Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas  

Džordžas Deividas Birkhofas (George David Birkhoff, 1884-1944) – amerikiečių matematikas, žinomas darbais iš statistinės mechanikos (ergodinės teoremos). Jis pagrindė bendrąją dinaminių sistemų teoriją, jose išskyręs labiausiai dominančias judėjimo klases – centrinius ir rekurentinius judėjimus. Li algebrų teorijoje garsioji Puankarė-Birkhofo-Vito teorema pateikia aiškų universalios apgaubiančios asociatyvios algebros (Li algebroje) apibūdinimą. 1925-26 m. buvo JAV matematikos draugijos prezidentu.

Gimė 1884 m. kovo 21 d. Mičigano valstijos Overiselo mieste. Studijavo Harvardo un-te, daktarinę disertaciją diferencialinių lygčių srityje apsigynė 1907 m. Dėstė Viskonsino ir Prinstono un-tuose, o nuo 1912 m. iki mirties dėstytojavo Harvardo un-te (profesorius nuo 1919-ųjų).

1912 m., bandydamas išspręsti 4 spalvų uždavinį, įvedė chromatinį polinomą. Ir nors šis įrodinėjimo kelias nebuvo vaisingas, tas polinomas tapo svarbiu algebrinių grafų teorijos objektu.

1913 m. jis įrodė Puankarė „Paskutinę geometrijos teoremą“, specialų trijų kūnų uždavinio atvejį (dar vadinamą Puankarė nebaigta simfonija) – ir tuo išgarsėjo. 1927 m. išleido „Dinamines sistemas“. Birkhofo darbai lietė įvairius reliatyvumo teorijos ir kvantinės mechanikos aspektus. 1923 m. kartu su. R.E. Langeru^*) išleido monografiją „Reliatyvumas ir šiuolaikinė fizika“. Tais pačiais metais įrodė teoremą, kad Švarcšildo geometrija yra vienintelis Einšteino lygčių sferinis simetrinis sprendinys (leidžiant padaryti išvadą, kad juodosios skylės nėra tik matematinis kuriozas, o gali būti realus darinys). Pateikė savitą gravitacijos teorijos atmainą (1943 m.).

Birkhofo darbai pradėjo hiperciklinių operatorių teoriją. Jo svarus indėlis į tinklelių teoriją. Užsiiminėjo ir skaičių teorija, Rymano-Hilberto problema ir kt. Pasiūlė skirtingą nei Hilberto Euklido geometrijos aksiomų sistemą („Geometrijos pagrindai“, 1941).

Galiausiai paskelbė du neįprastus darbus. 1933 m. knygoje “Estetikos matas” pasiūlė matematinę estetikos teoriją. Dž. Birkhofas estetika susidomėjo anksti. Dar besimokydamas Harvarde, gilinosi į vakarų muzikos struktūrą ir bandė rasti atsakymą, kas sudaro melodingumą. 4 dešimtm. pradžioje metus keliavo ir studijavo įvairių pasaulio kraštų meną, muziką ir poeziją. Savo kūrinyje išskyrė du meno elementus: C – sudėtingumą ir O – tvarką arba simetriją. Tada siekė surasti jiems matą M. Jis teigė, kad M = O / C, t.y., kad meno matas nusakomas tvarkos ryšių tankiu. Grožis didėja, kai sudėtingumas mažėja.

Birkhofo estetinis matas gali būti pritaikytas izoliuotiems daugiakampiams.
Šiuo atveju O = V + E + R + HV – F
kur V yra vertikali simetrija, E – pusiausvyra, R – sukamoji simetrija, HV – daugiakampio sąryšis su horizontaliu-vertikaliu tinklu, o F – bendras neigiamas veiksnys (nepasitenkinimo forma). C yra skirtingų tiesių, į kurias įeina bent viena daugiakampio kraštinė, skaičius.
(Birkhofo formulė kvadratui duoda didžiausią vertę. Penkiakampės žvaigždės matas yra 0.95).

Birkhofo formulės taikymas vazoms, architektūrai, melodijoms ir net poezijai aprašytas 1934 m. kovo 17 d. „Science News Letter“ Van de Water straipsnyje. Jis aiškino, kad pagrindines paveikslo kompozicines dalis galima atskirti įsivaizduojamomis linijomis, pvz., kaip parodyta Antonio Correggio paveiksle „Danaja“ (1531).

