Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija. Vartiklis

Kvaili fizikai, jie visai pakvaišę. Skiria visą gyvenimą visuotinės teorijos kūrimui, nežinodami, kad dar prieš 80 m. buvo įrodyta, kad tai neįmanoma logiškai. Internetas pilnas tokių pasisakymų. Daugelyje jų minima Stephen'o Hawking'o paskaita 2002-ais „Giodelis ir fizikos pabaiga“. O išleisdamas naują knygą „Didysis projektas“ (2010) Kembridžo orakulas vėl kelia sumaištį, tik tai nepatraukė visų dėmesio. Joje jis suabejoja, ar galima visuotinė teorija. Garsiausias iš mokslininkų, negavusių Nobelio premijos, nuo pat 2002-ųjų jau kelintą kartą iškelia šį klausimą.

Bet kaip jis gali baigti knygą tokia išvada: „M-teorija tėra tik vienas iš kandidatų į visuotiną visatos teoriją [...] Jei teorija bus patvirtinta stebėjimais, [...] aptiksime didįjį projektą“?

Negi S. Hawking‘as pakeitė savo nuomonę? Ne, tik jis susipainiojo savo minčių labirintuose. Nelengva gyventi, kai tavo knygos parduodamos milijoniniais tiražais, o leidėjai verčia sukurti posakį, garantuojantį žiniasklaidos dėmesį^*).

Išmintingas. perfekcionistas, apsėstas ir nepritampantis visuomenėje – toks buvo Kurtas Giodelis. Gyvą Giodelio bendravimo su valdžios įstaigomis bei jo draugu A. Einšteinu pavyzdį pateikė Oskaras Morgenšternas⁵⁾. Giodelio draugystė su Prinstono instituto kolega Einšteinu tęsėsi iki šio mirties 1955 m. Jiedu žavėjosi vienas kitu ir Einšteinas yra pastebėjęs, kad yra „privilegija vaikštinėti su Giodeliu“.

Taip, Einšteinas plačiau žinomas, tačiau Giodelio garsusis 1931-ųjų straipsnis sujudino matematinės logikos pagrindus ir nurodė aiškias ribas tam, ką galime pasiekti logikos metodais. Populiariai išsireiškiant, straipsnyje įrodoma, kad nėra loginės sistemos, kuri neturėtų prieštaravimų ir būtų pilna. Kitaip sakant, jokioje loginėje sistemoje negalima jos teiginių suskirstyti į teisingus ir klaidingus. Visada bus trečia kategorija „nenustatomi“.

„Nepilnaties teorema^**)“ sprogo tarsi bomba ir sukrėtė visą matematikos pasaulį. Iki šiol ji įtakoja matematinės logikos vystymąsi.

Giodelio protas nekelia abejonių, tačiau jo apsėdimas vėliau tapo nevaldomu. Jis liovėsi skelbti savo darbus baimindamasis, kad jie nėra tobuli. Tad jo paranoja atėmė iš pasaulio tolimesnį jo gilaus proto indėlį. Kiti apsėdimai veikė patį Giodelį. Vienas jų buvo baimė, kad jis bus nunuodytas. Jis valgė tik žmonos paruoštą maistą. Kai 1977 m. ji atsigulė ligoninėje 6-iems mėnesiams, jis atsisakė valgyti. Gruodžio mėnesį matematikos milžinas buvo atvežtas į Prinstono ligoninę sveriantis vos 22 kg. Jis mirė po dviejų savaičių ir diagnozė buvo „prastas maitinimasis ir nusilpimas dėl asmeninių užgaidų“.

Ir praėjus 40 m. po jo mirties, mes klausiame, ką jo indėlis reiškia fizikai.

D. Trumpo atėjimas į prezidento postą privertė prisiminti istoriją su Kurtu Giodeliu. 1947 m. jis ruošėsi egzaminui dėl JAV pilietybės gavimo ir savo įpročiu atidžiai viską nagrinėjosi, o tada pareiškė, kad rado spragą JAV konstitucijoje, leidžiančią išrinkti diktatorių. Tačiau, kokia yra tikroji spraga, nebuvo paaiškinta, ir nuo tada tai buvo daugelio nagrinėjimų ir spekuliacijų tema.

