Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau. Matematika. Vartiklis

Kai Hilbertas paliko Sorbonos tribūną Antrajame tarptautiniame matematikų kongrese 1900 m. rugpjūčio 8 d., tik nedaugeliui kalba padarė įspūdį. Anot vieno to meto liudijimo, diskusijos ta tema buvo „visai padrikos“. Atrodo, kad daugiau dėmesio sukėlė klausimas, ar nereiktų esperanto kalbą paimti kaip darbinę matematikos kalbą.
Tuo tarpu Hilbertas pateikė dienotvarkę 20-m amžiui, kuri buvo iškristalizuota kaip 23 svarbiausias neišspręstų matematikos problemų sąrašas, įtraukiantis ir tai, kaip talpiausiai supakuoti objektus, o taip pat ar teisinga Rymano hipotezė apie pirminių skaičių pasiskirstymą.

Kai kurios problemos yra labai paprastos: pvz., 3-ioji buvo realiai išpręsta iki Hilbertui apie ją paskelbiant, nors dar nebuvo publikuotas jos sprendimas; jį paskelbęs Max Dehn‘as²⁾ išsprendė netrukus po to, kai Hilbertas ją įvardijo. Kai kurios suformuluotos pernelyg neaiškiai, pvz., 4-oji ar 23-ioji. Tačiau ir Hilbertas, tai jausdamas, rašė: „Sunku ir dažnai neįmanoma spręsti apie problemą iš anksto; galutinis nuopelnas priklauso nuo naudos, kurią mokslas gauna iš problemos“.

Šiandien daugelis problemų jau išspręsta, tarp jų ir sferos pakavimo uždavinys. Kitų, kaip Rymano hipotezės, atveju progresas nedidelis arba jo visai nėra. Tuo tarpu pirmoji jo sąraše išsiskiria savo keistumu – matematika tiesiog negali į jį atsakyti. Weil. Levels of Infinity

Ji žinoma kaip kontinuumo hipotezė⁴⁾ ir yra susijusi su paslaptingiausia esybe, t.y. begalybe. Ir tik praėjus 140 m. nuo jos suformulavimo, garbus JAV matematikas mano, kad ją įveikė. Ir netgi, kaip jis tvirtina, sprendimą rado ne naudodamas tokią matematiką, kokią mes žinome (na.... gal nedaugelis ir žino, kokia ta matematika dabar yra), o sukurdamas naują, radikaliai griežtesnę loginę struktūrą, kurią jis pakrikštijo „ultimatyvia L“.

O kelionė prasidėjo 1870-o dešimtm. pradžioje, kai vokiečių matematikas G. Kantoras išvystė aibių teorijos pagrindus. Aibių teorija nagrinėja veiksmus su objektų rinkiniais ir tų rinkinių apimtis. Ji yra svarbus matematikos pagrindas, nes skaičius galime susieti su aibių dydžiais, aibių manipuliavimo taisyklės taip pat apibrėžia ir aritmetinę logiką ir viską, kas ja paremta.

Tos sausos, kiek nuobodokos loginės konstrukcijos įgavo naują bruožą, kai Kantoras netikėtai paklausė: kokį dydį gali pasiekti aibė? Akivaizdus atsakymas – „be galo didelį“ – pasirodė esąs nepakankamas, mat begalybė yra ne viena esybė, o turi daug lygių.

Kaip čia dabar? Paskaičiuokime: 1, 2, 3, 4, ... Kai ilgai galime tęsti? Aišku, „be galo“, nes neegzistuoja pats didžiausias skaičius. Tačiau tai tėra „mažiausia“, suskaičiuojama begalybė, kurioje gyvuoja aritmetika. O štai pažiūrėkime, kiek taškų yra tiesėje. Na taip, ir čia „be galo daug“. Tačiau tai nėra suskaičiuojama sveikų skaičių begalybė. Tai glotni tolydi begalybė, kurioje apibrėžiami geometriniai objektai. Ji sudaryta ne iš sveikų, o „realių“ skaičių – ir tarp sveikų skaičių prikimšta daugybė kitų: trupmenos (racionalūs skaičiai), o taip pat ir iracionalūs (tokie, kaip p ar

). Kantoras parodė, kad „kontinuumo“ begalybė yra „be galo“ didesnė už suskaičiuojamą, sveikų skaičių begalybę. Ir kartu ji yra laiptelis į dar aukštesnius begalybės lygius, kurių yra... e-e-e... begalybė.

Ir kol tie aukštesni begalybės lygiai tebeskendėjo miglose, Kantoras vėl paklausė: ar tarp suskaičiuojamos begalybės ir kontinuumo begalybės egzistuoja koks tarpinis begalybės lygis? Jis įtarė, kad neegzistuoja, tačiau neįstengė tai įrodyti. Tai ir tapo vadinamąja kontinuumo hipoteze.