Paveiksle turėtų būti pagrindinis dėmesio centras, o taip pat kiti antriniai centrai. Toks pagrindinis dėmesio centras dažnai yra vidurinėje vertikalioje linijoje arba netoli jos. Tvarkos elementus reikia imti tuos pačius kaip atvaizduoti trimatis objektai. Galiausiai, yra papildomi elementai, kurie turi sprendžiamą vaidmenį; geram paveikslui reikia papildomos temos tiek pat, kaip eilėraščiui reikia poetinės idėjos.

Didelė šio straipsnio dalis skirta poezijai, kuriai Birkhofo formulė yra:
O = aa + 2r + 2m – 2ae – 2ce
Kur aa – ir sąskambis, r – rimas, n – muzikinis garsas, ae – perteklius, ce – priebalsių garsų perteklius.

Taip vieną aukštesniųjų įvertinimų (0.77) gavo A. Tennyson‘o (1809-1892) eilėraštis (pilnas tekstas >>>>):

Come into the garden, Maud, 
 For the black bat, Night, has flown, 
Come into the garden, Maud, 
 I am here at the gate alone;
And the woodbine spices are wafted abroad, 
 And the musk of the roses blown.

Birkhofas laikė, kad toji formulė turi praktinę reikšmę. Atseit, architektas daugiau nepriklausys nuo per kartų kartas susiformavusių formų ir dizainų. Jis paprasčiausiai gali savo kūrinį pasitikrinti panaudodamas objektyvią formulę.

1938 m. knygoje „Elektra kaip skystis“ Dž. Birkhofas derino savo filosofines ir mokslines idėjas.

A. Einšteinas ir N. Vineris (kaip ir keli kiti) kaltino Dž. Birkhofą, kad taiko antisemitinius įdarbinimo principus. 4-me dešimtmetyje, kai daugelis žydų matematikų bėgo iš Europos, jis, atseit, darė įtaką Amerikos institucijoms, kad jos nepriimtų žydų. Nors ir galėjo būti antisemitinių pažiūrų, jis taip stengėsi užtikrinti darbą vietoje išugdytiems matematikams.

Dž. Birkhofas mirė 1944 m. lapkričio 12 d. Masačūsetso valstijos Kembridžo mieste. Jo sūnus Garetas Birkhofas (1911-1996) irgi buvo matematiku.

---

^*) Rudolfas Langeris (Rudolf Ernest Langer, 1894-1968) – amerikiečių matematikas, žinomas Langerio korekcija (kvaziklasikiniu priartėjimu tiesinėms diferencialinėms lygtims). Buvo Amerikos matematikų draugijos prezidentu (1949-1950). Jo tyrinėjimo sritys buvo asimptotiniai diferencialinių lygčių sprendimai ir kraštinių sąlygų klausimai.

Literatūra:

1. Saunders Mac Lane. Jobs in 1930s and the views of George D. Birkhoff// Math. Intelligencer 16, 1994
2. H.S. Vandiver. Some of my recollections of Geoge David Birkhoff// J. Math. Anal. Appl. 7, 1963
3. M. Van de Water. Mathematical measure for art// Science News Letter 25, March 17, 1934

