Visatos topologija: pradžiamokslis    

Fizikai laiko, kad Visata gali būti apibrėžta kaip daugdara. Matematikoje daugdaros apibūdinamos jų geometrija bei topologija. Geometrija matuoja paviršiui būdingą kreivumą. Bendroji reliatyvumo teorija
Daugdaros: suklijavimas: kvadratas ir cilindras
Stačiakampio sulenkimas į torą
(BRT) susieja masės pasiskirstymą Visatoje su jos geometrija ir tada visiškai aišku, kad geometrija apibrėžia masės dinamiką. O topologija apibūdina erdvės formą. Tačiau BRT visiškai neatsižvelgia į Visatos topologiją (skaitykite apie Visatos topologijas >>>>>).

Ryšis tarp topologijos ir geometrijos aiškiausias plokščioje erdvėje. Kosmologai dažnai naudoja plokščias begalines visatas: modelį, kurį matematikai žymi R3, simbolizuojant erdvę, sudarytą pagal tris ortogonalias (statmenas) kryptis. O gerai žinomas kosmologinis modelis, turintis tokią pat R3 geometriją, tačiau skirtingą geometriją, yra trimatis toras arba tai, ką matematikai žymi T3.

Dauguma kosmologinių simuliacijų atliekamos T3 erdvėje – jei dalelė bando palikti skaičiavimų kubą pro vieną pusę, ji pasirodo priešingoje pusėje.

Egzistuoja trys skirtingi topologijos kaip daugdaros supratimo būdai. Paprasčiausia yra pradėti aptariant topologiją plokščioje dvimatėje erdvėje. Vienas plokščios topologijos pavyzdžių yra kvadratas kartu su kraštinėmis. Toks kvadratas yra fundamentalus topologijos objektas. Kitas topologijos sampratos būdas yra suklijuoti to kvadrato kraštines suformuojant „cilindrą“, t.y. dvimatį paviršių trimatėje erdvėje. O trečias būdas - supjaustyti begalinę plokštumą į identiškas to paties fundamentalaus objekto kopijas.

Kosmologai paprastai aptaria tris galimas visatų geometrijas: teigiamai išlenktą, plokščią ir neigiamai išlenktą. O įprastai kalbant, uždarą, kritinę ir atvirą visatas. Tačiau ši paskutinė nomenklatūra yra klaidinanti: neigiamai išlenktos visatos gali būti arba begalinės erdvėje, arba baigtinės (kompaktiškos). Abu šie modeliai turi tą pačią dinamiką ir yra amžini laike: dianmiką apibrėžia geometrija. Trimatė sfera yra erdvė su pastoviu teigiamu kreivumu, o pseudo-sfera yra hiperbolinė erdvė su pastoviu neigiamu kreivumu (apie tai daugiau žr. Visatos topologija >>>>> ).

Topologiniu požiūriu, neigiamai išlenktos (hiperbolinės) erdvės yra „bendros“: dauguma trimačių daugdarų gali būti nagrinėjamos kaip homogeninės neigiamai išlenktos ir kompaktiškos (pagal Thurstono geometrizacijos teiginį, 1978). Cornish‘as, Gibbons‘as ir Weeks‘as (1998) parodė, kad Hartle-Hawking‘o kvantinės mechanikos interpretacijoje priimtinesnės mažiausio tūrio daugdaros, kurios yra paprasčiausi (mažiausiai sudėtingi) kompaktiniai modeliai.

Neigiamai išlenktų daugdarų apibūdinantis ilgis yra kreivumo laipsnis, kurį galima naudoti kaip ilgio vienetą. Yra begalinis skirtingų kompaktiškų hiperbolinių daugdarų kiekis. Yra fundamentalioji grupė, žymima G, susieta su kiekviena šių topologijų. Kiekviena topologija taip pat turi specifinį tūrį (matuojamą kreivumo vienetais).

