Riči srautas/ tenzorius. Vartiklis

Riči srautas, pavadintas italo Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) vardu, yra diferencialinių lygčių su dalinėmis išvestinėmis sistema, netiesinis šilumos laidumo lygties analogas, aprašantis Rymano metrikos deformaciją daugdaroje.

kur g_t yra Rymano metrika pilnoje daugdaroje (priklausanti nuo realiojo kintamojo t), o Ric_gt - Riči tenzorius.

Analogiškai šilumos laidumo lygčiai, pateikus pradines reikšmes kai t=0, sprendinius galima gauti tik į vieną pusę nuo t (t.y., kai t >= 0). Bet skirtingai nuo šilumos laidumo lygčių sprendinių, Riči srautas nesrūva amžinai, kai t artėja į begalybę. Sprendinys tęsiasi maksimaliame [0, T] intervale, kuriame, artėjant prie T, susiformuoja singuliarumas. Būtent šių singuliarumų, į kuriuos atsiremia Riči srauto sprendiniai, tyrinėjimais ir rėmėsi Thrurston‘o hipotezės įrodymas.

Formaliai, Riči srauto lygčių sistema R nėra paraboline lygtimi, tačiau egzistuoja parabolinė lygčių sistema R‘ tokia, kad (M, g_t) izometrinė (M, g_t‘) visiems t, kur g₀ yra Rymano metrika kompaktinėje daugdaroje M , o g_t ir g_t‘ yra R ir R‘ sprendiniai.

Riči tenzorius yra vienas iš daugdaros kreivumo matavimo būdų, t.y. nustatant, kiek daugdaros geometrija skiriasi nuo plokščios Euklido erdvės. Jis, kaip ir metrikos tenzorius, yra simetrinė bitiesinė forma Rymano daugdaros liečiamojoje erdvėje. Taigi, Riči tenzorius tarsi matuoja tūrio deformaciją, t.y. n-matės daugdaros n-mačių sričių skirtumo laipsnį nuo analogiškų Euklido erdvės sričių.

Riči tenzorius plačiai taikomas Rymano geometrijos srityje. Riči tenzorius yra Riči srauto lygties dalis. Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos lygtyse Riči tenzorius yra pagrindinė komponentė. Jei Riči vektorius tenkina Einšteino lygtį vakuume, tada daugdara yra Einšteino daugdara, kuri buvo intensyviai tyrinėta. Taip yra tada ir tik tada, kai Riči tenzorius yra metrikos tenzoriaus g pastovus kartotinis.

Formaliai Riči tenzorius apibrėžiamas taip:
Tegu (M, g) - n-matė Rymano daugdara, o T_pM - M taške p liečiančioji erdvė. Kiekvienai liečiamųjų vektorių porai taške p

Riči tenzorius

atvaizduoja

į pėdsaką tiesinio automorfizmo T_pM-> T_pM, apibrėžtą Rymano kreivumo tenzoriumi R:

Jei daugdaroje įvestos lokalios koordinatės, tai Riči tenzorių galima išskaidyti į komponentes:

Bet kurio Rymano daugdaros (M, g) taško p aplinkoje galima įvesti specifines lokalias, vadinamąsias normalines geodezines, koordinates, kuriose iš taško p išvestos geodezinės linijos sutampa su tiesėmis, einančiomis per koordinačių pradžią. Be to, taške p metrikos tenzorius yra lygus Euklido erdvės metrikai

(arba Minkovskio metrikai

pseudo-Rymano daugdaros atveju). Šiose specifinėse koordinatėse tūrio forma išsiskaido į Teiloro eilutę aplink tašką p:

Taigi, jei Riči tenzorius

teigiamas

vektoriaus kryptimi, tai siauras geodezinių linijų, išeinančių iš taško p

kryptimi, kūgis turės mažesnį tūrį, nei toks pat kūgis Euklido erdvėje. Ir atvirkščiai, jei Riči tenzorius neigiamas, tai tūrių santykis atvirkščias.

Iš Bianchi tapatybių seka, kad Riči tenzorius yra simetrinis, t.y.

. Todėl

Riči tenzorius pilnai apibrėžiamas žinant reikšmę vienetinio ilgio

vektoriams.

Riči tenzorius apibrėžtas Rymano daugdaros pjūvių tenzoriais, tačiau, bendru atveju, turi mažiau informacijos. Jei

yra vienetinio ilgio vektorius Rymano n-matėje daugdaroje, tada

reikšmė yra lygi pjūvių tenzorių vidurkio (iš visų dvimačių plokštumų, į kurias įeina

) (n-1) kartui. Tokių dvimačių plokštumų erdvė yra (n-2)-matė, tad tik 2 ir 3 matavimai leidžia Riči tenzoriui apibrėžti pilną kreivumo tenzorių. Ypatinga išimtis yra tada, kai daugdara yra Euklido erdvės hiperpaviršius.

Paprastai laikoma, kad Riči tenzorius yra metrikos tenzoriaus Laplaso kartotinis. Atskiru atveju, kai xⁱ yra harmoninės lokaliosios koordinatės,

kur

yra Laplace-Beltrami operatorius, lankant, kad čia veikia su g_ij funkcijomis. Šis faktas skatina, pvz., laikyti Riči srauto lygtį šilumos sklidimo lygties metrikoje išplėtimu.

Parabolinė diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis

Tai atskiras antros eilės diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis (DLDI) tipas, aprašantis platų nestacionarių uždavinių ratą – šilumos sklidimą, garso sklidimą skystyje ir akcijų kurso kainų dėsningumus (vienas pavyzdžių – Riči srauto lygtis). Tie uždaviniai, dar vadinami evoliuciniais, aprašo fizikines ar matematines sistemas, turinčias laiko kintamąjį.

