Kvadratinė lygtis

Taip pat skaitykite >>>>>  

Kvadratinė lygtis yra 2-os eilės vieno kintamojo daugianaris):
ax2 + bx + c = 0
kai a ¹ 0

a vadinamas pirmuoju, kvadratiniu arba vyresniuoju koeficientu; b - antruoju arba tiesiniu koeficientu, c - laisvuoju nariu. Jei kuris nors koeficientas (b arba c) lygus 0, lygtis vadinama nepilnąja.

Lygties šaknys- x reikšmės, kurioms lygtis yra teisinga. Fundamentalioji algebros teorema užtikrina, kad lygtis turi 2 šaknis, kurios paskaičiuojamos pagal formulę:
Kvadratinės lygties šaknų formulė

Reiškinys po kvadratine šaknimi vadinamas diskriminantu ir paprastai žymimas D, t.y. D = b2 - 4ac
Jei D ¹ 0, lygtis turi tiksliai 2 sprendinius, o jei D=0 – tik vieną.

Geometrinė prasmė Kvadratinės lygties parabolė

Kvadratinės funkcijos grafikas yra parabolė. Jei koeficientas a yra teigiamas, parabolės šakos yra nukreiptos aukštyn, o jei neigiamas – žemyn. Jei b yra teigiamas, tada parabolės viršūnė yra kairėje pusėje, o jei neigiamas – dešinėje.
Jos šaknys yra susikirtimo su abscisių ašimi (x) taškai. Jei parabolė nekerta abscisių ašies, tada lygtis neturi realiųjų skaičių šaknų. Jei parabolė abscisių ašį kerta tik viename taške, jos šaknys sutampa.

Sąsaja

Aukso pjūvis yra šaknis lygties:
x2 - x – 1 = 0

Istorija

Papildomai skaitykite – Algebros istorija

Net jei babiloniečiai ir neturėjo „lygties“ sąvokos, jie rado algoritminį metodą kvadratinei lygčiai spręsti (žr. apie matematiką Babilone)

O pirmas žinomas kv. lygties sprendimas pateiktas Egipto „Berlyno papiruse" (Vidurinės karalystės laikotarpis, 2160-1700 m. per.m.e.). Jame sprendžiama lygčių sistema:
x2 + y2 = 100
y = 3/4 x

Maždaug 300 m. pr.m.e Euklidas išvystė geometrinį metodą, kai ieškomas ilgis atitinka kv. lygties šaknį. Euklidas nenaudojo „lygties“, „koeficientų“ ie pan. sąvokų ir sprendė uždavinius grynai geometriniais būdais.

Diofantas (apie 210-290 m.) „Aritmetikoje“ sprendė kv. lygtis, tačiau pateikdavo tik vieną šaknį (net ir tuo atveju, jei a ir b buvo teigiamos).

Indijos matematikai išvystė babiloniečių metodus. „Aryabhata“ (apie 475-550 m.) pateikė taisyklę geometrinių sekų sumos suradimui, kas rodo žinojimą apie kv. lygtį ir abi jo šaknis. Vėliau Brahmagupta (598-665 m.) pateikė beveik šiuolaikinį sprendimo būdą, kuris numato ir neigiamas šaknis. Jis taipogi naudojo santrumpas nežinomiesiems (ieškomoms reikšmėms) žymėti, dažniausiai pirmą spalvos pavadinimo raidę (kartais viename uždavinyje būdavo keli nežinomieji)(žr. apie matematiką Indijoje).

Arabai nežinojo apie indų pažangą (žr. apie arabų matematiką). Vis tik al-Chorezmis (apie 800 m.) suklasifikavo kv. lygtis. Skirtingi tipai atsirado todėl, kad al-Chorezmis nenaudojo nei nulio, nei neigiamų skaičių. 6-ios jo knygos skyriai skirti skirtingiems lygčių tipams. Lygtis sudarė trys kiekių tipai: šaknys, šaknų kvadratai ir skaičiai (t.y. x, x2 ir skaičiai).

