Pateiksime kelias pagrindines teoremas ið skaièiø teorijos, susijusias su pirminiais skaièiais.

---

Pagrindinë aritmetikos teorema  

Taip pat skaitykite: Fundamentaliosios matematikos teoremos

Bet kuris sveikas skaièius, didesnis uþ 1, gali bûti tik vieninteliu bûdu iðreikðtas pirminiø skaièiø sandauga.

Pvz., 6926 = 23 x 3 x 172

Faktiðkai, ði teorema iðreiðkia teiginá, kad pirminiai skaièiai yra svarbiausi skaièiai, blokai, ið kuriø sudaromi visi skaièiai (1 nelaikomas pirminiu skaièiumi).

Skaièiaus sudarymas pirminiø skaièiø sandauga (faktorizacija) árodomas nesunkiai, o tokio sudarymo unikalumas reikalauja kiek daugiau pastangø. Kai kurie árodymai remiasi Euklido lema, teigianèia, kad jei pirminis skaièius p dalija dviejø skaièiø sandaugà a x b, tai jis tikrai dalija arba a, arba b. Kadangi sveikø skaièiø sandauga yra tiek komutatyvi, tiek asociatyvi, tai visai nesvarbu, kokia eilës tvarka suraðysime daugiklius, - paprastai jie suraðomi nuo maþiausio link didþiausio (kaip pavyzdyje).

Þinant dviejø skaièiø faktorizacijas nesunku surasti bendrà didþiausià jø daliklá. Taèiau jei faktorizacija neþinoma, naudojant Euklido algoritmà daþniausiai atliekama maþiau skaièiavimø.

Pagrindinë aritmetikos teorema yra apibendrinama ávairiems kitiems kontekstams, pvz., þiedø teorijoje.

Ádomu, kad senovës egiptieèiai praktiðkai naudojo kai kuriuos daugybos aspektus, pvz., maþiausià bendrà daugiklá (þr. Rindo papirusas).

Faktorizacijos árodymas

Teoremà praktiðkai árodë dar Euklidas („Elementai“, 7 kn., teiginiai 30 ir 32), nors pilnà ir teisingà jos árodymà pirmàkart pateikë K.F. Gausas.

Tarkime, kad yra maþiausias teigiamas sveikas skaièius n (didesnis uþ 1), kurio negalima iðreikðti pirminiø skaièiø sandauga. Jis negali bûti pirminiu skaièiumi, nes tada já galima bûtø iðreikðti pirminiais skaièiais, t.y. juo paèiu.

Vadinasi, n galima uþraðyti kaip dviejø skaièiø (didesniø nei 1) sandauga, t.y. n = a x b. Èia a ir b yra maþesni uþ n. Kadangi n buvo maþiausias skaièius, neiðreiðkiamas pirminiø skaièiø sandauga, tai a ir b turi bûti taip iðreiðkiami. Taèiau tada ir n gali bûti iðreiðkiamas pirminiø skaièiø, kuriais iðreiðkiami a ir b, sandauga, o tai prieðtarauja pirminei prielaidai.

Unikalumo árodymas

Tegu s yra maþiausias teigiamas sveikas skaièius (didesnis uþ 1), kuris gali bûti uþraðytas dviejø skirtingø pirminiø skaièiø sekø sandaugomis: t.y., s = p1 x p2 x ... pm ir s = q1 x q2 x ... qn.

Tada, pagal Euklido lemà, p₁ dalija arba q₁, arba q₂ x ... q_n. Bet kadangi tiek q₁ , tiek q₂ x ... q_n yra maþesni uþ s, tai kiekvieno jø faktorizacija yra unikali (t.y., iðreiðkiama vieninteliu bûdu), nes s yra maþiausias skaièius, kuriam tai, pagal mûsø prielaidà, tai negalioja. Todël p₁ turi sutapti su kaþkuriuo q_j. Taèiau paðalinæ p₁ ir q_j ir pradiniø lygybiø, gausime maþesná skaièiø nei s, iðreiðkiamà dviem skirtingomis pirminiø skaièiø sandaugomis, kas prieðtarauja mûsø prielaidai (kad s yra maþiausias toks skaièius).

Pastaba: tai galima árodyti ir kitais bûdais.

Euklido lema

Jei pirminis skaièius p dalija dviejø sveikø skaièiø sandaugà a x b, tai jis tikrai dalija arba a, arba b.

Ði svarbi lema susijusi su dalumu ir pirminiais skaièiais. Lema suformuluota 30-tu teiginiu Euklido “Elementø“ 7-oje knygoje. Gana netikëtai jos árodymas yra pakankamai sudëtingas.

Pavyzdys. Tarkim N=154=14x11, o p=7. Tada arba dx7=14, arba dx7=3. Aiðku, kad mûsø pavyzdþio atveju 14 dalijasi ið 7 (t.y., d=2).