Bandymai įrodyti ar paneigti kontinuumo hipotezę priklauso nuo visų įmanomų realių skaičių poaibių analizės. Jei bet kurios jų apimtis yra arba suskaičiuojama, arba sutampa su pačiu kontinuumu, tada hipotezė teisinga. Bet jei yra bent vienas kitoks poaibis – ji neteisinga.

Panaši technika su sveikų skaičių poaibiais parodė, kad nėra lygio, žemesnio už suskaičiuojamą, t.y., bet kuris sveikų skaičių poaibis arba baigtinio dydžio, arba suskaičiuojamai begalinis. Tačiau realiųjų skaičių atveju šis metodas davė mažai vaisių – dėl netrukus paaiškėjusių priežasčių. Švedų matematikas Gosta Mittag-Leffler'is³⁾ 1885 m. blokavo vieną Kantoro publikacijų, kadangi ji yra „100 metų per anksti“. Ir kaip britų matematikas ir filosofas B. Raselas parodė 1901-ais, Kantoras tikrai išsišoko per anksti. Nors jo išvados apie begalybę atrodė priimtinos, jo aibių teorijos loginis pagrindas buvo su spragomis, nes rėmėsi neformalia ir visiškai paradoksalia koncepcija apie tai, kas yra aibė.

Ir tik 1922 m. du vokiečių matematikai Ernst Zermelo ir Abraham Fraenkel‘is suformulavo manipuliavimo aibėmis taisykles, kurios atrodė pakankamai patikimos, kad atlaikytų begalybių Kantoro bokštą ir sustiprintų matematikos pamatus. Deja, tos taisyklės nepateikė aiškaus atsakymo dėl kontinuumo hipotezės.

Netrukus suklupta ties vadinamąja „pasirinkimo aksioma“, kuri neįėjo į pradinį E. Zermelo ir A. Fraenkelio taisyklių rinkinį, tačiau netrukus buvo į ten įstumta, kai tapo aišku, kad kai kurie matematiniai veiksmai, tokie, kaip skirtingų begalybės lygių palyginimas, be jos neįmanomi.

Toji aksioma teigia, kad jei turime aibių rinkinį, visada galime sudaryti naują aibę, apimdami po vieną objektą iš kiekvienos aibės. Tai skamba įtikinamai, tačiau turi aštrų spyglį – Galima sugalvoti tokias pradines aibes, kad iš kiekvienos jų paėmę po elementą, gausime net keistesnę aibę. Lenkų matematikai Stefanas Banachas ir Alfredas Tarskis netruko parodyti, kaip toji aksioma leidžia sferinio kamuolio taškų aibę padalinti į 6 poaibius, iš kurių po to galima pagaminti du tokio pat dydžio kaip pradinis kamuolius (apie tai skaitykite Kaip įmanomas begalinis klonavimas?). Tai buvo fundamentalios problemos simptomas: aksiomai leido egzistuoti keistai iškreiptoms realių skaičių aibėms, kurių savybės negali būti apibrėžiamos. Taigi, tai buvo blogas ženklas įtariant, kad kontinuumo hipotezė niekada nebus įrodyta.

Tai nutiko tuo metu, kai „neįrodumumo“ koncepcija tik pradėjo įeidinėti į madą. 1931 m. austrų logikas Kurtas Giodelis įrodė savo garsiąją „nepilnumo teoremą“. Pagal ją, net turint puikiai sudarytas pradines taisykles, visad egzistuoja teiginiai apie aibes ar skaičius, kurių negalima nei įrodyti, nei paneigti Rain Drop

(čia galite paskaityti ir >>>>> ).

Kartu Giodelis turėjo keistai skambančią nuojautą, kaip galima būtų įveikti daugelį matematikos pagrindų spragų – tiesiog ant viršaus sukuriant daugiau begalybės lygių. Tai jis įrodė 1938-ais. Pradėdamas paprasta taisyklių koncepcija, sulyginama su E. Zermelo ir A. Fraenkelio, ir tada atidžiai ją papildydamas begalybių infrastruktūra, jis sukūrė matematinę aplinką, kurioje tiek pasirinkimo aksioma, tiek kontinuumo hipotezė yra teisingos. Jis pavadino šį naują darinį „konstruojama visata“ arba tiesiog „L“.

„L“ buvo patraukli aplinka matematikai, tačiau netrukus suabejota, ar ji „teisinga“. Visų pirma. Jos begalybių lygiai nesitęsė pakankamai toli, kad galėtų užpildyti visas žinomas spragas. 1963 m. Paul Cohen‘as sukūrė metodą daugybės matematinių visatų, kurios visos suderinamos su E. Zermelo ir A. Fraenkelio taisyklėmis, sukūrimui.

