Paslėpti matavimai  

Kad geometrija yra svarbi fizikai neturėtų būti siurprizu - bent jau vien dėl to, kad erdvė yra toji arena, kurioje veikia fizika. Tačiau siurprizu yra tai, kaip smarkiai geometrija įtakoja fiziką ir kiek egzotiška gali būti mūsų Visatos geometrinė struktūra.

Pirmuoju prisilietusiu prie fizikos ir geometrijos sąryšių buvo Šing-Tung Yau1). Jis knygoje „Vidinės erdvės forma“ (2010, kartu su S. Nadis) aprašo, kaip jo atrastos keistos geometrinės erdvės pasirodė esą būtent tomis, kurių reikia teoriniams fizikams bandantiems sukurti visuotinę teoriją.

Kreivumas ir gravitacija

Pirmąja užuomina, kad erdvė nėra tik vieta fizikai buvo 1915 m. A. Einšteino bendroji reliatyvumo teorija (BRT), naudojanti 4-matį erdvėlaikį. Revoliucine įžvalga buvo tai, kad gravitacija nėra kažkokia nematoma erdvėlaikiu sklindanti jėga, o kad masyvūs kūnai iškraipo patį erdvėlaikį. Einšteino idėja apjungti erdvę, laiką, materiją ir gravitaciją buvo visiškai nauja. Bet nebuvo nauja matematika, kurią Einšteinas naudojo erdvėlaikio kreivumui apibrėžti. !9 a. K. Gausas ir jo puikusis mokinys B. Rymanas nurodė būdus objekto kreivumo matavimui „iš vidaus“ – jiems daugiau nereikėjo naudoti platesnę erdvę, kurioje tas objektas „sėdi“. Būtent to ir reikėjo Einšteinui. Ir tai buvo stimulas studijuoti geometriją...

Gravitacija vakuume

Kai Yau susipažino su BRT, jis pamatė, kad ji kelia įdomų teorinį klausimą: ar įmanomas erdvėlaikis be materijos, t.y. vakuumas, kuriame tebėra gravitacija. Mat Visata, kurioje gyvename, nėra vienintelis Einšteino lauko lygčių sprendinys. Pvz., yra įmanomas erdvėlaikis be materijos ir be gravitacijos, kuriame aplamai niekas nevyksta. Tad galima klausti, ar tuščias erdvėlaikis tebeturi kokį nors kreivumą, taigi ir gravitaciją tuo pačiu.

Vėliau Yau sužinojo, kad geometrinę šio klausimo versiją 6-me dešimtm. pateikė Eugenio Calabi2). Calabi domėjosi ryšiu tarp objekto geometrijos (dydis, kampai ir pan.) ir jo topologijos. Topologijai visai nerūpi tikslūs matavimai ir ji rūpinasi tik bendrais formos klausimais. Duotosios topologijos objektas gali būti transformuotas į daugelį skirtingų geometrinių pavidalų – sfera – tuščiavidurę piramidę, kubą ir kt. Calabi klausė: ar pavidalas su tam tikru topologijos tipu gali apibūdinti tam tikrą geometrijos tipą. Ir jei „taip“, tada gautasis objektas gali būti interpretuojamas (BRT prasme) kaip vakuumas, turintis gravitaciją.

Calabi klausimas

Nėra galo įsivaizduojamų topologinių formų įvairovei, tačiau topologai paprastai savo dėmesį apsiriboja tuo, kas vadinama daugdaromis. Tie objektai žiūrimi „iš arčiau“
Balnas
Balnu vaikštinėjanti skruzdėlė jaus skirtingus kreivumus priklausomai nuo jos kelio
atrodo tarsi įprastinė „plokščia“ erdvė (vadinamoji euklidinė erdvė). Sferos ir torai atrodo tarsi plokščios 2D plokštumos. Jei esate labai maži, tai nepastebėsite nei jų kreivumo, nei kad kažkuri jų turi skylę (kaip kad įprastiniame gyvenime nepastebime, kad Žemė apvali). Nesunkiai galite sferos žeėlapį nubrėžti plokščiame popieriaus lape. Tad abu tie tipai yra 2D daugdaros dar vadinamos paviršiais.

Kita bendra sferų ir torų savybė yra tai, kad jos yra kompaktiškos: jums pakaks baigtinio 2D žemėlapių jiems padengti. Tai reiškia, kad jos yra baigtinės savo apimtimi – visada galima rasti „dėžę”, į kurią jas galima sutalpinti – kad ir kokios didelės dėžės prireiktų.

