Gausas – iškirstas langas į 19 a. Vartiklis

Nuo Babilono laikų astronomija buvo įkvepiančia matematinių atvėrimų jėga. Tačiau Prancūzijos revoliucijos įkvėpta naujoji karta, suklestėjus kartu ir gamtos mokslams, ėmė tai keisti. Prancūzijoje naujas impulsas buvo duotas tik dalinai, tačiau, kaip dažnai būna civilizacijos istorijoje, vystymasis vyko ir politinių bei ekonominių centrų periferijoje, šiuo atveju tai buvo Getingenas¹⁾, kur darbavosi K. Gausas. Gauso vaidmenį matematikoje galima palyginti su Hėgelio – filosofijoje, Bethoveno – muzikoje, Gėtės – literatūroje.

19 a. jau nerandame matematikų karalių rūmuose ir aristokratų salonuose. Priklausyti mokslų akademijoms jiems neleidžia jų darbas – paprastai jie dirba universitetuose ar technikos mokyklose. Jų, kaip auklėtojų ir jaunimo egzaminuotojų, vaidmuo išauga. Ryšių šalies viduje stiprėjimas trauko ankstesnių amžių internacionalizmą – ir lotynų kalbą pamažu keičia vietinės kalbos. Matematikai pradeda dirbti atskirose srityse ir tik Leibnicą, Oilerį, d‘Alamberą dar galima vadinti „matematikais“ (plačiąja prasme, arba „geometrais“, kaip juos vadino 18 a.): Koši – matematinės analizės meistras, Keli – algebristas, Šteineris⁶⁾ – „grynas“ geometras. Kantoras – aibių teorijos sukūrėjas... Tik didžiausias genialumas leido įveikti specializaciją – ir 19 a. matematikams didžiausią poveikį padarė Gauso, Rymano, Kleino, Puankarė darbai.

Ir būtent 18-19 a. sankirtoje iškyla didinga Karlo Gauso figūra. Gimęs 1777 m. Braunšveige (Vokietija) neturtingo akmenskaldžio šeimoje. Jo motina netgi nebuvo raštinga. Į jį dėmesį atkreipė Braunšveigo hercogas ir pasirūpino jo išsilavinimu. 1795-98 m. jis mokėsi Getingene, o kitais metais Helmštedte gavo daktaro laipsnį. Ir tada nuo 1807 m. iki mirties 1855 m. be didelių rūpesčių darbavosi astronominės observatorijos direktoriumi ir profesoriavo gimtajame universitete.

Ir nors daug kur jis turėjo 18 a. antspaudą (platus požiūris, užsiėmimai astronomija, lotynų kalba), tačiau jo darbuose jau pasijaučia naujos epochos vėjas. Kaip ir jo iškilieji amžininkai (Kantas, Getė, Bethovenas, Hėgelis), jis buvo šalia politinių rietenų kitose šalyse, bet savo srityse drąsiai kėlė naujas idėjas.

Gauso dienoraščiai rodo, kad jau 17 m. amžiaus darė nuostabius atradimus. Pvz., 1795 m. jis nepriklausomai nuo Oilerio nustatė kvadratines priklausomybes skaičių teorijoje (kai kurie jo ankstyvieji tyrinėjimai išdėstyti 1799 m. disertacijoje bei įspūdinguose „Aritmetiniuose tyrinėjimuose”, 1801 m.). Disertacijoje pateiktas griežtas vadinamosios „pagrindinės algebros teoremos“ (kiekviena algebrinė lygtis su realiais koeficientais turi bent vieną šaknį; taigi tiek šaknų, koks jos laipsnis). Šios teoremos ištakos siekia Alberą Žirarą⁴⁾, Stevino darbų leidėją (1692); ją dar 1746 m. įrodyti bandė d’Alamberas... pačiam Gausui ši teorema patiko ir vėliau jis pateikė dar du jos įrodymus, o 1846 m. grįžo prie savo pirmojo įrodymo. 3-me įrodyme naudojami kompleksiniai integralai, kas rodo, kaip anksti Gausas įvaldė kompleksinių skaičių teoriją.