Viena įdomi kompaktinių hiperbolinių daugdarų matematinė savybė yra ta, kad geodeziniai srautai tomis daugdaromis yra maksimaliai chaotiški ir įvairūs. Dėl šios savybės jos intensyviai tiriamos fizikų ir matematikų, besidominčių kvantiniu chaosu (Balazs ir Voros, 1986; Gutzweiler, 1985). Manoma, kad kvantinio chaoso vaidmuo buvo svarbus ankstyvosios Visatos homogenizacijai (Cornish, Spergel, Starkman, 1996).

Topologijos veiksnių stebėjimas    

Mikrobanginio kosmoso spinduliavimo tyrinėjimai gali leisti nustatyti ne tik visatos geometriją, bet ir jos topologiją. Jei visata yra neigiamai išlenkta, tada visatos topologijos pagrindiniu masteliu yra kreivumo spindulys. Tad visatos geometrijoje galima įžvelgti jos topologijos pėdsakus („parašus“). Aiškiausias pėdsakas yra mikrobanginiame spinduliavime.

Aptinkama vis daugiau požymių, kad gyvename neigiamai išlenktoje visatoje. Vis daugiau argumentų liudija, kad materijos tankis yra gerokai mažesnis už kritinį tankį. Nemažai tyrinėtojų komandų parodė, kad tamsiosios materijos modeliai su W0 » 0.3-0.4 yra suderinami su mikrokosminio spinduliavimo matavimais ir didelio mastelio struktūra. Kartu vis didesnis dėmesys skiriamas tam, kad visata galbūt yra ne tik neigiamai išlenkta, bet ir kompaktinė.
Apie tai taip pat paskaitykite Erdvės formos.

Kaip galime sužinoti, ar gyvename kompaktiškoje hiperbolinėje Visatoje? Vietiniai stebėjimai leidžia matuoti tik Visatos geometriją (t.y. ne jos topologinę formą). Mums reikia išeiti už mūsų srities, kad pastebėtume topologinius Visatos aspektus. Dauguma tyrinėtojų bandė rasti mūsų Galaktikos ar kitų panašių objektų (gausių jų spiečių) [6, 10, 11].

Tipinėje mažo tūrio kompaktiškoje hiperbolinėje visatoje laukiamas trumpiausios uždaros geodezinės linijos1) ilgis bendrose mažo tūrio daugdarose (tarkim, mažesniuose nei 10) yra tarp 0,5 ir 1. Tad, jei laisvai pasirinksime tašką tokioje daugdaroje, tai bus tikėtiniausia reikšmė konforminiam atstumui3) iki mūsų artimiausios kopijos. Visatoje su dominuojančia materija, objekto raudonasis poslinkis su konforminiu atstumu susijęs kaip:
raudonasis poslinkio su konforminiu atstumu
kur h yra konforminis „laikas atgal“, o h0=arccosh(2/W0 - 1) yra konforminis dabarties laikas. Kai W0= 0,3, h0=2,42 ir tikėtiniausias artimiausias mūsų atvaizdas yra tarp raudonojo poslinkio reikšmių 0,88 ir 2,92. Panašiai, kai W0= 0,4, h0=2,06 – ir tada tarp 1,01 ir 3,83. Šie skaičiai rodo, kad gali būti labai sunku sukonstruoti hiperbolinės visatos topologiją tiesiogiai ieškant bet kokių astronominių objektų „pamėkliškų“ vaizdų. Šį sunkumą sudaro astrofizikinių objektų evoliucija per daug trumpesnį laiko mastelį.

Tačiau laimei mikrobanginis kosmoso spinduliavimas yra potencialiai labai galinga priemonė Visatos topologijos nustatymui. Jei mes gyvename Visatoje, kurioje atstumai iki mūsų artimiausios kopijos yra mažesni nei paskutinio išsibarstymo paviršiaus skersmuo, tada tą pačią padėtį paskutinio išsibarstymo paviršiuje daugelyje mikrobanginio dangaus plano taškuose [7, 8]. Kadangi paskutinio išsibarstymo paviršius yra sfera, jis save kirs palei apskritimus. Tai sukels sutampančių apskritimų poras danguje. Atkreipkime dėmesį, kad tuose apskritimuose temperatūra nėra pastovi, tačiau kiekviename jų yra taškai su sutampančia temperatūra.