Tai buvo konstravimo bumo pradžia. Per paskutinį pusę šimtmečio aibių teoretikai sukūrė daugybę įvairių aibių teorijos modelių. Kai kurie „L-tipo“ modeliai skyrėsi tik papildomų begalybės lygių apimtimi, o kiti buvo visai kitokių architektūrinių stilių.

Tačiau daugeliu atvejų gyvenimas tose struktūrose buvo toks pat: įprastai matematikai, o taip pat ir fizikai juose nebuvo skirtumų. Tačiau neatrodė, kad ir tas matematinis „daugialypiškumas“ sugebės kada nors prigriebti kontinuumo hipotezę. Kaip parodė Cohen‘as, kai kuriuose tų matematinių pasaulių hipotezė yra teisinga, tačiau kituose tarp suskaičiuojamos aibės ir kontinuumo atsiranda tarpinis lygis. Tačiau, kaip žinome, matematinės logikos pagalba neįmanoma sužinoti, kokio tipo pasaulyje randamės.

Ir būtent čia Hugh Woodin‘as¹⁾ (iš Berklio Kalifornijos un-to) pateikė savo pasiūlymą – kad reikia išeiti iš įprastinės matematikos pasaulio ir imti aukštesnę plotmę.

H. Woodin‘as nėra Pilypas iš kanapių. Jis yra pripažintas aibių teorijos specialistas, kurio vardu pavadinta viena begalybių laiptų pakopa. Tame lygyje, esančiame nepalyginamai aukščiau nei bet kas Giodelio L‘uose, gyvena gigantiškos esybės, kurios vadinamos Woodin‘o kardinalais. Šie iliustruoja, kaip prijungiant priestatų kompleksą prie matematikos struktūros galima išspręsti žemesnių lygių problemas. 1988 m. amerikiečiai Donald Martin‘as ir John Steel‘as parodė, kad, jei Woodin‘o kardinalai egzistuoja, tada visos „projektyvios“ realiųjų skaičių aibės turi išmatuojamą dydį. Beveik visi geometriniai objektai gali būti apibrėžti šios atskiro tipo aibės terminais ir panaikinant tokius netikėtumus, kaip Banacho ir Tarskio kamuolių susidarymas.

Tačiau tokia sėkme H. Woodin‘as neliko patenkintas: „Kokia prasmė turėti visatos koncepciją, kurioje egzistuoja tokios didelės aibės, jei negali apibrėžti net mažų aibių savybių?“ Spragos matematikos pagrinduose vis dar išliko: „Neatsakoma į beveik kiekvieną klausimą“, - pareiškė Woodin‘as.

Tad Woodin‘as su kitais aptiko naują, radikalesnį metodą, nei tirti tam tikrus realiųjų skaičių derinius, patenkančius į įvairius L-pasaulius. Tie dariniai, vadinamos Baire aibės, nežymiai keičia savo geometriją kiekviename tų pasaulių ir tarytum veikia kaip jų identifikacinis kodas. Kuo kuo atidžiau gilinosi Woodin‘as, tuo darėsi aiškiau, kad egzistuoja ryšiai tarp darinių atrodytų nesuderinamuose pasauliuose. Sudėjus darinius kartu, pasaulius tarsi skyrusios ribos pradėjo nykti ir pamažu atsikleidė naujos matematinės supervisatos planas. Tą milžinišką loginę struktūrą Woodin‘as pavadino „ultimatyviąja L“. Infinite Geometry

Tarp kitų dalykų, ultimatyvioji L pirmą kartą pateikia realiųjų skaičių poaibių definityviąją priemonę: kiekvienam atsišakojimo tarp Cohen‘o leidžiamų pasaulių taškui tėra vienintelis kelias, kuris suderinamas su Woodin‘o planu. Atskiru atveju, ji numato, kad kontinuumo hipotezė yra teisinga, t.y. tarp suskaičiuojamos aibės ir kontinumo nėra jokio tarpinio lygio. Taigi, tai gali reikšti be tik 140 m. senumo problemos uždarymą, bet ir paties Woodin‘o „atsivertimą“ – mat prieš kokį 10 m. jis sakė, kad kontinuumo hipotezė, greičiausiai, yra klaidinga.

Ultimatyviąja L niekas nesibaigia. Jos plati erdvė leidžia ant viršaus kloti naujas pakopas, kai prireikia užtaisinėti žemiau esančias spragas. Giodelio nepilnumo teorema nemiršta, tik jums leista ją persekioti tiek toli, kiek jausite malonumą lipdami aukštyn begalybės laiptais.