„Aritmetiniuose tyrinėjimuose” surinkti pirmtakų pasiekimai skaičių teorijoje, kuri kartu ir praturtinta. Tad knygą galime laikyti šiuolaikinės skaičių teorijos pradžia. Joje pagrindinis dėmesys skiriamas kvadratinių formų, antro laipsnio skirtumų ir palyginimų teorijai. Didžiausiu pasiekimu yra „theorema aurum“ (auksinė teorema), kurios pirmąjį įrodymą pateikė Gausas – vėliau davęs dar 5 jos įrodymus (o dar vienas rastas po jo mirties). „Aritmetiniuose tyrinėjimuose” pateikiami ir Gauso rezultatai apie apskritimo dalijimą (kitais žodžiais, xⁿ=1 sprendimą). Ir gauta nuostabi teorema, kad skriestuvo ir liniuotės pagalba galima nubrėžti taisyklingą 17-kampainį (o apibendrinant, taisyklingą n-briaunainį, kai n=2^p+1 ir n – pirminis skaičius, p=2^k, o k=1, 2, 3, ...).
Jau Dekarto daugelis žymenų buvo artimi šiuolaikiniams, besiskyrę nuo mūsų tik tuo, kad vietoje a² rašė aa, - ką dar sutinkame ir pas Gausą.

Astronomija Gausas susidomėjo po to, kai 1801 m. sausio 1 d. italas Pjacis pastebėjo mažąją Cereros planetą. Jam kilo problema jos orbitos paskaičiavimui, kurią išsprendė Gausas, gavęs 8-o laipsnio lygtį (daugiau apie tai žr. >>>>>). 1802 m. atradus antrąjį asteroidą, Paladę, Gausas susidomėjo ilgalaikių poveikių jiems klausimu atvedusio prie „Dangaus kūnų judėjimo teorijos“ (1809), elipsoidų ištęstumo (1813), mechaninių kvadratūrų (1814) ir ilgalaikių poveikių (1818) tyrinėjimų.

1812 m. pasirodė straipsnis apie hipergeometrines eilutes, leidęs vienu kampu pažiūrėti į didelį funkcijų kiekį. Tai buvo pirmasis sistemingas eilučių konvergavimo nagrinėjimas. Nors tebedirbo ir su bikvadratiniais skirtumais (1825, 1831), tik dabar ėmęs naudoti kompleksinių skaičių teoriją. 1831 m. darbe pasirodo ir kompleksinių skaičių aritmetika bei naujoji pirminių skaičių teorija, paaiškinusi daugelį aritmetikos neaiškių vietų. Ir Gausas visiems laikams demistifikavo kompleksinių skaičių paslaptingumą, įvedęs jų atvaizdavimą taškais plokštumoje.

Gausas ir Vėberis (iš atviruko)

[ Pastaba: Jau Oileris ir kt. po 1760 m. naudojosi panašiomis priemonėmis, kai naudojo kompleksinius skaičius. Pilnai išvystytą geometrinę interpretaciją iki Gauso pateikė K. Veselis (1799) ir Ž. Arganas (1806). ]

Po 1820 m. Gausas rimtai susidomi geodezija – ir teoriškai, ir apie trianguliaciją. Rezultatu tapo mažiausių kvadratų metodo išdėstymas (1821, 1823), jau tyrinėtas Laplaso ir Lagranžo (1806). Tačiau tikriausiai svarbiausiu Gauso to laikotarpio pasiekimu yra paviršių teorija („Bendrieji kreivų paviršių tyrinėjimai“, 1827), kur jo metodas skyrėsi nuo Monžo metodo. Čia vėl buvo geodezijos praktiniai klausimai sujungti su teorija. Pasirodo „vidinė paviršiaus geometrija“, o kreivinės koordinatės naudojamos tiesinių dselementų išreiškimui kvadratine diferencialine forma:
ds²=Edu²+Fdudv+Gdv² Ir čia randame „theorema egregium“ (nuostabiąją teoremą), kad paviršiaus kreivumas tik nuo E, F, G bei jų išvestinių.

