Evaristas Galua – matematikos genijus ir revoliucionierius  

„Lietuvos ryte“ buvo išguldytas toks teiginys:
Kai kurie šių [Lietuvos] mokyklų auklėtiniai , „pralenkdami laiką“ gal būt taptų lietuviškaisiais genijais tokiais kaip Evaristas Galua (1811-1832) ar Nylsas Henrikas Abelis³⁾...

Tad pažiūrėkime, kas gi yra tasai genijus, ir pamąstykime patys sau, ar tikrai jie įstengtų pasiekti tokį mokslinio ir politinio įkarščio užtaisą... Juk Galua buvo tikras Prancūzų revoliucijos sūnumi! Ir kartu įtempta to meto Paryžiaus matematinė veikla leido jam sužibti pirmo ryškumo genijumi, kuris, tarsi kometa, švystelėjo ir taip pat netikėtai išėjo.

Evaristas Galua (Evariste Galois, 1811-1832) – prancūzų matematikas, padėjęs pagrindus šiuolaikiniai abstrakčiajai algebrai, radikalus revoliucionierius, žuvęs duelyje būdamas vos 20 m. amžiaus. Pirmasis įvedė matematinį „grupės“ terminą. Nors jo palikimas yra vos 60 psl., H. Weyl‘is jį pavadino „svarbiausia kūryba visoje žmonijos rašto istorijoje“.

E. Galua gimė 1811 m. spalio 25 d. piečiau Paryžiaus esančiame Bourg-la-Reine. Jo tėvas buvo užkietėjęs respublikonas, tapęs miestelio meru, kai Evaristui buvo 4-i, ir tą postą išlaikęs po monarchijos restauracijos iki pat 1829 m.

12-os metų amžiaus (iki tol jo lavinimu rūpinosi motina), 1823 m. spalį Evaristas įstojo į Karališkąjį Louis-le-Grand licėjų, kur stebėjo mokinių protestą prieš vadovybė dėl gandų, kad licėjus bus pertvarkytas į jėzuitų mokyklą. Dėl to iš licėjaus buvo pašalinta per šimtą mokinių. Nepaisant šių peripetijų, Galua sėkmingai mokėsi dvejus metus ir galo pirmąjį savo apdovanojimą iš lotynų kalbos.

Tik nuo 14-os Galua, kai tradiciniai mokslai pabodo, ėmė skaityti rimtus matematinius kūrinius, A.M. Legendre „Geometrijos elementus“, o vėliau Ž. Lagranžo straipsnius (vėliau Galua pastūmėjusius prie grupių teorijos sukūrimo). Tačiau mokyklos mokytojų tai nesužavėjo ir jie jo ambicijas bei originalumą priėmė neigiamai.

1828 m. jis pabandė stoti į Ecole Polytechnique, tuo metu buvusią labiausiai prestižine matematikos institucija Prancūzijoje, tačiau egzamino žodžiu neišlaikė dėl savo sprendimų trumpumo ir sprendimų paaiškinimų nebuvimo. Jis įstojo į Ecole Normale (tada l‘Ecole peparatoire), buvusią žemesnio lygio matematikos atžvilgiu. Vos 17-os, jis „Annales de Gergonne“ paskelbė pirmą savo straipsnį apie grandinines trupmenas¹⁾. Tuo metu ėmė daryti atradimus polinominių lygčių srityje. Jis du straipsnius nusiuntė į Mokslo akademiją. Juos recenzavo garsus matematikas A.L. Koši, tačiau (dėl nežinomų priežasčių) atsisakė juo publikuoti. Vis tik, matyt Koši pajuto Galua darbų svarbą, nes pasiūlė abu straipsnius sujungti į vieną ir pateikti konkursui, spėdamas, kad jis galėtų būti nugalėtoju.

Tuo tarpu, į Galua gimtąjį miestą atvykęs jėzuitų dvasininkas Galua tėvo vardu parašo kelis piktus pamfletus, o tėvas, kad išvengtų gėdos, nematė kitos išeities, kaip savižudybę (1829 m. liepos 28 d.). Vos po poros dienų Evaristas vėl nesėkmingai pabandė įstoti į Ecole Polytechnique. Dėl jo nesėkmės aiškinimai skiriasi. Pagal vieną legendą, Galua palaikė, kad egzaminatoriaus pateikta užduotis yra visiškai neįdomi, ir jis supykęs metė į jį kempinę. Labiau įtikėtini pasakojimai, kad Galua praleisdavo daug nereikalingų detalių ir tuo pačiu glumino nekompetentingą egzaminatorių.