K. Giodeliui su egzamino laikymu padėjo A. Einšteinas ir O. Morgenšternas, kurie bandė tą politiškai naivų draugą atkalbėti nuo kalbų apie diktatorius ir spragas, tačiau K. Giodelis negalėjo susilaikyti, kai jam buvo užsiminta, kokia yra laimė, kad JAV nėra diktatoriaus valdymo, ir egzaminatoriui F. Formanui prasitarė apie savo atradimą. Vis tik jis gavo JAV pilietybę dėka tų dviejų draugų užtarimo (laimei, F. Formanas buvo A. Einšteino draugu).

Šiuolaikiniai fizikai jaučia mažai apribojimų. Jie netgi nenori priimti bet kokio teiginio, ribojančio jų galimus pasiekimus. Kadaise Galilėjaus teiginius varžė bažnyčios dogmos, tačiau tie laikai jau praėjo. Nuo tada, kai Laplasas atrėžė Napoleonui į priekaištą, kad neminimas visatos kūrėjas, kad „toji hipotezė man nereikalinga“, nei Dievas, nei bažnyčia negali stabdyti fizikų veiklos.

Taigi Giodelis – ar tik jis nėra Dievo keršto įrankis? Ar jis nestato barjerų, kurių negali peržengti fizikai?

Fizikai kuria matematika besiremiančias teorijas. Matematikos priemonėmis daro išvadas iš tų teorijų. Jie daro prielaidas apie fizinę tikrovę remdamiesi vien tik matematika bei logika. Tad neabejotinai, Giodelio įrodymai apriboja tai, ką gali pasiekti teorinė fizika!

Netiksliai išpopuliarinus, atrodo, kad plačioji visuomenė klaidingai supranta, ką reiškia Giodelio įrodymai. Tad vizualiai parodykime, kaip visuomenė juos supranta: Understanding

[ Matematinių teiginių erdvėje yra pilkų sričių, kurių teiginių negalima nei įrodyti, nei paneigti. Matematikai stengiasi įrodyti ar paneigti visus teiginius ir taip sumažinti pilkas sritis. Giodelio teorema tvirtina, kad visada liks pilkų sričių. ]

Toks supratimas yra klaidingas, nes dėmesį atkreipia tik į vieną aksiomų sistemą. Matematikai nėra suvaržyti, kad naudotų tik vieną tokią sistemą, todėl gali kurti naujas ir galingesnes sistemas. Tad tikslesnis piešinys būtų:
Understanding Corrected

[ Kiekvienoje aksiomų sistemoje yra pilkų dėmių, kurių teiginiai neapibrėžiami. Progresuoti galima tik pakeičiant teiginių rinkinį galingesniu, pritaikomu plačiau. Tai panaikina buvusias pilkas dėmes ir atveia naujus horizontus, kur pasirodo naujos pilkos dėmės. Tas procesas gali tęstis be galo. ]

Tai suteikia daugiau optimizmo, kadangi matematika nesibaigia ir visada įmanomas progresas, pritaikius naujas priemones. Giodelis suteikė matematikams garantijas, kad jie visada turės darbo!

Po Giodelio įrodymo paskelbimo 1931-ais, kitas darbas nušvietė nepilnaties teoremos prasmę. Būtent, 1936-ais Alanas Tiuringas^***) pateikė specialų nepaskaičiuojamumo pavyzdį: tai uždavinys neišsprendžiamas jokio kompiuterio, nesvarbu, koks jis bebūtų galingas ir kaip ilgai spręstų.

Nesuskaičiuojamumas yra sąvoka, priartinanti prie fizikos. Visatos teorija yra ne daugiau (ir ne mažiau) nei kompiuterinė programa, imituojanti Visatos vystymąsi nuo pradžių, nuo Didžiojo sprogimo. Giodelio ir Tiuringo pasiekimai kelia abejones tokio vystymosi paskaičiuojamumu.

Tiuringo nepaskaičiuojamumas iškelia klausimą, ar bet kuri kompiuterinė programa duotiems pradiniams duomenims baigs darbą. Tiuringas įrodė, kad yra programų, kurioms negali nustatyti, ar jos, duotiems pradiniams duomenims, kada nors baigs darbą.

Tarkim, kad turime programą, kuri imituoja visos Visatos vystymąsi ir pradeda veikti su duomenimis, pagal kurius turi paskaičiuoti rytdienos Visatą. Įjungiate milžinišką kompiuterį, vykdysiantį programa. Jam teks apdoroti milžiniškus duomenų kiekius. Praėjus valandai kompiuteris vis dar skaičiuoja. Kaip ir po 20-ies valandų – ir nėra požymių, kad programa baigs darbą. Praeina rytdiena, o kompiuteris vis dar tebeskaičiuoja. Ar kada nors bus pabaiga? Negalite žinoti.