---

Publikacija

Recencija. George D. Birkhoff. Aesthetic measure, 1933 C.A. Garabedian, 1934 m. sausis Kiekvienam „Biuletenio“ skaitytojui šis veikalas bus provokuojantis mąstymą. Labiausiai patrauklus jis bus analitiškai mąstantiems estetikams, tačiau jame yra klausimų ir prasmių toli išeinančių už bet kurios specialiosios srities. Čia apžvalgininkas išnagrinės „Estetikos matą“, pirmiausiai, parodydamas, kaip jis sprendžia savo pateiktą problemą, ir, antra, kaip, atsižvelgiant jo įnašo į estetiką svarbą, tas terminas naudojamas plačiausia prasme. Pirmame skyriuje profesorius Birkhofas pateikią tokią matematinę pagrindinio uždavinio formuluotę: „Kiekvienoje estetinių objektų klasėje apibrėžti tvarką O ir sudėtingumą C taip, kad jų santykis M = O / C būtų estetiniu matu kiekvienam klasės objektui“. Kituose skyriuose šis uždavinys detaliai sprendžiamas įvairioms paprastoms estetinių objektų klasėms. Autorius išskiria „formalias“ ir „papildomas“ asociacijas bei paaiškina, kad „mūsų dėmesys bus nukreiptas beveik vien į formaliąją meno pusę, kuriai vienai gali būti kiekybiškai pritaikoma estetinio mato formulė“, tačiau „neketinant neigti kūrybinio meno papildomos pusės transcendentinės svarbos“. 2, 3 ir 4 skyriuose autorius kruopščiai pritaiko savo teoriją daugiakampėms figūroms, ornamentams ir interjerui bei vazoms – t.y., labiau elementariom sritims. Skaitytoją tiesiog nustebina autoriaus nuodugnumas. Čia negalimas net mažiausias kritiškumas; mat atrodo, kad autorius įrodo savo formulės patikimumą. 2 skyriuje aprašytas 90-ies daugiakampių formų estetinis matas, iliustruojant spalvotais piešiniais. 3 skyriuje penki visą puslapį užimantys piešiniai iliustruoja vienmačius bei dvimačius ornamentus. Tačiau aptarimas, pirmiausia apie teorijos taikymą, net ir aiškiai išdėstytas, yra ganėtinai matematinis, todėl sunkiai skaitomas. 4 skyriuje susiduriame su sunkumais. Mat teorija „čia labiau kvestionuotina nei daugiakampių ir ornamentų atveju“ laiko, kad abstraktesnė vazos forma turi didesnį ekspresyvumą. Ir mes jaučiame, kad bus sunku toliau nagrinėjant tokį abstraktų meną kaip muzika. Pats autorius, skyriaus pabaigoje apie vazas, pripažįsta: „Įdomu, kaip žinojimas, kad tie paprasti sąryšiai egzistuoja duotu atveju, paveikia estetinį sprendimą. Mano nuomone, efektas yra kiek nepalankus, nes, visose meno srityse, intuityviai juntami sąryšiai, kurie labiausiai patinka.“. 5, 6 ir 7 skyriuose nagrinėjama muzika. Šiuose skyriuose apie akordus, harmoniją ir melodiją, pastebime autoriaus užsispyrimą susipažinti su daugeliu techninių dalykų ir jo kantrybę išvardijant. Susidaro įspūdis, kad autorius, linkęs pripažinti „beveik transcendentinę ekspresyvią“ muzikos galią ir jos „gilų ir beveik universalų patrauklumą“, vis tik turi tendenciją paviršutiniškai prabėgti pro tam tikras ypatybes, kurios, nors ir nesvarbios jam, daugeliui yra svarbios. Yra išplitęs įsitikinimas, kad meno kūrinys yra reikšmingas labiau dėl to, ką jis „reiškia“, o ne ką jis „sako“. Laikome, kartu su Birkhofu, kad Gurney požiūris – kad muzika yra Idealus judesys, kurio „esminė charakteristika .... yra absoliučiai unikalus grožis suvokiamas absoliučiai unikalių sugebėjimų... – vargu ar yra priimtinas. Ar būtinai estetikos mokslas turi būti analitinis Birkhofo prasme ir kitoks nei mistinis? Skyriai apie harmoniją ir melodiją tikrai pateikia pagrįstą formulę. Tačiau, iš tikro, jos svarba estetikai? Randame tik ankstesnių meistrų darbuose išskirtų taisyklių – ir išdėstytų Prouto „Harmonijoje“ bei „Kontrapunkte“ – racionalizaciją. Natūralu, kad teorija turėtų būti tiek reikalinga, tiek pakankama: autorius nustato, jokia gera muzika negali turėti mažo M, ir kad jokia bloga melodija negali turėti didelio M. Taigi, kai kuriems estetikams formali struktūra paaiškina muzikos galią. Tačiau muzikantams pagrindinis aspektas yra kitur. Muzikaliam klausytojui nereikia nei žinojimo, nei muzikos teorijos, nei estetinio mato. Jo klausimas apie formalumą yra: tai turėtų būti racionali ar intuityvi analizė? Tuose skyriuose teoretikui nesunku rasti kai kuriuos įdomius klausimus. Pvz., ar 148 puslapyje priskirdamas