Tad Galua nusprendė laikyti bakalauro egzaminus Ecole Normale ir 1829 m. gruodžio 29 d. gavo laipsnį. Egzaminatorius apie jį pareiškė: „Šis mokinys kartais neaiškiai reiškia mintis, tačiau yra protingas ir rodo aiškų polinkį tyrinėjimams“.

Paklausęs Koši patarimo, Galua parengia naują straipsnį apie polinominių lygčių sprendimą, ir 1830 m. vasarį nusiunčia Akademijos sekretoriui Ž. Furjė, kaip konkursui skirtą darbą. Tačiau, deja, Furjė netrukus miršta, o darbas prarandamas. Konkurso laimėtojais tampa Abelis (po mirties) ir Jakobis, Vis tik Galua tais metais paskelbia tris straipsnius: viename jų išdėstė savo teorijos pagrindus; antras buvo apie polinomo šaknų suradimą; trečias – iš skaičių teorijos, kuriame suformuota baigtinio lauko koncepcija.

1830 m. liepos mėnesį Prancūzijoje įvyksta revoliucija. Nuverčiamas karalius Karlas X, tačiau nepavyksta paskelbti revoliucijos ir viskas baigiasi liberalesnio karaliaus Liuiso Filipo Orleaniečio paskyrimu. Kad Ecole Normale mokiniai nedalyvautų gatvės įvykiuose, direktorius juos užrakina. Prasiveržia Galua revoliucinis įkarštis – jis „Gazette des Ecoles“ nusiunčia direktorių kritikuojantį laišką, už ką išmetamas iš mokyklos (tad, joje prasimokė vos metus). Toliau jis skirsto laiką tarp matematinės ir revoliucinės veiklos.

Galua iškart stoja į Nacionalinės gvardijos Respublikonų artilerijos dalinį, tačiau šis netrukus išformuojamas, baiminantis, kad gali destabilizuoti vyriausybę. 1831 m. gegužės 9-ą jo garbei iškeliamas banketas, kuriame dalyvauja nemažai iškilių žmonių, kurių tarpe buvo ir Aleksandras Diuma. Jo metu Galua pasiūlo tostą karaliaus Liuiso Filipo garbei, virš taurės laikydamas durklą, kas buvo suprasta kaip grasinimas karaliaus gyvybei. Kitą dieną jis suimamas, tačiau tesimas įvyko tik birželio 15 d.

Iškart po Bastilijos paėmimo dienos, Galua buvo protesto eisenos priekyje, apsiginklavęs keliais pistoletais, šautuvu ir durklus. Tad liepos 14 d. jis vėl suimamas ir kalinamas iki 1832 m. balandžio 29 d. Kalėjime vis tebevysto savo matematines idėjas.

Pašalintas iš Ecole Normale, Galua pabando pradėti privačius algebros kursus, kurie susilaukia tam tikro dėmesio. S. Puasonas paprašo jo parengti straipsnį apie lygčių teoriją, kurį Galua pateikia 1831 m. sausio 17 d. Kažkur apie liepos 4 d. Puasonas paskelbia, kad Galua darbas “nesuprantamas”: „jo samprotavimai nėra nei pakankamai aiškūs, nei pakankamai pilni, kad galėtumėm spręsti apie jų tikslumą, todėl nepajėgūs supažindinti su jais šiame pranešime“. Vis tik pabaigoje yra padrąsinanti pastaba: „Siūlytume autoriui paskelbti visą savo darbą, kad galima būtų susidaryti pakankamą nuomonę“. Tačiau ši recenzija, kadangi netrukus Galua buvo pasodintas kalėjimą, pasiekė Galua tik spalio mėn. Ir visai nenuostabu, kad dėl šio charakterio bei aplinkybių, Galua reakcija buvo pikta ir jis nusprendė daugiau neskelbti straipsnių per Akademiją, o pasinaudoti savo draugo A. Ševaljė paslaugomis. Vis tik, Galua neignoravo S. Puasono patarimo, ir ėmė rinkti visus savo užrašus, ir juos skelbti tebebūnant kalėjime.