Yra keletas veiksnių, dėl kurių šio pėdsako aptikimas yra labai sunkus COBE duomenyse. Jei Visata yra neigiamai išlenkta, tada dauguma didelio masto fliuktuacijų yra ne dėl fizikos veikimo paskutinio išsibarstymo paviršiuje, o dėl potencialių fliuktuacijų palei matymo liniją [5]. Šios fliuktuacijos dažniausiai generuotos kai z<2, paprastai mūsų pagrindinėje srityje. Tad plataus kampo matavimai nėra jautrūs topologijai. Net be šio veiksnio, mums būtinas didesnės skiriamosios gebos dangaus planas su didesniu signalo su triukšmu santykiu, kad aptiktume sutampančius apskritimus. Aukšto signalo su triukšmu lygio derinys su dideliu kiekiu nepriklausomų taškų kiekviename apskritime gerokai sumažina šansus neteisingam nustatymui.

O ar galime aptikti topologiją su MAP palydovo duomenimis? Sutampančių apskritimų porų kiekis lygus fundamentalių celių kiekiui, kurios gali tilpti rutulyje su atitinkamu spinduliu x=2, h0 (paskutinio išsibarstymo paviršiaus spindulį aproksimuojama pagal dalelės horizonto5) spindulį). Apytikslis celių kiekis Nc, reikalingas to hiperbolinio rutulio užpildymui, randamas pagal tūrio santykį:
Celės hiperbolinio rutulio užpildymui
čia Vol(S) yra fundamentalios srities tūris kreivumo vienetais. Visatoje su W0=0,3 šis santykis yra Nc = 25000/S.  Laikant, kad yra begalinis kiekis hiperbolinių trimačių daugdarų su tūriu < 3, mums netrūks modelinių Visatų, kurias galima apžvelgti šiuo metodu. Net jei W0 yra net 0,95, vis dar turėsim begalinį kiekį daugdarų, iš kurių gali susidaryti bent kai kurie sutampantys apskritimai.

Kokio dydžio gali būti tie apskritimai? Imkime begalinė hiperbolinę visatą su mūsų fundamentaliosios srities kopijomis. Galime nubrėžti paskutines išsibarstymo sferas centruotą ne tik apie mus, bet ir mūsų srities kopijas. Apskritimai atsiranda tų sferų susikirtimuose. Kampinis apskritimų spindulys q, yra apibrėžiamas pagal paskutinio išsibarstymo sferos spindulį (~ h0) ir konforminį atstumą atitinkame MAP palydovo vaizde:
MAP konforminis atstumas

Kai W0=0,3, turėsime per 4000/Vol(S) su spinduliais tarp 10o ir 15o. Aukščiausiam dažniui MAP skiriamoji geba yra 0,21o, tad galima išmatuoti per 300 nepriklausomų taškų kiekviename tų apskritimų. Net esant 0,5o gebai, kuriai galima naudoti tris didžiausio dažnio dangaus planus, vis dar yra per 125 nepriklausomus taškus. Atrodo, kad MAP duomenys turi pakankamą signalo su triukšmu santykį ir pakankamą skiriamąją gebą, kad leistų aptikti topologiją su W0=0,3 bet jei fundamentaliosios srities yra kelių 10s kreivumo tūrių.

Kai tik aptiksime tuos apskritimus, Jeff Weeks parodė [9], kad juos galima panaudoti Visatos topologijai nustatyti. Kiekviena apskritimų pora randasi atitinkamose fundamentaliosios celės pusėse; kiekviena apskritimų pora mums duoda fundamentaliosios G grupės elementą. Iš elementų sąrašo galime sukonstruoti grupės generatorius. Dauguma mažo tūrio visatų teturi 2 ar 3 generatorius. Galime tikėtis šimtų ar net tūkstančių apskritimų porų, tad generatorių nustatymas iš elementų yra stipriai perdėtai determinuota problema. Tad stabilaus sprendinio suradimas yra labai stiprus patikrinimas, leisiąs parodyti, kad apskritimai nėra sukelti atsitiktinių įvykių ar instrumentų klaidų. Mostow–Prasad‘o griežtumo teorema6) teigia, kad duota topologija turi fiksuotą tūrį, matuojamą kreivumo vienetais, tad jei žinome topologiją ir kampinį apskritimų dydį, galime nustatyti paskutinio išsibarstymo paviršiaus spindulį kreivumo spindulio vienetais. Tai leidžia nepriklausomą W matavimą, kuris nepriklauso nuo jokių prielaidų apie pirmapradžių fliuktuacijų prigimtį.