Tačiau daugdaros nėra vien dvimatės. Jos yra ir trimatės, kai (žiūrint „iš arčiau“) atrodo tarsi įprastinės 3D euklidinės erdvės, o taip pat bet kurių kitų matavimų. Calabi norėjo sužinoti, kokio tipo geometriją užtikrina pasirinkta kompaktinė daugdara – atskiru atveju jį domino kreivumas. Kai tik topologinei daugdarai (tarkim, sferai) suteikiame tam tikrą geometrinę struktūrą (tarkim, suspausto futbolo kamuolio), galime išmatuoti kreivumą kiekviename jos taške. Tai nėra tiesmukiškai: balnu ropojanti skruzdėlė jaus kylantį išlinkimą, kai ropos aukštyn link balno išlinkimo, ir žemėjantį, kai ropos žemyn balno šonu. Tokioje daugdaroje galima kreivumą susieti su įvairiomis vienmatėmis kreivėmis einančiomis per duotą tašką.

Panašiai, 3D daugdarose galima kreivumo sąvoką susieti su tam tikrais 2D paviršiais. Paėmę visų tų 2D paviršių kreivumų vidurkį gausime Riči kreivumą tame taške. Kadangi tai vidurkis, tai reiškia, kad daugdara gali turėti nulinį kreivumą (kitaip - turinti nulinį Rymano kreivumą) net nebūdama plokščia. O fizikine prasme, Riči kreivumas nusako erdvėlaikio kreivumą atsižvelgiant, kad jame yra materija. Taigi, erdvė su nuliniu Riči kreivumu atitinka erdvę, kurioje nėra materijos - kitaip sakant, vakuumą.

Tačiau Calabi Riči kreivumu domėjosi dėl grynai geometrinių reikmių. 5-me dešimtm. Šing-šen Černas parodė, kad daugdara su nuliniu Riči kreivumu kiekviename taške gali turėti tik tam tikrą topologiją. Dvimatėje topologijoje tai atitinka toro topologiją. Tačiau aukštesniuose matavimuose tokią topologiją sunkiau apibūdinti. Sakoma, kad tokios daugdaros turi nykstančios pirmosios Černo klasės topologiją.

Calabi Černo klausimą apvertė „aukštyn kojomis“: jei turime kompaktinę daugdarą su nykstančia pirmosios Černo klasės topologija, ar ją galima transformuoti į geometrinį pavidalą, kiekviename taške turintį nulinį Riči kreivumą. Kitais žodžiais, ar tam tikro tipo topologija garantuoja, kad įmanoma tam tikro geometrija. Tačiau Calabi dėmesį sutelkė tik vadinamosios Kahlerio daugdaroms3). Su jomis lengviau dirbti, nes jos nuo euklidinės erdvės nuklysta ribotu būdu. Jos dar vadinamos kompleksinėmis daugdaromis: jos išlaiko kampus ir daugdaros perteikia tam tikrą lokalią simetriją. Taip jos vadinamos todėl, kad primena kompleksinę erdvę (kuri dvimačiu atveju yra kompleksinių skaičių plokštuma). Su jomis įmanomi sudėtingi matematiniai apdorojimai, o taip pat galima joms suteikti tam tikrą simetrijos rūšį.

Yau atsakymas

Yau pradėjo tai nagrinėti 8-o dešimtm. pradžioje iš geometrinės pusės, turėdamas omenyje ir fizikinius aspektus (uždara visata be materijos, tačiau su gravitacija – ką nulemia iš jos topologijos kylantis kreivumas). Ir pradžioje Yau manė, kad atsakymas į Calabi klausimą yra NE, nes atrodė, kad vien topologija negali nulemti tokio ypatingo geometrijos tipo. Jis tai bandė įrodyti kelis metus, bet
Balnas
Dvimatis 6D Calabi-Yau daugdaros pjūvis
nesėkmingai. Ir tada 1971 m. Yau pagaliau įrodė, kad atsakymas yra TAIP – t.y., kad kiekviena kompaktinė Kahlerio daugdara su nykstančia pirmąja Černo klase gali įgauti geometriją su nuliniu Riči kreivumu. Tokios daugdaros egzistuoja visuose matavimuose ir pavadintos Calabi-Yau daugdaromis

Paslėptieji matavimai

1982 m. Yau už Calabi teiginio įrodymą gavo Fieldso medalį. Tačiau tada jsi dar nežinojo, kad fizikams reikia būtent Calabi-Yau daugdarų. Jis prisimena, kad vieną 1984 m. dieną su žmona buvo prie vandenyno San Diege, kai jam paskambino A. Strominger’is su G. Horowitz’iu, kurie buvo susijaudinę, nes stygų teoretikams reikėjo žinoti, ar egzistuoja Calabi-Yau daugdaros.
Jų modelyje smulkiausios materijos ir energijos dalelės yra ne taškinės dalelytės, o mažytės stygos, kurios gali vibruoti, o skirtingos vibracijos atitinka stebimas el.daleles bei fizikines jėgas. Bet tada gauname 10-ies matavimų modelį. Bet kodėl tada mes suvokiame tik 4-is matavimus: 3 erdvės ir 1 laiko?