Ir kaip visada, lieka neatsakytas vienas klausimas: ar ultimatyvioji L yra tikrai ultimatyviai teisinga?

Vieni, kaip A. Caicedo iš Boise un-to, yra optimistai, manantys, kad liko užbaigti tik kelis techninius dalykus. Kiti ne tokie tikri. Pvz., buvęs Woodin‘o studentas Hamkins‘as laiko, kad matematikai privalo nagrinėto visą matematikos struktūrų įvairovę, - ir tas, kuriose kontinuumo hipotezė teisinga. Su kuria erdve dirbama tėra asmeninio skonio ir susitarimo reikalas.

2010 m. Woodin‘as savo idėjas išdėstė tame pačiame forume, kuriame prieš šimtmetį savąjį sąrašą pateikė Hilbertas, t.y. Tarptautiniame matematikų kongrese, tik šįkart Indijos mieste Hyderabade. Kadaise Hilbertas apgynė aibių teoriją paskelbdamas, kad „niekas neturėtų išvyti mus iš rojaus, kurį sukūrė Kantoras“. Tačiau mes klupinėjame aplink tą rojų, neturėdami aiškios minties, kur mes esame. Gal dabar apčiuopsime kelią, kuriuo galėsime eiti šį šimtmetį ir vėliau.

¹⁾ Viljamas Vudinas (William Hugh Woodin, g. 1955 m.) - amerikiečių matematikas, specializuojantis aibių teorijoje. Prisidėjo vystant vidinių modelių teoriją ir determinaciją (aibių teorijos žaidimuose). Anot jo, kontinuumo hipotezė yra nenustatoma arba klaidinga matematinio platonizmo požiūriu. Jo vardu pavadintas didysis kardinalinis skaičiaus (Ultimate L) tipas.

²⁾ Maksas Denas (Max Wilhelm Dehn, 1878-1952) – vokiečių žydų kilmės amerikiečių matematikas, žinomas darbais topologijos, geometrijos ir geometrinės grupių teorijos srityse. Jis pimasis dar 1901 m. išsprendė vieną iš 23-ių Hilberto problemų (apie daugiakampių vienodą sandarą). Algebrinėje 3D topologijoje žinoma svarbi Deno lema (1910). Į JAV persikėlė 1939 m. ir nuo 1945 m. dėstė Black Mountain‘o koledže (Šiaurės Karolina). Kažkiek straipsnių skyrė ir matematikos istorijai bei filosofijai.

³⁾ Magnusas Gustavas Mittag-Lefleris (Magnus Gustaf (Gösta) Mittag-Leffler, 1846-1927) – švedų matematikas, daugiausia prisidėjęs prie funkcijų teorijos, dabar vadinamos kompleksinių skaičių analize, vystymo. 1882 m. įsteigė vieną stambiausių matematinių žurnalų „Acta mathematica“ (su karaliaus Oskaro parama). Buvo karštu moterų lygiateisiškumo šalininku – pasiekė kad Nobelio premiją gautų ne tik Pjeras, bet ir Marija Kiuri (1903), o taip pat padėjo Sofijai Kovalevskajai gauti profesoriaus vietą Stokholme. Savo name sukaupė didžiulę matematinę biblioteką; vėliau namą testamentu paliko matematinio ins-to, dabar turinčio jo vardą, įkūrimui. Yra hipotezė, kad dėl jo Nobelis neskyrė savo premijos matematikams: atseit, Magnusas paveržė iš jo mylėtą moterį (ir Nobelis liko viengungiu). Pagal kitą versiją, kai Nobelis rašė testamentą, Mittag-Lefleris buvo iškiliausias Švedijos matematikas ir Nobelis pabijojo, kad tasai pasinaudos savo įtaka Mokslų akademijai ir taps pirmuoju laureatu. Nors gal Nobelis tiesiog nelaikė matematikos vertingu mokslu.
Taip pat skaitykite >>>>>

⁴⁾ Kontinuumo hipotezė teigianti, kad bet kuris begalinis kontinuumo poaibis yra arba suskaičiuojamas, arba kontinuumo galios. Kitaip sakant, kontinuumo galia yra mažiausia po suskaičiuojamos aibės galios, t.y. tarp jų nėra jokios tarpinės galios. Ją 1877 m. iškėlė G. Kantoras ir pirmieji bandymai ją įrodyti naiviąja aibių teorija nepavyko, o vėliau įrodyta, kad neįmanoma hipotezę įrodyti ar ją atmesti ZFC aksiomatikoje. Ji įrodomas ZFC aksiomų sistemoje šią papildžius deterministine aksioma (pasiūlyta 1962 m.).