Statula Getingene vaizduoja Gausą ir fiziką V. Vėberį²⁾ kuriančius elektrinį telegrafą. Tai susiję su 1833-34 m., kai Gausas susidomi fizika ir atlieka didelę eksperimentinę Žemės magnetizmo analizę. Bet randa laiko ir svarbiems teoriniams darbams, išdėstytiems „Bendrosiose teoremose apie jėgas atvirkščiai proporcingas atstumo kvadratui“ (1839). Tai praktiškai pradėjo naują matematikos šaką naudojant integralus tūriui, kartu įvedant minimumo apribojimus, kuriuose galima atpažinti „Dirichlė principą“ (Dž. Grino³⁾ 1828 m. darbas tuo metu praktiškai buvo nežinomas). Minimumo būtinumas Gausui buvo akivaizdus, tačiau vėliau tai sukėlė diskusijas, kurias užbaigė tik D. Hilbertas.

Gauso veikla nenusilpo iki pat jo mirties, tačiau vis daugiau dėmesio skyrė taikomajai matematikai. Jo minčių gilumą dar labiau atskleidė išleisti laiškai ir dienoraščiai – kad jau 1800 m. atrado elipsines funkcijas (jis savo pastabose pažymėjo, kad elipsiniai integralai susiveda į dvejopai periodines funkcijas, tačiau niekur nepaskelbė tų savo samprotavimų), o apie 1816 m. įsisavino neeuklidinę geometriją (kai kuriuose laiškuose kritiškai vertina pastangas įrodyti Euklido postulatą apie lygiagrečias tieses; taip pat laiške Bojaji tėvui rašė, kad negali girti Bojaji⁵⁾, nes tai būtų savigyra, nes tos idėjos jau daugelį metų buvo ir jo mintimis). Tik, matyt, nenorėjo viešai pasisakyti ginčytinais klausimais – jis kalba apie jam gelti ketinančias „vapsvas“ bei „beotiniečių šūksnius“. Jis abejojo ir Kanto doktrinos, kad mūsų erdvė apriorinė ir euklidinė, teisingumu – jam reali erdvės geometrija buvo fizikiniu reiškiniu, kurį reikia atskleisti eksperimentiškai.

Skriestuvu ir liniuote

Pastebėjęs, kaip lengvai brėžimo skriestuvu ir liniuote uždaviniai sprendžiami panaudojant kompleksinius skaičius (iš esmės, sprendžiant kvadratines lygtis, kurių koeficientai yra kvadratinių lygčių šaknys – ir t.t.), Gausas tą idėją perkėlė į geometrinę kalbą, tik jau ne plokštumoje, o n-matinėje vektorinėje erdvėje virš racionalių skaičių lauko. Susidarė tarsi skaitinis debesis, išsiplečiantis dukart sprendžiant eilinę kvadratinę lygtį. Tašką plokštumoje nubrėžti naudojant skriestuvą ir liniuotę galima tik tada, kai „debesis“ ją įtraukia kažkuriame žingsnyje.

O kas, jei tas taškas yra nesuprastinamos kubinės lygties šaknimi? Nieko nesigaus! Kubiniu įtraukimu jį pasiekti galima vienu žingsniu, tačiau kvadratiniais įtraukimais – niekada! Dėl tos priežasties neįmanoma atsitiktinio kampo trisekcija – pagal tris bisektrises ne visada sudaromas trikampis – ir t.t., nepavyksta sudaryti taisyklingo 7-kampio arba 9-kampio; taisyklingas 5-kampis sudaromas, o 25-kampis – ne…

O ar galima nubrėžti kvadratą, plotu lygų duotam skrituliui (skritulio kvadratūros uždavinys)? Į tą antikos laikais graikų iškeltą uždavinį Gausas nesugebėjo atsakyti, nes nežinojo ar p yra kokios nors kvadratinės lygties šaknimi... Tik 1882 m. F. Lindemanas (1852-1939) nustatė, kad p yra transcendentalus.

Pastabos: 1818 m. Gausas parašė vienam iš draugų, kad mano, kad Euklido 5-sis postulatas neįrodomas ir nepaneigiamas. Tad galima tiek jį priimti, tiek atmesti...
Beje, Gausas gerai vertino Oilerį: „[jo] darbų studijavimas lieka geriausia mokykla įvairiose matematikos srityse; ir niekas kita negali tai pakeisti“.

