turtinga aukštuomenė dalyvavo labiausiai „gykiniame“ (geek) metų labdaros renginyje – „Chaos Ball“, lėšų Matematikos muziejui rinkimui. Jo metu fraktalai pagerbti labiau bei mada. Vadinamieji apribotos rizikos fondai yra investavimo pagrindas. Būtent skaičių apsėstas firmas (tokias kaip D.E. Shaw Group ir MQS Management LLC), naudojančias išmanius algoritmus, vadinamas „kvantais“ (quant), pritraukia MoMath. Dalyvavo ir J. Simons‘as, 76 m. amžiaus „Renaissance“ steigėjas bei J. Overdeck‘as su D. Siegel‘iu, „Sigma Investments LLC“ steigėjai.

Kad smegenys netinginiautų, buvo siūloma daug su matematika susijusių užsiėmimų. Dalyviaii dalyvavo kuriant fraktalą – iš šviesų ant juodos lentos – bei sėdėjo ant suoliukų, kurie iš kvadratinių virsdavo trikampiais per kokteilių laiką. Specialiu garbės svečiu buvo aktorius ir mokslo fanatas A. Alda ir taikomosios matematikos prof. S. Strogatz’as^**). Renginio tema buvo chaoso teorija – ji remiasi idėja, kad nežymūs netikslumai ir sutrikdymai gali duoti didelį poveikį (pamenate „drugelio efektą“?). Penkios švytuoklės buvo padėtos ant plastikinės platformos ant ratukų. Svečiai susidomėję stebėjo, kaip jų švytavimai pamažu sinchronizuojasi, o paskui vėl išsiderindavo.

Straipsnyje naudojamos tolydžios Furjė transformacijos, kuriomis siekta nustatyti akustines kiekvieno akordo savybes, o taip pat, kaip skiriasi tos skirtingų akordų savybės. Štai, kai kurie akordai skamba panašiai. Pvz., „Beatles“ ‚All You Need is Love‘ dainoje yra keletas skirtingų akordų tipų, tačiau jie turi daug bendrumų. Ir tikrai, jie artimesni nei Jimi Hendrix'o „Purple Haze“ akordai; o dar labiau besiskiriantys yra disonantiniai Bernard Herrman‘o dūžiai 1960 m. filme „Psichopatas”.

Įsivaizduokite akordus daugiamatėje harmoninėje erdvėje, kurioje panašiai skambantys akordai yra arti vienas kito. Muzikos teoretikai, tarp jų ir M. Buchler‘is, sukūrė būdus, kaip išdėstyti juos toje erdvėje ir įvesti panašumo matą jiems sukurtą pagal ribotą „natų tipų“ kiekį (12 natų oktavoje).

„Tolydžiose harmoninėse erdvėse“ sudėstyti visi įmanomi akordai, net ir nepriklausantys standartiniam Vakarų skambesiui ir kurių natos yra tarp gretimų pianino klavišų.

^*) Clifton Callender'is yra Floridos valstijos un-to Muzikos koledžo profesorius adjunktas. Jis kuria muziką, praktikoje realizuojantis savo teorines idėjas. „Tolydžios erdvės“ koncepcija yra svarbi keliuose jo kūriniuose, tame taepr „Metamorfozėse“, kuriose ritmai ir tempai kinta tolydžiai, palaipsniu. Dabar jis dirba su „Spira mirabilis“, muzikos kanonų rinkiniu, kuriame pateikta melodija gali būti sugrota begaliniu variantų kiekiu.

^**) Stivenas Strogacas (Steven Henry Strogatz, g. 1959 m.) – amerikiečių matematikas, žinomas darbais, nagrinėjančiais netiesines sistemas bei sinchronizaciją dinaminėse sistemose, o taip pat įvairiose taikomosios matematikos srityse, tarp jų matematinėje biologijoje ir sudėtingų tinklų teorijoje. Daktaro laipsnį gavo 1986 m. už miego-budrumo ciklo dinamikos tyrimus. Kornelio un-te nuo 1994 m. 1998 m. su D. Vatsu pasiūlė naują „Pasaulis ankštas“ (vidutinio atstumo tarp narių socialiniame tinkle) modelį. Anot jų, „ankšto pasaulio“ reiškinys pasireiškia visų tipų tinkluose (tiek dirbtiniuose, tiek natūraliuose), - pridėjus atsitiktinius ryšius mažėja atstumas.

