Gauso skaičių teorijos kursas. Vartiklis

1917 m. paskelbtoje esė Mordell‘is⁸⁾ rašė: „Skaičių teorija yra nepralenkiama rezultatų skaičiumi ir jų įvairove bei įrodymų grožiu bei gausa. Atrodo, kad aukštoji aritmetika apimą didžiąją matematinės romantikos dalį. Kaip Gausas rašė Sofijai Germain, kerintis tų studijų grožis pilnu žavesiu atsiskleidžia tik tiems, kurie turi drąsos siekti jos“. Ir Mordell‘is pridūrė: „Mes prisimename pasakas apie Gražuolį princą⁹⁾, kuris galėjo įgauti savo tikrą formą tik dėl juo tikinčios herojės pasišventimo“.

Gauso skaičių teorijos kursas

Taip pat susipažinkite Skaičiai – apžvalga/ pradmenys

Neabejotinai skaičių teorija buvo mėgiama K. Gauso tema. Jis netgi laikė, kad matematika yra mokslų karalienė, o Skaičių teorija – matematikos karalienė. Įvade Eizenšteino¹⁾ „Matematiniams traktatams“ jis rašė:

Aukštoji matematika mums pateikia neišsemiamą įdomių tiesų sandėlį – tiesų, kurios nėra izoliuotos, o yra artimuose tarpusavio sąryšiuose, kurių tarpe sulig mokslo pažanga nuolat aptinkame naujus ir kai ką visai netikėtus sąlyčio taškus. Didžiąja dalimi Aritmetikos teorijos suteikia papildomą žavesį dėl ypatybių, lengvai indukcijos dėka išvedamų iš svarbių prielaidų, su paprastumo požymiu, tačiau kurių pademonstravimas glūdi taip giliai, kad nėra aptinkamos be daugelio bevaisių pastangų; ir netgi tada kai kurių laikomų nuobodžiu ir dirbtiniu procesu, nes paprastesni įrodymo metodai ilgai lieka nežinomi mums.

Tai gerai iliustruojama galbūt giliausiu Gauso darbu „Aritmetiniai tyrimai“ (1801), parašytu, kai tam tebuvo 18 m. Tai pirmas sistemingas veikalas apie Aukštąją aritmetiką padėjęs pagrindus ir stimulus gausiems tolimesniems tyrimams, tebesitęsiančius ir dabar. Jis iškart tapo labai populiariu, tačiau paprastai buvo laikomas sunkiai suprantamu; galbūt dėl formalios lotynų kalbos. Tačiau po daugelio performulavimų dauguma jo medžiagos yra gerai žinoma, o pradiniai skyriai dažniausiai įtraukiami į visus skaičių teorijos įvadinius kursus.

Knyga prasideda kongruencijos²⁾ apibrėžimu – du skaičiai yra kongruentūs moduliu n, jei jų skirtumas yra dalus iš n. Toliau tęsia tiesinių kongruencijų aptarimą parodydamas, kad jos iš tikro gali būti traktuojamos kažkiek analogiškai tiesinių lygčių sistemoms.

Tada atkreipia dėmesį į laipsninius likinius ir, be kitų dalykų, įveda primityviųjų šaknų⁴⁾ bei indeksų⁵⁾ koncepcijas bei parodo šių panašumą į paprastus logaritmus. Toliau seka kvadratinių kongruencijų teorijos išdėstymas.

Vis tik plačiausia dalis skirta dvinarėms kvadratinėms formoms⁶⁾. Gausas parodė, kaip kvadratinės formos su duotu diskriminantu⁷⁾ gali būti suskirstytos į klases taip, kad dvi formos priklauso tai pačiai klasei tada ir tik tada, jei egzistuoja jas siejanti integrali unimoduliarinė perstata (t.y. perstata, turinti formą x=px’+qy’; y=rx’+sy’, kur p, q, r, s yra sveiki skaičiai su ps-qr=1); ir kaip klasės gali būti suskirstytos į gentis taip, kad dvi formos priklauso tai pačiai genčiai tada ir tik tada, kai jos yra racionaliai ekvivalenčios.

Toliau jis taiko tas koncepcijas sveikų skaičiais perteikimui kvadratinėmis formomis, kas yra sunkus klausimas. Performavus jas kvadratinių laukų terminais tampa aišku, kad jas galima taikyti gerokai plačiau, ir iš esmės jos tampa visos algebrinės skaičių teorijos pagrindu. Gauso pagrindžiantį darbą primena sąvoka „Gauso laukas“, perteikianti i generuojamą racionalių skaičių lauką.

Likusi veikalo dalis skirta įvairesniems klausimams, pvz., 17-sienio briaunainio sudarymui ir kt.