M=15 penktam akordo sekai pirmame pavyzdyje ir M=16 aštuntojo antrame pavyzdyje autorius nepraleido svarbių muzikoje elementų? O kaip dėl kitų? Bet kuris muzikinio turinio skaitytojas, iš kūrybinės ar analitinės pusės, girdėjo, kad „lengva užrašyti natas, tačiau sunku užrašyti kita“ – visuotinai Mocartui priskiriama replika. Bet kuri analizė, kuri neatsižvelgia į sielą virpinantį Bethoveno Penktosios simfonijos ir Mocarto G-minor simfonijos efekto poveikį, vargiai išvengs analizės nepakankamumo net iš elementaraus požiūrio taško. Birkofo formalių poezijos veiksnių analizė (8 skyrius) atnaujina dėmesį nuolat kraują kaitinančiam klausimui lyginant su įvairiomis mokyklomis. Birkhofas sako, kad „pagrindinis tikslas visada yra pasiekti glaustą, vaizdingą poetinės idėjos išraišką metrine forma panaudojant geros muzikinės kokybės kalbą“. Priešingai skelbia prof. Housmano poezijos apibrėžimas**): „Manau, kad perduoti emocijas – ne perduoti mintį, o skaitytojui sukelti virpėjimą, atitinkantį, ką jautė rašytojas – yra ypatinga poezijos funkcija“. Housmanas poeziją laiko „labiau fizine nei intelektualine“, tačiau pripažįsta, kad „didžioji žmonijos dalis žinomai ir neginčijamai ... neturi organo, kuriuo suvokiama poezija“. Trumpai sakant, nors poezija nėra tokia abstrakti ir galinga išraiškos priemonė kaip muzika, pagrindinis tikslas yra kaip muzikos: išjudinti mūsų jausmus juos veikiant garsais; ir tikriausias patikrinimas yra tai, kaip giliai mes sujaudinti! Be to, poezijoje, kaip ir muzikoje, aukščiausias įvertinimas yra tobulas formos ir turinio susiliejimas, kurio siekia visi menai; ir jei mes labiau rūpinamės, kokia yra poezija, o ne apie ką ji, abejotina, kiek analizė, kai veiksniai abstrakčiai atskirti, gali atitikti mūsų vientisos visumos suvokimą, kai sintezė yra tokia subtili, kad gali neigti analizę. Mes vėl prieiname klausimą, ar meno reikšmingumas yra tai, kiek informacijos jis išreiškia, lyginant su tuo, kokią turi galią numatant ir įvertinant patirtį. Autoriaus įvertinimas randamas paskutiniuose dviejuose skyriuose „Ankstesnės estetikos teorijos“ bei „Menas ir estetika“. Ankstesnių rašytojų, pradedant Platonu ir Aristoteliu, indėlis yra įvertinamas remiantis kiekybine teorija. Autoriui „atrodo beveik akivaizdu, kad estetika, kad būtų moksline, turi pradėti analitiniu požiūriu ir rūpintis daugiausia formaliais meno aspektais“. Tad Birkhofas, kai pasiekia Croce, kuriam menas yra „impresijų išraiška“ ir „lyrinė intuicija“, pastebi: „tokie apibendrinti filosofiniai apibrėžimai ir klasifikacijos, kad ir teisingi, niekada negali būti išeities tašku estetikos mokslui. Jie save ribojantys ir sudaro tarsi filosofinę citadelę, iš kurios gali užsipuldinėti bet kokias labiau definityvias išvadas“. Tad Vico įžvelgtas estetikos mokslas, vėliau sužydėjęs pas Croce, savo prigimtimi neleidžia Birkhofo analizės tipo. Tačiau tai nereiškia, kad Vico ar Croce mums perša mistinę teoriją ar kažką miglota, kontūrais ar turiniu. Apžvalgininkui visada atrodė, kad Croce savo „Estetikoje“ prasiskverbia iki tikrosios klausimo esmės. Jis sumaniai argumentuoja apie intuityvaus pažinimo mokslą sulyginamą su intelektualaus pažinimo mokslu ir pabrėžia faktą kad „Skirtumas tarp mokslinio darbo ir meno kūrinio, t.y., tarp intelektualaus ir intuityvaus fakto, yra bendrojo efekto, kurio siekė jų autoriai, skirtume. Tai kas apibrėžia ir valdo atskiras kiekvieno jų dalis, o ne atskirtas ir abstrakčiai aptariamas dalis“. Šiame skyriuje autorius taip pat cituoja dvi pastraipas iš monumentalaus Helmholtz‘o veikalo „Tono pojūtis“ pabaigos. Birkhofas, nors ir neranda kiekybinio požiūrio požymių, daro išvadą, kad Helmholtz‘as laikosi analitinio požiūrio, nes tasai sako: „be abejonių yra priimtina, kad grožis yra dėsnių ir taisyklių, priklausančių žmogaus proto prigimčiai, tema...