Apibrėžus Visatos topologiją, galima rekonstruoti fotonų temperatūrą ir barioninio fotonų srauto greitį per visą fundamentaliąją sritį pagal mikrobanginį spinduliavimą. Mikrobanginio dangaus paviršiaus plotas yra 4psinh2h0. Tad visatai su W0 = 0,3 turime ±400/Vol(S) pjūvių per fundamentaliąją sritį. Tad būdingas atstumas tarp pjūvių tėra tik keli kartu judantys megaparsekai. Būtų galima rekonstruoti ne tik pradinių fliuktuacijų statistines savybes, bet ir jų realią amplitudę bei fazes galaktikų klasterių masteliu. Ir galiausiai, nustatysime, kas paskatino susidaryti Mergelės superspiečių bei kitas panašius mūsų lokalios visatos darinius.

Taigi, jei mums pasiekė gyventi kompaktiškoje hiperbolinėje visatoje, mes galime pažvelgti atgal į mūsų pradžią.
Čia prisiminkime, kad G. Perelmanas irgi sako sužinojęs Visatos topologiją - apie tai žr. >>>>>

Paaiškinimai

1) Geodezinė kreivė (arba linija) - specialaus tipo kreivė, tiesės apibendrinimas iškreivintose erdvėse. Jos išreiškia trumpiausią atstumą tarp dviejų taškų. Konkretus apibrėžimas priklauso nuo erdvės tipo. Plokštumoje – tai tiesės, cilindre – sraigtinės linijos, sferoje – lankai ir t.t.
Geodezinės linijos aktyviai naudojamos reliatyvistinėje fizikoje, pvz., bendrojoje reliatyvumo teorijoje tiriamasis kūnas (dalelė) erdvėlaikyje juda geodezinėmis linijomis.

2) Konforminė geometrija yra matematikos šaka, tirianti kampus išsaugančias erdvės transformacijas. Dvimačiu atveju ji sutampa su Rymano paviršių geometrija. Didesniam matavimų laipsniui, ji gali reikšti arba „plokščių“ erdvių (euklidinių ar sferų) transformacijų (kartais vadinamų Mobiuso geometrija priklausančia Kleino geometrijų tipui), arba konforminių daugdarų (Rymano arba pseudo-Rymano) analizę.

3) Konforminis atstumas yra atstumas tarp galaktikų neatsižvelgiant į mastelį. Įsivaizduokime Visatą kaip guminę šachmatų lentą, kurioje tolimos galaktikos ar jų spiečiai yra šachmatų figūros. Lentos langeliai yra sužymėti (a1-h8). Kadangi lenta guminė, ją galima tampyti paėmus už lentos kraštų. Tas tampymas neįtakoja žaidimo, o tik keičia atstumus tarp figūrų (tai ir yra mastelio veiksnys). Juk žaidimo padėtis šachmatų lentoje apibrėžiama figūrų padėtimi langeliuose (pagal jų žymenis), o ne atstumais lentoje. Figūros lentoje eina ne tam tikrus atstumus, o tarp langelių (pvz., e2-e4). Tai analogija „konforminiui atstumui“, kai figūra paeina per tam tikrą laukelių kiekį (tarkim 2), o ne realų atstumą (tarkim, cm) lentoje.
Panašiai yra Visatoje, kurioje, kai sakoma, kad ji plečiasi, santykiniai atstumai tarp galaktikų išlieka tokie pat (nors fiziškai jie pasikeičia).
Konforminis laikas tėra tiesiog konforminis atstumas padalintas iš c. Šios sąvokos sutinkamos ir kartografijoje.