Árodymas

Ðiuolaikinis árodymas remiasi E. Bezout lema.

Tegu a x b yra dalus ið p, taèiau a nëra dalus ið p. Tada a ir p yra tarpusavyje pirminiai, todël, pagal Bezout lemà, atsiras tokie sveiki skaièiai u ir v, kad
axu+pxv=1

Padauginæ abi lygybës puses ið b, gausime
(axb)xu+pxvxb=b

Abu lygybës kairiosios pusës nariai dalûs ið p (nes pagal sàlygà axb dalus ið p), todël ir deðinioji pusë (t.y., b) yra dali ið p – kà ir reikëjo árodyti.

Analogiðkai samprotaudami árodome, kad, kai b nëra dalus ið p, tada a yra dalus ið p.

Alternatyvus árodymas

Ðiame árodyme nebus remiamasi Bezout lema – tik, paprastumo dëlei, laikysime, kad a ir b yra teigiami.

Tarkim, kad teiginys yra klaidingas ir p yra maþiausias pirminis skaièius dalantis axb, taèiau nedalantis nei a, nei b. Tokiam p, paimkime ir a bei b maþiausiais, kokie tik galimi – tada lema turi bûti teisinga visiems maþesniems skaièiams.

Pirmiausia nustatome, kad a>1. Kai a=0, tada p dalo a, - prieðtaravimas. Kai a=1, tada axb=b, o tada p dalo b pagal prielaidà.

Tada árodome, kad a yra pirminis skaièius. Jei taip nebûtø, galëtume uþraðyti a=cxd, kur c<a. Kadangi paëmëme a maþiausià, kuriam mûsø p negalioja teiginys, tai teiginys turi galioti skaièiams c ir dxb (nes axb=(cxd)xb=cx(dxb)), t.y., p dalo c arba dxb. Jei jis dalo c, tada jis turi dalyti ir a, nes a=cxd - o tai prieðtaravimas prielaidai. Taigi p dalo dxb. O kadangi d<a, vël pritaikome prielaidà, pagal kurià p dalo arba d, arba b. p negali dalinti b pagal hipotezæ, todël jis dalo d. Taèiau tada jis turi dalinti ir a=cxd - ir vël turime prieðtaravimà.

Toliau árodome, kad a<p. Kitaip bûtø teisinga z=a-p>=0, o ið èia zxb=(a-p)xb=axb-pxb. Kadangi pagal hipotezæ p dalo axb, tai, ið to, kad akivaizdþiai dalo pxb, turi dalyti ir skirtumà, kuris yra zxb. Bet z<a, todël, pagal prielaidà, p dalo arba z arba b. b dalinti negali pagal prielaidà, tad p dalo z. Tad p dalo z+p=a - o tai yra prieðtaravimas.

Kadangi a yra pirminis skaièius, a<p ir p yra maþiausias pirminis skaièius, kuriam teiginys yra klaidingas, darome iðvadà, kad teiginys teisingas a, t.y., jei a dalo bet kokià sandaugà fxg, tai a dalo arba f arba g.

Dabar, kadangi p dalo axb, galima rasti sveikà skaièiø k, kad axb=kxp. Tai rodo, kad a dalo kxp. Kadangi teiginys teisingas a, tai a dalo arba k, arba p. Taèiau p yra pirminis, todël a dalo k. Tad galime kaþkokiam sveikam skaièiui q uþraðyti k=axq, taigi axb=kxp=axqxp. Padalijæ lygybæ ið a, gauname b=qxp. O tai reiðkia, kad p dalo b, kas prieðtarauja mûsø hipotezei (dël p pasirinkimo). Taigi, árodyta, kad teiginys teisingas.

Euklido teorema

Yra be galo daug pirminiø skaièiø.

Árodymas

Euklido árodymas (IX 20): Imkime bet koká baigtiná pirminiø skaièiø sàraðà: p₁, p₂, p₃, ... p_n. Árodysime, kad egzistuoja ir daugiau pirminiø skaièiø.

Tegu P yra visø ðiø pirminiø skaièiø sandauga. Paimkime q = P + 1. q gali bûti arba pirminis, arba ne.

Jei q bûtø pirminis, tada mûsø sàraðas bûtø nepilnas, nes q nëra jame, kadangi yra didesnis uþ bet kurá sàraðo elementà.

Jei q nëra pirminis, tada egzistuoja kuris nors pirminis skaièius p, kuris dalo q. Taèiau tada jis negali bûti mûsø sàraðe. Mat tada jis dalytø ir P+1, ir P. Taigi turëtø dalyti ir jø skirtumà, t.y. (P+1) – P = 1. Taèiau joks pirminis skaièius nedalo 1.