Tad kas? Tai aiškiai parodo, kad gali būti, kad fizika niekada negalės tiksliai nuspėti rytojaus. Ir tai žinome jau dabar.

Tas aprašytas Visatos nepaskaičiuojamumas remiasi prielaida, kad iš principo galima sukurti programą, imituojančią Visatos vystymąsi. Tačiau negalime. Net iš principo. Pabandę pamatytume, kad toks kompiuteris sprogtų ir pavirstų juodąja skyle anksčiau, nei pasiektų dydį, reikiamą, kad galėtume pradėti skaičiavimus. Ir tai parodo ne praktinio pobūdžio problemą, o fundamentalų ribotumą. Neišgelbėtų netgi kvantinis kompiuterio veikimo principas. Heizenbergo neapibrėžtumo principas neleistų be galo mažinti kompiuterio apimties. Juodosios skylės likimas tokiam kompiuteriui vis tiek neišvengiamas.

Tad gravitacija, ir visai ne Giodelis neleidžia fizikai nuspėti rytojaus. Tad jau galime suformuluoti skambų šūkį: „Gravitacija padarė su fizika tai, ką Giodelis – su matematika“. Būtent tai yra esmė to, ką minėtoje paskaitoje kalbėjo S. Hokingas.

Nepaskaičiuojamas dar nereiškia, kad Visuotinė teorija (TOE) yra neįmanoma. Giodelis nedraudžia ją kurti fizikams, - kaip ir gravitacija nedraudžia. Kaip ir Giodelio teorema nedraudžia kurti aksiomų sistemų. Jos gali būti kuriamos, tačiau jose ne viskas gali būti įrodoma.

1999-ais “Time” žurnalas, prisijungdamas prie bendro naujojo tūkstantmečio keliamo šurmulio, pateikė 100-ies iškiliausių 20 a. žmonių sąrašą, kurį pradeda, be abejonių, A. Einšteinas, tačiau garsiausiu matematiku pripažintas K. Giodelis (1906-1978). Ir nepaprasta, kad abu šie mokslininkai, skirtingu laiku priversti palikti Europą dėl nacizmo įsisiautėjimo, įsidarbino tame pačiame Prinstono Pažangių tyrimų institute, kur jų kabinetai buvo netoliese. Ir, nepaisant apie 30 m. amžiaus skirtumo, jie aktyviai draugavo. Iš Giodelio laiškų motinai matosi, kaip jis vertino šią draugystę. O Einšteinas yra pasakęs, kad jis (jau „metuose“) kasdien ateina į institutą tik tam, kad pakeliui į namus pabendrautų su Giodeliu.

Niekas tikrai nežino, apie ką jie šnekučiuodavosi. Tačiau viena pasekmių akivaizdi – nors Giodelio mokslinio domėjimosi sritis buvo gana tolima fizikai, 5-o dešimtm. pabaigoje jis atkreipė dėmesį į bendrosios reliatyvumo teorijos lygtis ir sugebėjo rasti tikslų jų sprendinį (pavadintą „Giodelio metrika“), turintį paprasčiausią ir elegantiškiausią pavidalą – kas kartu nuliūdino mokslo pasaulį, nes taip yra gamtoje, kad tikėtiniausia, kad paprasčiausias sprendinys dažniausiai ir teisingiausias. Tačiau Giodelio metrika aprašo Visatą su gana keistomis savybėmis.

Dabar priimta kalbėti, kad tasai sprendinys, deja, yra netikroviškas ir nefizikinis. Netikroviškas todėl, kad jis aprašo stacionarią, t.y. turinčią pastovią apimtį, Visatą, besisukančią pastoviu nenuliniu greičiu. Bet stebėjimai liudija apie nuolat besuplečiančią Visatą, o taip pat nepateikia įrodymų, kad Visata sukasi. O nefizikiniu – todėl, kad jis leidžia egzistuoti uždaras trajektorijas laike (kilpas) – t.y. galima grįžti į praeitį, kas pažeidžia priežastinį dėsnį. Jis taip pat numato nesibaigiančią Visatos egzistavimų seką, kurioje ji pati yra priežastimi. Ši, esmės, gilios senovės mąstytojų išsakyta mintis, vaizduota uborosu, savo uodegą ryjančia gyvate (arba, interpretavus kitaip, save iš nasrų išleidžiančia). Bet ... šįkart dėmesys besisukančiai Visatai (apie tai žr. ir >>>>>) – kad ir dėl to, kad nieko nefizikiško tame nėra (netgi atvirkščiai – viskas nuo mikrokosmo iki makrokosmo būtent sukasi).