¹⁾ Getingenas – universitetinis miestas Žemutinėje Saksonijoje (vidurio Vokietija), prie Leinės upės, apie 100 km į pietus nuo Hanoverio.
Gyvenvietė minima 953 m. kaip Gutingi, 1211 m. gavo miesto teises, 14 a. buvo svarbus Hanzos lygos miestas. 1531 m. priėmė reformaciją, 16-17 a. kentėjo nuo religinių karų. Miesto klestėjimas sugrįžo 1737 m., kai Jurgis II čia įkūrė universitetą, tapusiu vienu žymiausių Europoje.

²⁾ Vilhelmas Vėberis (Wilhelm Eduard Weber, 1804-1891) – vokiečių fizikas, kartu su K. Gausu išradęs pirmąjį elektromagnetinį telegrafą, jungiantį universiteto fizikos kabinetą su observatorija. Savo darbais elektrodinamikoje praplėtė A. Ampero pasiekimus.
Didžiausias Veberio nuopelnas yra elektros matavimų vieningos sistemos sukūrimas. Todėl jo vardu pavadintas magnetinio srauto matavimo vienetas (Wb). Jo garbei pavadintas ir krateris nematomoje Mėnulio pusėje.

³⁾ Džordžas Grinas (George Green, 1793-1841) – britų matematinės fizikos atstovas. Svarbiausias jo darbas yra „Matematinės analizės pritaikymas elektros ir magnetizmo teorijoms“ (1828). Didžiausiu jo nuopelnu yra vienos svarbios potencialių funkcijų formulės bei tamprumo teorijos diferencialinių lygčių ypatingo išvedimo metodo sukūrimas. Didžiausia šlovė jį pasiekė po mirties – jo darbai prisidėjo vystant kvantinę mechaniką, elektrodinamiką ir tiriant Superlaidumas
superlaidumą.

⁴⁾ Alberas Žirardas (Albert Girard, 1595-1632) – prancūzų kilmės matematikas, gyvenęs ir dirbęs Nyderlanduose. Užsiiminėjo senovės graikų geometrija, pirmasis pateikė neigiamų šaknų geometrinę interpretaciją. Taip pat pirmąkart suformulavo pagrindinę algebros teoremą: „Visos algebros lygtys turi tiek šaknų, koks yra aukščiausias laipsnis“. Įvedė n-tojo laipsnio šaknies ir „plius-minus“ ženklą (±). Taip pat pirmasis panaudojo trumpinius sin, cos, tan trigonometrinių funkcijų žymėjimui.

⁵⁾ Janošas Bojaji (Janos Bolyai, 1802-1860) – vengrų matematikas, vienas neeuklidinės geometrijos (dabar vadinamos Lobačevskio geometrija) pradininkų. Jo darbą kaip priedą (Appendix) savo darbui 1832 m. paskelbė jo tėvas. Labai nusimena, kai sužino, kad jį aplenkė, sveikata prastėja. Dar bando užsiimti matematika, tačiau užmeta ir ypatingų rezultatų nepasiekia.
Jo garbei pavadinti krateris Mėnulyje ir asteroidas (1441).
J. Bojoja testamente pasižymėjo kuklumu: „Ant mano kapo nereikia jokio paminklo – tik obels, primenančios tris obuolius: du, Ievos ir Pario, pavertusių žemę pragaru, ir Niutono obuolį, vėl iškėlusį Žemę iki dangaus kūnų rato“.

⁶⁾ Jakobas Šteineris (Jakob Steiner, 1796-1863) – šveicarų matematikas, daugiausia darbavęsis geometrijos srityje, 2-o ir aukštesnių laipsnių kreivių ir paviršių sintetinės geometrijos pradininkas. Išvystė erdvės dalijimo plokštumomis klausimą, nagrinėjo maksimumo ir minimumo klausimus, prisidėjo prie kombinatorikos teorijos, kur jo vardu pavadintas mažiausio medžio uždavinys. Jo darbai ir lekcijos išleistos atskiru leidiniu 1867 m.; visus darbus 1881-82 m. išleido K. Vejerštrasas.