Al-Chorezmis sprendė tokius lygčių tipus:

Iš esmės, kiekvienu atveju buvo pateikiama žinoma formulė su skaitinaiis pavyzdžiai, o tada pristatomas įrodymas kiekvienam pavyzdžiui.

Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (arba Savasorda) „Liber embadorum“ (1145) pateikė pilną kv. lygties sprendimą.

F. Viete buvo pirmasis geometrinius metodus pakeitęs analitiniais, nors ir „nepagavo“ bendros kv. lygties idėjos.


Trumpa biografija

Abraham bar Hiyya ha-Nasi (lot. Savasorda, 1070-1136 arba 1145) – žydų kilmės matematikas, astronomas ir filosofas. Pirmasis ėmė ivritu rašyti mokslinius ir filosofinius veikalus, sukūrė mokslo terminiją ivrite.

Gimė ir gyveno Barselonoje. Iš arabų kalbos kartu su Platonu iš Tivolio išvertė per dešimtį matematikos ir astronomijos traktatų. Išsamūs „Tikėjimo bokšto supratimo pagrindai“ aptaria matematikos, geometrijos, optikos, astronomijos ir muzikos klausimus. Jų išliko tik trumpi fragmentai. Manoma, kad jo dalimi buvo „Traktatas apie geometriją“. „Žemės forma“ pateikia žemės ir dangaus susidarymo klausimus. Astronomijai skirti „Žvaigždžių kelių paskaičiavimas“ ir „Princo lentelės“. „Apmąstymai apie sielą“ – etikos traktatas, o „Atskleidėjo ritinys“ – prieštaringas kūrinys, įtraukiantis filosofines idėjas ir ginantis teoriją, kad mesijas turi pasirodyti 5118 m. (t.y. 1358 m.).

Matematikoje pirmasis aprašė kvadratinės lygties bendruoju pavidalu sprendimą. Pateikė geometrinį nedalomųjų metodą bet kokio skritulio ploto radimui. Taip pat padarė įtaką Fibonačiui.

Jo filosofija buvo neoplatonizmo ir aristotelizmo mišinys, tačiau jis laikosi požiūrio, kad tikras žinių šaltinis yra tik Tora. Anot Abraomo, materija ir forma egzistavo iki sutveriant pasaulį ir buvo „tohu va-vohu“ (beformė ir tuščia). Visi daiktai buvo sutverti aktualizuojant ir derinant pirmaprades materiją ir formas. Žmogus randasi 4-oje hierarchijos pakopoje, o virš jo, 5-ojoje – Izraelio tauta. Tiesa, ir likusi žmonijos dalis gali kilstelėti į šią pakopą, jei priims tiesos kelią.

Viena materijos atmainų yra ir siela, kuri po mirties grįžta į angelų pasaulį, vieną iš 5-ių iš šviesos pasaulių. Sielos yra 4 klasių: išmintingos ir teisuoliškos sielos kyla į aukščiausią lygį ir susilieja su gryna forma, išmintingos ir nusidėjusios sielos patenka į karščio pasaulį, teisuoliškos, bet neišmintingos sielos vėl atgimsta žemiškajam gyvenimui, o likusios tiesiog dingsta po mirties.

Nulio istorija
Algebros istorija
Trikampiai skaičiai
Pitagoro teorema
Eudoksas iš Knido
Santykis ir proporcija
Euklidas iš Aleksandrijos
Parabolės lenktas likimas
Gauso skaičių teorijos kursas
Pagrindinė aritmetikos teorema
Pagrindinės algebrinės struktūros
Matematika Egipte ir Finikijoje
Matematikos pradžia Lietuvoje
Didžioji Ferma teorema
Iniciatyva: Matematikos keliu
Skaičiai – apžvalga/ pradmenys
Mokslo riboženkliai: 1867-ieji – kartų kaita
Evaristas Galua: matematikos genijus ir revoliucionierius
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Graikų matematikai - filosofai
Didžiausias bendras daliklis
Pjeras Simonas Laplasas
Matematiniai anekdotai
Dalyba iš nulio
Žanas Furjė
Vartiklis