“ Tačiau, kaip skaitome skyriuje, kurį cituoja Birkhofas, mums atrodo, kad Helmholtz‘as analitinį požiūrį laiko mažiau svarbiu, netgi sako: „Tai yra tiksliai iš tos jo priklausomybės, kuri išvengia mūsų sąmoningo suvokimo, kad meno kūrinys pakylėja ir sužavi mus, o svarbiausi meninio grožio poveikiai kyla ne iš tos dalies, kurią galime analizuoti“. Ir Helmholtz‘as nusprendžia „nesigilinti į muzikos estetiką... Tikras sunkumas glūdi psichinių motyvų, kurie čia patys save įtvirtina, išvystyme. Būtent čia yra taškas, kuriame prasideda įdomiausia muzikos estetikos dalis, siekiant paaiškinti didžiųjų meno kūrinių nuostabą ir išsiaiškinti minties įvairių afektacijų pasireiškimus ir vyksmus“. Baigiamajame skyriuje Birkhofas labai trumpai parodo, kaip galima pritaikyti jo teoriją, dekoratyviniuose darbuose, tapyboje, skulptūroje, architektūroje ir muzikoje, panaudojant kiekybinius formos aspektus. Parodoma, kad tikrai gerai žinomos maksimos – įkūnytos principe „vienybė įvairovėje“ – aiškiai glūdi pagrindinėje formulėje. Bet jei šios maksimos buvo pradiniu tašku formalizmui nuo senovės, ar autorius neatsiveria tokiai pat kritikai, kaip ir formalistai? Po kai kurių pastabų apie meno evoliuciją ir kūrybinį meną, skyrius, o kartu ir knyga, baigiasi aprašymu – toli gražu neįtikinančiu mūsų – priemonių, kurios, kaip tiki autorius, gali jo teoriją pritaikyti tiek estetinėje patirtyje, tiek kūrybiniame procese. Kai į šalį padedame „Estetikos matą“, pirmoji mintis ta, kad dėl laukiamos jos svarbos, turime ją nagrinėti platesniame filosofiniame kontekste. Bendras vaizdas turi apimti ne tik žmogaus intuityvias ir konceptualias, bet ir praktines, ekonomines bei etines veiklas. Mes patvirtiname, kad intuityvūs ir konceptualūs pradai neginčijamai skiriasi. Ar negalėtų būti kokios nors analogijos, jungiančios tokias savitas veiklas kaip muzika ir matematika? Jei taip, tos analogijos gali parodyti netgi didesnį skirtumą tarp intuityvaus ir konceptualaus pradų – aiškiai mums atskleidžiant tuos aspektus, kuriais tiedu nesulyginami. Apžvalgininko nuomone, mūsų ieškoma analogija turi būti randama, tarp iš vienos pusės, būdo, kuriuo matematika, per atitikmenis, „funkcionuoja“ su formaliais ir kiekybiniais tikrovės aspektais, o iš kitos pusės, būdo, kuriuo muzika, per asociacijas, „funkcionuoja“ su tikrovės papildomais ir emociniais aspektais išplečiant intuityvaus pažinimo sferą. Čia „funkcionuoti“ nurodo sąveiką tarp realaus ir idealaus pradų. Taip, anot Dewey, tiek menas, tiek mokslas gali pasirodyti kaip progreso kontrolė; Santayana‘i tiek muzika, tiek matematika gali didžiuotis būdami visiškai laisvi ir vis tiek naudingi. Negalime pereiti, nustatydami vienodus atitikmenis, iš vienos srities į kitą; net labiau, per palyginimą ir patarimą, galime vis labiau pažinti save ir mūsų fizinę aplinką. Drįstame pareikšti nuomonę, kad ši funkcinė progreso priklausomybė, tiek teoriškai, tiek praktiškai, turi beveik tas pačias charakteristikas, intuityvumo arba konceptualumo srityse. Reikia palikti skaitytojui rasti mūsų minėtą analogiją ir išvesti jos implikacijas. Mūsų apibendrinanti išvada yra ta, kad kol visiškai atskiriame muziką ir matematiką, meną ir mokslą, ir laikomės jų atskirumo, neturėsime progreso. **) A.E. Housman. The Name and the Nature of Poetry, Macmillan, 1933

Nulio istorija
Va tai šeimynėlė!
Gyvenimo gėlelė
Poetinė geometrija
Jų begalinė išmintis
Kaip supakuoti standžiau?
Edgaras Po apie mokslą
Borchesas ir matematika
Ar kompiuteriai supranta meną?
Pjeras Simonas Laplasas
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Matematikos šlovė ir garbė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Hipatija – pirmoji matematikė
Atsidaro matematikos muziejus
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Meilės ir matematikos ritualai
Dailininkas Vladimiras Smirnovas
V. Nalimovas. Skaičiaus filosofija
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Kaip Pitagoro teoremą įrodė Einšteinas
B. Raselas. Matematiko košmariškas sapnas
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Bendra kosmoso ir muzikos istorija
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Čarlzas Pirsas: jo atgimimas
Da Vinči matematinė klaidelė
Kvantinė mechanika: ribotumas?
Matematika prieš eismo spūstis
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Scenoje - paprastos grupės
A. Einšteino panteizmas
Apie aukso pjūvį
Anti-semitizmas
Dalyba iš nulio
Vartiklis