Bet ... kosmologams be sukimosi gyventi lengviau. Pirma, anot reliatyvumo teorijos, visata visur turi atrodyti vienodai, kad ir iš kur bežiūrėtum. O besisukančioje Visatoje palei ašį vaizdas kaip ir besiskiriantis nuo kitų vietų. O ir stebėjimai kažkaip nerodo Visatos sukim osi požymių... Visata kaip toras

1982 m. jaunas anglų astrofizikas Polis Berčas 132 užgalaktinių radijo šaltiniams aptiko asimetrinį pasiskirstymą poliarizacijos sukimosi kampams. Jis, palyginęs duomenis iš įvairių tyrimų, jis parodė, kad visi jie rodo vieną dėsningumą – šiaurės pusrutulyje radijo spinduliavimo poliarizacijos vektorius nukreiptas į vieną pusę, o pietų – į kitą. Ir daroma dar viena išvada – kad tai paaiškinti galėtų Visatos sukimasis... Ir niekas iki šiol patikimai to spėjimo nepaneigė...

1997 m. pasirodė susišaukiantis B. Nodlando ir Dž. Ralstono straipsnis. Jiedu 160 galaktikų tyrė vadinamąjį sinchrotroninį spinduliavimą ir taip pat aptiko priklausomybę poliarizacijos kampams – kad sukimosi kampas kinta priklausomai nuo stebėjimo krypties – tarsi Visata turėtų kažkokią ypatingą ašį, einančią per dangaus pusiaujo Erelio ir Sekstanto žvaigždynus. Tai vėl buvo smūgis Visatos izotropijos (kad Visata atrodo vienodai visomis kryptimis) ir homogeniškumo (Visata visur vienoda) koncepcijoms.

Nauji duomenys vis aiškiau liudija apie įvairias ašis – ir kaip bebūtų keista, visos jos stengiasi verti per Žemę, tarsi ji būtų Visatos „bamba“ (tame tarpe ir pagal WMAP duomenis – kad ją „traukia“ prie Saulės sistemos krypties). Tokių krypčių sutapimo tikimybe tik apie 1/10000.

Taigi, viskas atrodo nepaprastai keistai ir nepaaiškinamai. Tačiau Visatoje pagal Giodelio metriką visos keistenybės dingsta savaime. Juk joje stebėtojui, kur jis bebūtų, atrodo, kad visa Visata sukasi aplink jį. Vizualiai tai lengviau įsivaizduoti jei atvira cilindrinė Visata transformuota į torą („baranką“). Tada, kaip 7-o dešimtm. pradžioje parodė I. Osvatas ir E. Šiukingas, nėra jokios išskirtos ašies, o toro formos Visatoje visi elementai uždaroje sukasi vieni apie kitus.

Tačiau kokie natūralūs bebūtų anomalijų paaiškinimai sukimusi, jie negali būti pripažinti, nes to neleidžia Standartinė kosmologijos teorija.

Trūkstama grandis – Omega funkcija

Jei šimtas tūkstančių mokslininkų per šimtmetį negali išspręsti gravitacijos pokyčio (laisvo kritimo pagreičio) problemos, tai matyt problema ne problemos sprendėjuose, o jų naudojamame įrankyje.

Bendroji reliatyvumo teorija remiasi perskyrimu. Vienoje dalyje yra masės funkcija, o kitoje vektorinio tenzoriaus funkcija. Tad kyla klausimas, ar masės dalies negalima pakeisti kažkuo kitu, tarkim Omega funkcija, kuri dar nėra apibrėžta, tačiau tai nėra masės funkcija. Gal ji galėtų būti kvarkų, o ne masės sąveika?

Tačiau fizikų bendrija dėmesį sutelkusi į vektorinio tenzoriaus dalį.