Galua gyvenimas baigėsi fatališkai. 1832 m. gegužės 30 d. rytą atsitiktinis praeivis aptiko sunkiai į pilvą sužeistą Galua ir nuvežė į ligoninę. Skubiai atvykęs jo jaunesnysis brolis negalėjo sulaikyti ašarų, tačiau Evaristas jį ramino: „Neverk, Alfredai! Man prireiks viso mano vyriškumo mirti dvidešimties“ – bent jau taip tvirtino jo pusbrolis G. Demantė. Kunigo palaugų kategoriškai atsisakė. Mirė kitą dieną, 10 val. ryte.
Kaip paaiškėjo, įvyko neaiškiomis aplinkybėmis įvyko duelis prie Glassier tvenkinių, esančių pietiniame Gentilly priemiestyje. Jo metu jis buvo sužeistas į pilvą ir kitą dieną mirė (palaidotas bendrame kape Montparnaso kapinėse ir tiksli jo kapo vieta nežinoma). Ir nėra aišku, nei dėl ko įvyko ta dvikova, nei kas buvo jo dalyvis. Dėl to yra įvairių spėliojimų, tačiau čia ties jais neapsistosime (galbūt, dvikovos priežasti buvo meilės istorija, nes išvakarėse parašytame „Laiške visiems respublikonams“ užsimenama: „Mirštu dėl paikos koketės. Bjaurus gandas nusineš mano gyvybę“).
1848 m. vienas Paryžiaus laikraščių pranešė, kad Galua laiškas Ševaljė (minimas toloiau) turėjo prierašą lotyniškai: „Baisi audra užklojo akinančią šviesą amžina tamsa“ – žodžiai, dažnai minimi kaip Galua epitafija pačiam sau, tačiau jų tikrumas labai abejotinas.

Įdomiau tai, kad Galua buvo įsitikinęs neišvengiamas savo mirtimi ir naktį prieš dvikovą praleido rašydamas laiškus respublikonams draugams ir tai, kas pavadintina matematiniu testamentu, - garsųjį laišką Augustui Ševaljė, aprašydamas savo idėjas („Analizėje atradau kažką nauja“), prie kurio pridėjo savo tris rankraščius. Laišką užbaigė tokiais žodžiais:
„Tu viešai paprašysi Jakobį ar Gausą duoti išvadą ne apie šių teoremų teisingumą, o jų svarbą. Po šito, aš tikiuosi, atsiras žmonių, kurie palaikys, kad reikia iššifruoti tą galimatėją“.

Pagal plačiai paplitusią legendą, naktį prieš dvikovą, Galua, baisiai skubėdamas išdėstė grupių teoriją, tapusią aukštosios algebros pagrindu. Tačiau iš tikro jis tik suredagao du jau senai parašytus straipsnius ir pateikė savo tyrinėjimų apžvalgą.

Amžininkai nesuprato Galua idėjų. O toji galimatėja („ce gachis“) buvo nei daug, nei mažai, o grupių teorija, kurios idėjas jau buvo užčiuopę Lagranžas ir italas Rufini, bet tik Galua turėjo galutinai suformuotą vaizdą apie ją. A. Ševaljė ir jaunesnysis Galua brolis Alfredas paskutinius Galua darbus nusiuntė Gausui ir Jabobiui, tačiau nesulaukė atsakymo. Jo darbai tik 1843 m. sudomino Liouvillle, kuris juos peržiūrėjo ir paskelbė, kad jie vertingi. Jie, su jo komentarais, buvo paskelbti „Journal de mathematiques pures et appliquees“ 1846 m.

[ Galua nustatė, kad polinominės lygties sprendimas susijęs su polinomo šaknų perstatų grupe, vadinama Galua grupe. Lygtis tik tada išsprendžiama per radikalus, jei įmanoma rasti šios Galua grupės pogrupių seką, kurių kiekvienas būtų normaliuoju savo įpėdiniui su Abelio koeficientu arba jos Galua grupė išsprendžiama. T.y. Galua nurodė invariantinių pogrupių svarbą. Tai pasirodė esąs galingu metodu daugeliui matematikos sričių. Savomis Galua teorijoje natūraliai savo vietą surado ir senos matematinės problemos: kampo trisekcija, kubo tūrio padvigubinimas, trečio laipsnio ir bikvadratinių lygčių sprendimas, kaip ir bet kurio laipsnio algebrinių lygčių sprendimas. ]

spalio-lapkričio numeryje [tuo metu Koši jau buvo pradėjęs publikuoti savo darbus iš grupių teorijos srities].