Daniel Spielman'as, taikomosios matematikos ir kompiuterių mokslo profesorius Jeilio un-te laimėjo Rolf Nevanlinna premiją¹⁾ (dabar IMU Abacus medalis), kuri yra vienas iš garbingesniųjų apdovanojimų matematikos srityje. Daniel Spielman gets Nevanlinna

Premija teikiama kas 4 m. matematikams, kurie yra jaunesni nei 40 m. ICM kongrese. 2010 m. rugpjūčio 19 d. Hyderabade (Indija) ją įteikė Indijos prezidentas P. Patilas D. Spielmanui už darbus tiesinio programavimo, grafų taikymo skaičiavimo metodų srityse.

D. Spielmanas darbuojasi keliose srityse, tame tarpe ir kurdamas naujus algoritmus, kurie efektyviau spręstų tiesinių lygčių sistemas. Didėjant duomenų apimtims, tokių sistemų greitas sprendimas tampa vis svarbesnis (kaip pavyzdys pateikiamas ryšių socialiniuose tinkluose analizė).

Praeityje D. Spielmanas dirbo su klaidų koregavimo kodais, kurių tikslas yra patikimai perduoti informaciją, kai galima interferencija (pvz., mobiliaisiais telefonais ar skaitant CD), o taip pat skirtingų algoritmų spartos analizės ir matavimo srityje. 2008 m. gavo Giodelio premiją už darbus algoritmų „sušvelnintos“ (smoothed) analizės²⁾ srityje. Yra kelių patentų kodavimo teorijos srityje savininkas.

¹⁾ Rolf Nevanlinna premija (nuo 2022 m. - IMU Abacus medalis) įsteigta 1981 m. pagerbiant suomių matematiką Rolf Nevanlinną³⁾. Premija teikiama ICM kongrese, vykstančiame kas 4 m., matematikams, kurie yra jaunesni nei 40 m. (kaip ir Fieldso medalio atveju), už matematinius aspektų plėtojimą informacinių mokslų srityje (kompiuterių mokslo visose srityse, skaitinėje analizėje, skaičiavimų optimizacijoje, kompiuterinėje algebroje). Premiją sudaro aukso medalis ir piniginė išmoka.

Premiją yra gavę: 1982 m. Robert Tarjan (JAV), 1986 m. Leslie Valiant (Anglija), 1990 m. Aleksandras Razborovas (Rusija), 1994 m. Avi Wigderson (Izraelis), 1998 m. Peter Shor (JAV), 2002 m. Madhu Sudan (Indija. JAV), 2006 m. Jon Kleinberg (JAV), 2010 m. Daniel Spielman (JAV),
2014 m. Subhash Kho (Indija/JAV), 2018 m. Constantinos Daskalakis (Graikija).

2022 m. premija buvo pervardinta į IMU Abacus medalį ir 2022-ais jį gavo M. Bravermanas⁴⁾ (Izraelis) už tyrinėjimus informacinio sudėtingumo teorijoje atsižvelgiant į komunikacijos protokolus, siekiant padidinti jų atsparumą „triukšmui“.

²⁾ “Sušvelninta analizė“ (smoothed analysis) – vienas algoritmų sudėtingumo matavimo būdų, parodančių realistiškesnį praktinį algoritmo efektyvumą, lyginant su blogiausio atvejo bei vidutinio vykdymo laiko variantais. Matuojamas algoritmo laikais nežymiai įtraukiant blogiausių variantų atvejų.

³⁾ Rolf Nevanlinna (1895-1980) – vienas iškiliausių suomių matematikų, pasižymėjęs funkcionalinėje analizėje (kompleksinių skaičių analizėje). Taip pat didelį dėmesį skyrė kultūrai ir politikai, buvo Patriotinio judėjimo narys ir suomių Provokiškojo judėjimo narys (jo motina buvo vokietė).

⁴⁾ Markas Bravermanas (Mark Braverman, g. 1984 m.) – žydų kilmės matematikas ir kompiuterijos teoretikas iš Rusijos, 1992 m. emigravęs į Izraelį. Daktaro laipsnį apsigynė Toronte (2008) ir vėliau ten dirbo. 2007 m., kartu su kitais, įsteigė mobilių mokėjimų kompaniją „“, kurią 2010 m. nupirko „Google“, jos pagrindu sukūręs „Google Wallet“. 2011 m. pradėjo dirbti Prinstono un-to Informatikos (Kompiuterių mokslo) fakultete – docentu, o vėliau profesoriumi. Pagrindiniai darbai iš skaičiavimų sudėtingumo, paskaičiuojamumo, mašininio apsimokymo sričių.