Pažiūrėjus į bemasę gravitacinio pagreičio lygtį g=tc² laiko uždelsimo pokytis padalintas iš atstumo pokyčio yra tai kas aprašo gravitacinį lauką. Mažas aplink Žemę besisukantis kūnas turi tam tikrą greitį kuris gali būti konvertuotas į laiko uždelsimą. Mažo kūno orbitos spindulio nežymus pakeitimas į didesnį ar mažesnį duoda naują greitį ir kartu naują laiko uždelsimą. Tad padalinus šį laiko užlaikymų pokytį iš aukščio pokyčio ir padauginus iš šviesos greičio kvadratu gausime gravitacijos pagreitį. Tas pats su įcentriniu judesiu. Paimkime greitį dviejuose spindulio taškuose. Paskaičiuokime laiko uždelsimą ir padalinkime šį laiko uždelsimo pokytį iš spindulio pokyčio, t.y. atstumo tarp dviejų taškų. Tada padauginkime iš šviesos greičio kvadrato ir gausime gravitacinį pagreitį.

Tas pats teisinga elektronui judančiam magnetiniame lauke, tačiau tai negalima paaiškinti nepanaudojus lygčių. Kartu šis metodas paaiškina kodėl jėga yra statmena tiek elektrono judesiui tiek magnetiniam laukui. Šiuolaikinis elektromagnetizmas negali to paaiškinti ir tik teigia.

Nilsas Boras yra sakęs, kad visa, ko reikia aprašyti Visatą yra lygtis – ir paaiškino, kodėl teorinė fizika tapo labai abstrakti. A. Einšteinas sakė, kad reikia naudotis vaizduote. Abu naudojo skirtingus metodus. Abu naudojo matematiką kaip Visatos aprašymo įrankį. Tačiau Morris Kline⁴⁾ knygoje „Matematika: užtikrintumo praradimas“ sako, kad matematika dabar tapo tokia sudėtinga, kad gali būti panaudota įrodymui bet kam, todėl netekome užtikrintumo. Likimo ironija, kad būtent Einšteinas ėmėsi ieškoti viską jungiančios teorijos.

^*) Tokių, kaip „Dievas nereikalingas“, „Dievas sukūrė sveikuosius skaičius“ (2005 m. knygos pavadinimas - nuoroda į L. Kronecker'io posakį: „Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, visda kita - žmogaus darbas“) ir „Matematika klaidinga, skaičiai neegzistuoja!” (antraštė spaudoje po knygos pasirodymo)...

^**) Iš tikro, Giodelis 1931 m. pateikė dvi susijusias teoremas. Perfrazuojant ir apibendrinant - primoji teigia: Kiekviena pakankamai stipriai rekursyviai aksiomatizuota pirmos eilės neprieštaringa teorija yra nepilna
Antroji: Jei formalioji aritmetika S neprieštaringa, tai joje neišvedama formulė, teigianti S neprieštaringumą.

^***) Kitas tragiškos gyvenimo pabaigos pavyzdys. Anglija pokario laikais nelabai toleravo homoseksualumą. 6-ojo dešimtmečio pradžioje Tiuringo homoseksualumas grėsė teisiniu persekiojimu ir chemine kastracija. Tad 41-rių metų Tiuringas nusinuodijo cianidu.

⁴⁾ Morisas Klainas (Morris Kline, 1908-1992) – amerikiečių matematikas ir populiarintojas, rašantis ir matematikos istorijos, filosofijos klausimais.
1952-75 m. – matematikos dėtytojas, profesorius Niujorko un-te. Jis nuolat pasisakė už ryšį tarp taikomosios ir grynosios matematikos. Baigęs dėstyti, knygoje „Kodėl profesoriai negali dėstyti“ (1977) teigė, kad yra klaidinga iš dėstytojų reikalauti originalių minčių ir tyrimų, nes tai juos atitraukia nuo platesnio žinojimo, kuris būtinas dėstant. Knygoje „Matematika: užtikrintumo praradimas“ (1980) jis aptaria, kaip amžių eigoje nauji pasiekimai (pvz., neeuklidinė geometrija ar Giodelio nepilnumo teorema) matematikoje nustebindavo matematikus.

⁵⁾ Oskaras Morgenšternas (Oskar Morgenstern, 1902-1977) – vokiečių žydų kilmės amerikiečių ekonomistas, vienas iš žaidimų teorijos , kurią pritaikė ekonomikoje, kūrėjų. Nuo 1928 m. buvo Vienos un-to profesoriumi, o 1938 m. buvo Prinstono un-te JAV ir nusprendė negrįžti. 1935 m. paskelbė straipsnį „Tikslus numatymas ir ekonominė pusiausvyra“. JAV dirbo Pažangių stydijų un-te, kur sutiko Dž. fon Neimaną, su kuriuo parašė „Žaidimų teoriją ir ekonominę elgseną“ (1944), laikoma pirmąja knyga apie žaidimų teoriją. Vėliau parašė ir kitų knygų.