Didžiausia vertę jame turėjo naujas įrodymas to, kad penkto ir aukštesnio laipsnio lygčių sprendimas negali būti išreikštas per radikalus²⁾ (t.y., bendra formule, kurioje tebūtų aritmetiniai veiksmai ir radikalai). Nilsas Abelis prieš kelis metus jau buvo tai įrodęs, tačiau Galua pažengė toliau – jis surado būtinas ir pakankamas sąlygas, kurioms esant sprendinį galima išreikšti per radikalus. Tačiau dar vertingesnis buvo ne pats šis rezultatas, o tie metodai, kurių dėka tai buvo pasiekta (jie dabar vadinami Galua teorija). Galua pirmas įvedė „grupės“ terminą (pranc. groupe), nagrinėdamas simetrines grupes, o baigtiniai laukai dabar turi Galua laukų pavadinimą.

Kitus 20 m. K. Žordanas (ypač 1870 m. straipsnyje „Traite des substitutions“), o vėliau Keli ir Li vystė ir apibendrino Galua idėjas, kurios visiškai pakeitė visos matematikos išvaizdą. Galua darbai padarė didelį įspūdį ir davė pradžią naujai matematikos krypčiai – abstrakčių algebrinių struktūrų teorijai. Jis sukūrė koncepciją, kuri šiandien vadinama normaliuoju pogrupiu [dalikliu] (kai kairinės ir dešininės gretimos klasės sutampa).

Beje, Galua turėjo idėjų ir dėl algebrinių vieno kintamojo funkcijų integralų, kuriuos šiandien vadiname Abelio integralais. Tad jo minčių eiga buvo artima Rymano mąstysenai. Galima tik įsivaizduoti, kaip būtų pažengusi Paryžiaus matematinė mokykla, jei Galua būtų pagyvenęs nors kiek ilgiau.

Pastabos:

¹⁾ Grandininės trupmenos yra tokio pavidalo:

²⁾ Radikalas – kvadratinė ar n-ojo laipsnio šaknis.

³⁾ Nilsas Henrikas Abelis (Niels Henrik Abel, 1802-1829) – norvegų matematikas, įrodęs, kad aukštesnio nei 4-o laipsnio algebrinės lygtys bendruoju atveju radikalais neišsprendžiamos. Vėliau jo darbą išvystė E. Galua; jiedu laikomi grupių teorijos pradininkais. Taip pat apibrėžė kai kuriuos radikalais išsprendžiamų lygčių tipus, ištyrė algebrinių funkcijų integralus, neišreiškiamus elementariosiomis funkcijomis (Abelio integralus). Jo darbai apie binominę eilutę skatino begalinių konverguojančių eilučių teorijos raidą. Buvo vienas iš elipsinių funkcijų teorijos kūrėjų (kartu su K. Jakobiu), pirmasis apibrėžęs elipsines funkcijas kaip atvirkštines elipsiniams integralams. Mirė nuo tuberkuliozės 26 m. amžiaus – jo darbai publikuoti ir pripažinimas atėjo po mirties. Nuo 2003 m. matematikams skiriama jo vardo Abelio premija laikoma prilygstančia Nobelio premijai (kuri neskiriama matematikams). Jo garbei pavadintas krateris Mėnulyje.

Algebros istorija
Kvadratinė lygtis
Kampo trisekcija
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematikai: Pjeras Ferma
Matematikai: Davidas Hilbertas
Pjeras Simonas Laplasas
Rymano hipotezės paaiškinimas
Graikų matematikai - filosofai
Vidurkiai ir matematinė viltis
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Iš Antikos ateinantis klausimas: kiek jų?
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
Dviejų filosofinės logikos paradigmų kova
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Kibernetikos istorijos etiudai
Pagrindinės statistinės sąvokos
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Hipatija – pirmoji matematikė
Didžioji Ferma teorema
Ar įrodytas abc teiginys?
Borchesas ir matematika
Edgaras Po apie mokslą
Aritmetikos pagrindai
Algebrinės struktūros
Harmoninės eilutės
Matroidai
Vartiklis