¹⁾ Ferdinandas Eizenšteinas (Ferdinand Gotthold Max Eisenstein, 1823-1852) - vokiečių matematikas, specializavęsis skaičių teorijoje ir matematinėje analizėje, įrodydamas kai kuriuos dalykus, kurie nepavyko net K. Gausui. Įdomūs darbai elipsinių lygčių srityje.

²⁾ Kongruentyvumas (lyginiai). Skaičiai a ir b yra kongruentūs moduliu n (žymima a º b (mod n); a lygsta b moduliu n ), jei jų skirtumas a-b yra dalus n. Pvz., 32 ir -10 yra kongruentūs moduliu 7, nes 32-(-10) = 42, o 42 dalus iš 7 (42/7=6).

Alternatyvus apibrėžimas yra: skaičiai a ir b yra kongruentūs moduliu n, jei jų dalybos iš n liekana yra vienoda.
Pvz., mūsų pavyzdyje 32 % 7=3 ir 10 % 7=3

Sąvoką ir žymėjimą įvedė K. Gausas (1801), o prielaidą kongruentyvumo teorijai davė 1621 m. išleisti Diofanto darbai su vertimu į lotynų kalbą (Bašė de Meziriakas).

³⁾ Laipsnio likiniu moduliu m vadinamas sveikas skaičius a, kuriam išsprendžiama kongruencija
xⁿ º a (mod m)
Jei kongruencija neišsprendžiama, a vadinamas nelikiniu. Kai n=2, turime kvadratinį likinį, o kai n=3, - kubinį likinį.

⁴⁾ Primityviąja šaknimi moduliu n vadinamas skaičius g, jei kiekvienas skaičius a yra tarpusavyje pirminis su g laipsniu moduliu n.
T.y. kiekvienas sveikas skaičius a yra tarpusavyje pirminiam su n, egzistuoja sveikas skaičius k toks, kad g^k º a (mod n).

Toks k vadinamas a indeksu (arba diskrečiuoju logaritmu) pagrindui g moduliu n.

K. Gausas (1801) termino įvedimą priskyrė Oileriui ir teigė, kad apie sąvoką žinojo ir Lambertas. Tačiau Gausas pirmasis įrodė, kad pirminis skaičius p turi primityviąsias šaknis.

⁵⁾ Šaknis - n-ojo laipsnio šaknies žymenyje

n vadinamas indeksu,

- šaknies ženklu, o x - pošakninė išraiška.

⁶⁾ Dvinarė kvadratinė forma - dviejų kintamųjų homogeninis polinomas, t.y., kurio forma yra:
q(x,y)=ax²+bxy+cy²
Kai koeficientai a, b, c yra sveiki skaičiai, ji vadinama integraline dvinare kvadratine forma.

⁷⁾ Diskriminantas - skaičius, kuris gaunamas iš realių ar kompleksinių skaičių polinominės lygties koeficientų ir su kuriuo galima nustatyti lygties sprendinius. Jei diskriminantas yra lygus nuliui, lygtis turi 1 sprendinį; jei diskriminantas didesnis už 0, lygtis turi daugiau nei 1 sprendinį; jei diskriminantas yra neigiamas ir neturi daugiau koeficientų, lygtis realių sprendinių neturi (sprendiniai kompleksiniai).
Pvz., kvadratinės lygties y=ax²+bx+c diskriminantas D yra D=b²-4ac

⁸⁾ Luisas Džoelis Mordelis (Louis Joel Mordell, 1888-1972) – amerikiečių žydų išeivių iš Lietuvos kilmės britų matematikas, pasižymėjęs skaičių teorijoje, taip pat dirbęs algebros ir trigonometrinių eilučių srityje. Įrodė Einšteino teoremas kvadratinių formų srityje (1918). Jo vardas siejamas su Diofanto lygtimi:
y²=x³+k

Nuo 1920 m. dirbo ir gyveno Anglijoje. Geometrijos srityje 1937 m. įrodė Erdošo-Mordelio teoremą, o 1956 m. rado gražų keturių kubų uždavinio atskirą sprendinį. Pagrindinis jo darbas yra monografija „Diofantinės lygtys“ (1969).
Taip pat skaitykite >>>>>

⁹⁾ Princas-varlė - brolių Grimų pasaka apie varle paverstą princą, kuris iš šulinio ištraukia kamuolį už pažadą, kad princesė su juo dalinsis viskuo, tame tarpe ir lova. Tačiau toji pabėga, ir pažadą tęsi tik varlei pasiskundus jos tėvui. Tačiau varlei pareikalavus, kad ji priimtų į lovą, princesė iš pasibjaurėjimo kiek turi jėgų meta varlę į sieną, tačiau ta stebuklingai atvirsta gražuoliu princu. Jie susituokia.