Taigi árodëme, kad bet kokiam baigtiniam pirminiø skaièiø sàraðui galime rasti pirminá skaièiø, kuris nëra tame sàraðe.

Oilerio árodymas: ðveicarø matematikas L. Euleris árodë teoremà remdamasis pagrindine aritmetikos teorema, kad bet kurá sveikà skaièiø galima vieninteliu iðreikðti pirminiø skaièiø sandauga.

Tegu P yra visø pirminiø skaièiø aibë. Tada

Pirma lygybë gaunama ið sandaugos kiekvieno nario geometrinëje sekoje formulës. Antrajai lygybei – paskirstykite sandaugà per sumà: tada kiekviena pirminiø skaièiø sandauga bus tik kartà, tad pagal pagrindinæ aritmetikos teoremà, suma yra lygi visø skaièiø sumai.

Suma deðinëje yra harmoninë eilutë, kuri diverguoja, kad ir sandauga kairëje diverguoja. Kadangi kiekvienas sandaugos narys yra baigtinis, jos nariø skaièius turi bûti begalinis, taigi pirminiø skaièiø yra be galo daug.

Taip pat skaitykite: Fundamentaliosios matematikos teoremos

Pastaba: Yra ir daugiau ðios teoremos árodymø.Ateityje bus galima pateikti ir juos.

Skaièiaus dalikliø kiekis Ið karto kyla klausimas – o ar galim nuspëti, kiek teigiamø dalikliø turi sveikas skaièius n? Ðis skaièius þymimas d(n) arba t(n), o w(n) yra þymimas skaièiaus pirminiø dalikliø kiekis. Pavyzdþiui d(14) = 4, nes 14 dalo 1, 2, 7, 14;  o w(14)=2, nes tik 2 ir 14 yra pirminiai. Pirmiausia pastebësime, kad aiðku, kad d(n) <= n Bet ar galima árodyti tiksliau? Aiðku, ir grubus ávertinimas, kai n yra gana didelis, yra d(n)= log n O 1838 m. Dirichlë pateikë tikslesnæ áverèio formulæ visiems sveikiems skaièiams nuo 1 iki n, kuri panaudoja konstantà g: kuri apytiksliai reiðkia ln n+0,15443… Toji konstanta g pavadinta L. Oilerio ir Lorenco Maskeronio (1750-1800) vardu (t.y. Oilerio-Maskeroni). Ji dar vadinama ir Oilerio konstanta. Ji pirmàkart pasirodë 1734 m. L. Oilerio straipsnyje, o 1790 m. jà naudojo italas L. Maskeronis. Taèiau në vienas jø neþymëjo kaip g. Ðis þymëjimas atsirado vëliau dël ryðio su gama funkcija (pvz., taip jà 1835 m. þymëjo vokieèiø matematikas K.A. Bretðneideris, o kiek vëliau savo vadovëlyje ir A. de Morganas). Ji pasirodo daugelyje matematikos vietø, taèiau vis dar nenustatyta, ar g yra algebrinis ar transcendentinis skaièius – ir net ar jis iracionalus. Pirminiø dalikliø skaièius Pirmiausia atkreipsime dëmesá, kad w funkcija yra adityvi, t.y. w(ab)= w(a)+ w(b), kai a ir b yra tarpusavyje pirminiais. 1917 m. G.H. Hardis ir S. Ramanudþanas árodë, kad w(n) asimptotiðkai lygi ln ln n 1933 m. Paulis Turanas (1910-1976) pateikë naujà árodymà, sutelpantá á vienà puslapá. Plaèiau þr. J. Havil. Gamma: Exploring Euler's Constant, 2003

Dalyba ið nulio
Pirminiai skaièiai
Pitagoro teorema
Kvadratinë lygtis
Aritmetikos pagrindai
Santykis ir proporcija
Didþioji Ferma teorema
Kokiu greièiu skriejame?
Euklidas ið Aleksandrijos
Matematikai: Pjeras Ferma
Didþiausias bendras daliklis
Iniciatyva: Matematikos keliu
Gauso skaièiø teorijos kursas
Skaièiai – apþvalga/ pradmenys
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Kaip Pitagoro teoremà árodë Einðteinas
Kai kurios pirminiø skaièiø formos
Alef paslaptis: begalybës paieðkos
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Naujas pirminiø skaièiø dësningumas
Pagrindinës algebrinës struktûros
A. Puankarë. Mokslas ir hipotezë
Nauja pirminiø skaièiø klasë
Indijos matematikos istorija
Kaip supakuoti standþiau?
Harmoninës eilutës
Ar viskas èia taip?
Hiparchas ið Rodo
Algebros istorija
Beal'o hipotezë
Erdvës formos
Vartiklis