Konforminė anomalija (mąstelio arba Weylo) – kvantinis reiškinys, kuris pažeidžia klasikinės teorijos konforminę simetriją (t.y. vyksmas yra invariantiškas keičiant metrikos mąstelį – t.y. atliekant Weilo transformaciją). Konforminė anomalija sutinkama juodųjų skylių teorijose, kosmologijoje, stygų teorijoje ir statistinėje mechanikoje.

4) Kosminis laikas - laikas, praėjęs nuo Didžiojo sprogimo. Jei pradiniu tašku paimsim dabarties akimirką, laikas vadinamas „laiku atgal“. Paprastai, mus pasiekianti šviesa nuo tolimų objektų yra išspinduliuota prieš daugelį metų, tad mes juos matome „praeityje“, o tai ir yra „laikas atgal“. Griežtai tariant, „laikas atgal“ dangaus kūnui yra skirtumas tarp Visatos amžiaus (kai priimti fotonai) tL ir te (akimirkos, kai fotonai išspinduliuoti). Jis naudojamas nustatyti tolimų judančių objektų savybes pagal raudonąjį poslinkį.

5) Dalelės horizontas (kosmologinis ar šviesos horizontas) – maksimalus atstumas iš kurio dalelės gali keliauti iki stebėtojo Visatos amžiaus vienetais. Jis nusako ribą tarp stebimos ir nestebimos visatos. Dėl visatos plėtimosi jis nėra visatos amžius padaugintas iš šviesos greičiau (c), o labiau konforminis laikas. Dalelės horizonto egzistavimas, savybės ir svarba priklauso nuo konkretaus kosmologinio modelio.

6) Mostow–Prasad‘o griežtumo teorema - teigia, baigtinio tūrio hiperbolinės daugdaros (>2 matavimo) geometrija apibrėžiama fundamentaliąja grupe ir todėl yra vienintelė.

Nuorodos:

  1. N.J. Cornish, G. W. Gibbons, J. R. Weeks. Hyperbolic baby universes, 1998
  2. N.L. Balazs, A. Voros. Chaos on the Pseudosphere, 1986
  3. M. Gutzwiller. Quantum Chaos// Sci.Am., October 27, 2008
  4. N.J. Cornish, D.N. Spergel, G.D. Starkman. Does Chaotic Mixing Facilitate Omega Inflation? Phys Rev Lett., 1996 Jul 8; 77(2)
  5. M. Kamionkowski, D.N. Spergel// Ap J., 1994, 432:7–16.
  6. J.R. Gott III. Monogr. Ant. R. Astronom. Soc., 1980, 193:153–169
  7. N.J. Cornish, D.N. Spergel, G.D. Starkman// Phys. Rev. Lett., 1996, 77:215–218
  8. N.J. Cornish, D.N. Spergel, G.D. Starkman, 1996
  9. J.R. Weeks. The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three Dimensional Manifolds, 1985
  10. R. Lehoucq, M. Lachieze-Rey, J.P. Luminet// A & A, 1996, 313:339–346
  11. B.F. Roukema, A. C. Edge// Monogr. Nat. R. Astonom. Soc., 1997

Erdvės formos
Visatos modeliai
Visatos mechanika
Paslėpti erdvės matavimai
Riči srautas ir tenzorius
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Iniciatyva: Matematikos keliu
Abelio premija 2012-ais - vengrui
Ar visad tai tik paramokslinės idėjos?
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Greičiais C besiplečiančios–besitraukiančios erdvės B
Erdvės B tyrimas remiantis Puankarė modeliu ir kai kurios išvados
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Nepaprastai suderinta Visatos sandara
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Pagrindinės algebrinės struktūros
Specialioji reliatyvumo teorija
Pasikėsinimas į multivisatas
Matematikai: Anri Puankarė
Ar įrodytas abc teiginys?
Smeilo paradoksas
Topologija
Matroidai
Vartiklis
NSO.LT