Diferencialinė lygtis dalinėmis išvestinėmis su realių reikšmių funkcija u(x,y)
Au_xx + Bu_xy + Cu_yy + Du_x + F = 0
Yra parabolinė, jei jos koeficentai tenkina sąlygą
B² - AC = 0

Šis apibrėžimas yra analogiškas parabolės plokštumoje apibrėžimui.

Paprastu parabolinės DLDI pavyzdžiu yra vienmatė šilumos sklidimo lygtis:
U_t = ku_xx
kur u(t, x) yra temperatūra laiko momentu t taške x, o k yra konstanta. U_t reiškia išvestinę pagal t, o u_xx yra antro laipsnio išvestinė pagal x. Grubiai tariant, ši lygtis nurodo, kad temperatūra laiko momentu t taške x kils ar kris proporcingai skirtumui tarp temperatūros tame taške ir vidutinei temperatūrai greta to taško. u_xx nurodo, kaip smarkiai yra nutolusi temperatūra nuo harmoninių funkcijų vidurkio.

Ieškant parabolinės DLDI sprendinių lygtis nagrinėjama kartu su pradinėmis ir kraštinėmis sąlygomis ir tam gali būti panaudoti operatorių pusgrupių teorijos metodai. Parabolinėms DLDI gali egzistuoti sprendiniai tam tikrame laiko intervale, tačiau gali staiga šoktelėti į singuliarumą baigtinio laiko momentu. Iš čia kyla sunkumai ieškant sprendinių visam laikui.

Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) – italų matematikas, tenzorinio skaičiavimo pradininkas.

Gimė 1853 m. sausio 12 d. Lugo di Romagna, Italijos Ravenos provincijoje, garsios giminės inžinieriaus šeimoje. Gregorio, kaip ir jo brolis, nelankė mokyklos ir gerą prieš-universitetinį išsilavinimą gavo namuose. 1869 m., būdamas 16 m., įstojo į Romos un-tą, ketindamas studijuoti matematiką ir filosofiją. Tačiau politiniai Gregorio Ricci-Curbastro

įvykiai buvo nepalankūs, Roma buvo ne Italijos, o Popiežiaus valda. Italų kariai užpuolė Romą 1867 m., tačiau Prancūziją ją apgynė. Tačiau 1870 m. italai vis tik užėmė Romą, kuri tapo Italijos sostine. Gregorio studijose praleido vienerius metus ir grįžo į tėvų. Po 2 m. jis stojo į Bolonijos un-tą, kur studijavo 1872-73 m., o tada persikėlė į Pizą, kur Betti vadovaujama „Scuola Normale Superiore“ tapo pirmaujančiu italų matematikos centru. 1875 m. gavo daktaro laipsnį už disertaciją „Apie Fuchs‘o tyrinėjimus tiesinių diferencialinių lygčių srityje“. Pasiliko Pizoje rašydamas straipsnį „Apie Rymano uždavinio apie hipergeometrines funkcijas apibendrinimą“. Taigi, pirmieji Riči darbai rėmėsi vokiečių matematikais, tačiau vėlesnieji jau buvo pagrįsti italų matematikų idėjomis. Jis parašė apie Maksvelo ir R. Klauzijaus darbus elektrodinamikos teorijoje, o taip pat apie Lagranžo uždavinį tiesinių diferencialinių lygčių sistemose (1877).

Gavo paramą, leidusią metus praleisti Vokietijoje, Miunchene, kur klausė F. Kleino ir A. von Brill‘io paskaitų. 1879 m. grįžęs į Pizą, tapo U. Dini asistentu. Vėliau, nuo 1880 m. iki mirties buvo matematinės fizikos profesoriumi Padujos un-te. Buvo daugelio mokslo institucijų garbės nariu. 1884 m. vedė ir susilaukė trijų vaikų. Mirė 1925 d. rugpjūčio 6 d.

Riči veikla neapsiribojo vien matematika. Jis buvo gimtojo Lugo miesto municipaliteto nariu ir dalyvavo daugelyje projektų, susijusių su vandens tiekimu ir pelkių melioracija. Vėliau buvo Padujos miesto tarybos nariu, kur užsiėmė mokyklomis ir finansais. Netgi buvo pasiūlytas Padujos mero postas, tačiau jis atsisakė.

Ankstyvoji veikla buvo matematinės fizikos srityje, tačiau vėliau ėmėsi diferencialinės geometrijos ir 1884-94 m. įvedė absoliutų diferencialinį (tenzorinį) skaičiavimą. Pradinį indėlį šioje srityje padarė K. Gausas, o idėjas išplėtojo Rymanas (1854 ir 1861 m.), tačiau Riči didžiausią įtaką padarė E. Christofelio straipsnis “Crelle” žurnale (1868). Pirmoji Riči publikacija iš šios srities pasirodė 1888 m., o vėliau iki 1992 m. plėtota dar 4-iuose straipsniuose. Po 1990 m. daug nuveikta kartu su studentu T. Levi-Civita, 1990 m. kovą paskelbus bendrą fundamentalų 77 psl. apimties straipsnį „Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications“. Jame klasifikuojamos kvadratinės diferencialų formos, įtraukiama paviršių teorija, Lagranžo lygčių sprendimai ir kiti matematiniai pritaikymai. Riči absoliutus diferencialinis skaičiavimas tapo tenzorinės analizės pagrindu ir buvo A. Einšteino panaudotas bendrojoje reliatyvumo teorijoje.