Stygų teorija aiškina, kad tie papildomi matavimai yra standžiai „susukti“ į tokias mažytes erdves, kurių mes nepajėgiam pajusti. Jos mažesnės už 10-30 cm. Calabi-Yau daugdaros jai patrauklios dėl savo kompaktiškumo, o taip pat dėl to, kad jos turi nulinę Riči kreivumą bei leidžia turėti specialią simetrijos atmainą, supersimetriškumą, kas aktualu erdvėlaikio geometrijai.

Stygų ateitis

Taigi 1984 m. stygų teorija gavo orientyrą, tačiau tuo istorija nesibaigė. 1986 m. paaiškėjo, kad jau reikia kiek patobulintos Calabi-Yau daugdaros versijos, kurioje Riči kreivumas būtų ne nulinis, o tiesiog labai arti nulio. Dar daugiau, yra kelios skirtingos stygų teorijai tinkančios 6D Calabi-Yau daugdaros, tačiau deja nė viena jų nebuvo „tinkama“. Tačiau , kai buvo atrasta, kad skirtingų Calabi-Yau daugdarų poros gali „įforminti“ teorinę Visatą su ta pačia fizika. Tai atvedė prie naujos simetrijos sampratos, vadinamosios veidrodinės simetrijos (tiesa, gana sudėtingos). Jos tiksli fizikinė prasmė vis dar nežinoma, tačiau duoda visiškai naują Calabi-Yau daugdarų supratimą. O kartu ir daug matematinių pasekmių, pvz., susijusi su kreivių kiekio paskaičiavimu tam tikrose geometrinėse erdvėse.

Stygų teorija vis dar toli gražu neužbaigta. Ji dar neapibrėžia daugelio fizikinių dydžių ir nebuvo patikrinta laboratorijoje. Net jei ji pasirodys neteisinga, ji liks kaip prisidėjusi prie to, kad susijungė tarytum visiškai skirtingos matematikos sritys.


Papildomi komentarai

1) Šing-Tung Yau (Shing-Tung Yau, g. 1949 m.) – iš Honkongo kilęs amerikiečių matematikas, Fieldso medalio laureatas (1982). Pagrindinė darbų sritys yra topologija ir diferencialinė geometrija, ypač geometrinė analizė. Jo darbai turėjo įtaką fizikai ir matematikai, nes jis buvo aktyvus geometrinės ir teorinės fizikos sąveikoje.
Svarbi Yau pedagoginė veikla bei matematikos vystymas Kinijoje ir kinų tarpe užsienyje. Tiesa, tai turi ir neigiamą atspalvį nepagrįstai iškeliant mokinių nuopelnus įrodant Puankarė teiginį nuvertinant G. Perelmano indėlį.

2) Eudženijus Kalabis (Eugenio Calabi, g. 1923 m.) – italų kilmės amerikiečių matematikas, specializavęsis diferencialinėje geometrijoje, dif. lygtyse dalinėmis išvestinėmis bei jų taikyme. Jo darbas su Calabi teiginiu Kahlerio metrikoms (apie tam tikrų „malonių“ Rymano metrikų egzistavimą sudėtingose daugdarose) atvedė prie Calabi-Yau daugdarų teorijos išsivystymo.

3) Kahlerio daugdara - daugdara su trimis tarpusavyje suderinamomis struktūromis: kompleksinę daugdarą, Rymano metriką ir simpleksinę formą. Pavadinta vokiečių matematiko E. Kahleri garbei, ją įvedusią 1933 m. Jos dėka įrodyta algebrinės geometrijos Hodge teorija.

Topologija
Erdvės formos
Laiko fenomenas
Torsioniniai laukai
Lygiagrečios visatos
Gyvenimas po mirties
Nekritinė stygų teorija
Antigravitacijos paieškos
Kvantinio pasaulio katinai
Juodųjų skylių paradoksai
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Specialioji reliatyvumo teorija
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Šiuolaikinė fizika – į tiesą panašus mitas?
Labai prasta balerina ir šuolis laike?
Visatos topologija: pradžiamokslis
Kokia yra Visata? Sukasi?
Kaip sukurti laiko mašiną?
Vieningo lauko teorija
Tenzoriaus samprata
Visatos modeliai
Vartiklis
NSO.lt