Santykis ir proporcija  

Santykis yra paprasčiausias dviejų skirtingų dalykų palyginimas. Pvz., pažiūrėkime į vakarėlio svečius ir nustatykime „vyrų ir moterų santykį“. Tarkim, buvo skirtingų dalykų palyginimas. Pvz., pažiūrėkime į vakarėlio svečius ir nustatykime „vyrų ir moterų santykį“. Tarkim, buvo 35 svečiai, kurių 15 buvo vyrai. Tada vyrų ir moterų santykis bus „15 su 20“. Tai gali būti užrašyta 15:20 arba trupmena 15/20. Atvirkščiai, moterų ir vyrų santykis bus 20:15 arba 20/15.

Kadangi tas trupmenas galima supaprastinti, galima sakyti, kad vyrš ir moterų santykis yra 3:4 arba 3/4. Tai reiškia, kad skaičiai santykyje nebūtinai turi būti absoliučių reikšmių. 15:20 yra absoliučiai skaičiai, o užrašas 3:4 tiesiog reiškia, kad kiekvieniem trim vyrams yra keturios moterys.

Pavyzdys: tarkim, kad išlaikiusių ir neišlaikiusių egzaminą santykis buvo 7:5. Kiek iš 36 studentų grupės buvo neišlaikiusių egzaminą?

Tai reiškia, kad iš 7+5=12 studentų 5 neišlaikė, t.y. 5/12 grupės „pravalino”. Iš čia 36 x 5/12 = 15

Supaprastinimas gali būti panaudotas paprastesnei išraiškai. Tarkim, su 32 l benzino nuvažiuota 400 km. Tada 100 km sunaudojama 8 l benzino, arba, kitaip, atstumo (kilometrais) ir kuro (litrais) santykis yra 100:8
Be abejo, šio tipo santykiuose reikia nurodyti matavimo vienetus, t.y. kilometrus ir litrus).

Tikroji santykių nauda yra sudarant ir sprendžiant proporcijas.

Proporcija yra du vienas kitam lygūs santykiai; tai lygtis, kurią reikia išspręsti. Pvz., santykiai 5/10 ir 1/2 yra lygūs. Proporcijos išsprendimas reiškia, kad kažkuris vienas iš trupmenų elementų yra nežinomas, pvz.,
x/10=1/2
Ją galima išspręsti abi puses padauginus iš 10:
x=10x1/2=5

Pavyzdys. Tarkim parke ančių ir gulbių santykis yra 16 su 5. Tarkim, parke yra 192 antys. Kiek yra gulbių?

Sudarykime proporciją: 16/5=192/g
Iš čia, padauginus iš g, gausime: 16 g / 5 = 192
Tada padauginame iš 5: 16 g = 5 x 192 = 960
Galiausiai, g = 960 / 16 = 60

Šiek tiek terminologijos. Proporcijoje
a/b=c/d
b ir c yra vadinami viduriniais nariais, o a ir d vadinami kraštiniais nariais.

Pagrindinė proporcijos savybė yra ta, kad kraštinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandauga: ad=bc

Ji leidžia spręsti „gyvenimiškus“ uždavinius, pvz., ar 24/140 yra proporcinga 30/176?
24x176=4224, o 140x30=4200 – taigi, trupmenos nėra proporcingos

Dėl šios savybės dažnai mokoma spręsti proporcijas „dauginant kryžmai“. Pvz., ančių ir gulbių proporciją galime spręsti:
16/5=192/g
16g=5x192 – ir iš čia g=60

Kitas terminijos aspektas yra „proporcingo vidurkio“ suradimas. Čia kalbama apie specialią proporcijų klasę, kurioje viduriniai nariai yra lygūs, pvz. 1/2=2/4

Pavyzdys: Reikia rasti 3 ir 12 proporcingą vidurkį.

Sudarome lygtį: 3/x=x/12
Iš čia (sudauginus kryžmai): 3x12=x²
Išsprendus, gauname dvi šaknis: x=6 ir x=-6
Iš proporcijos lygties matome, kad turime imti tik teigiamą reikšmę, taigi atsakymas yra 6

Sudėtingesnis pavyzdys: Reikia rasti 3/2 ir 3/8 proporcingą vidurkį.
(3/2)/x=x/(3/8)
Iš čia: (3/2)x(3/8)= x²
x²=9/16
Tada iš x=3/4 ir x=-3/4 pasirenkam pirmąją reikšmę

Uždavinys: 12 colių yra lygu 30,48 cm. Kiek centimetrų sudaro 30 colių?

12/30,48=30/c
12c=30x30,48
Iš čia c=76,2

Kitas uždavinys: 21 m ilgio vamzdis perpjautas 5 dvi dalis, kurių ilgiai yra 2:5 santykiu. Kokie gabalų ilgiai?

Trumpesnį vamzdžio dalį pažymėkime x. Tada ilgesnio vamzdžio ilgis bus 21-x
Sudarome proporciją: 2/5 = x / (21-x)
Iš čia: 2 x (21-x)=5x
42-2x=5x arba 42=7x ir x=6
Taigi, vamzdžių ilgis yra 6 m ir 15 m

Kita proporcijų uždavinių kategorija yra „panašios geometrinės figūros“. Panašiose figūrose kraštinių santykiai yra lygūs, pvz., trikampiui
A/a=B/b=C/c

Trikampių uždavinys: Tarkim, trikampio kraštinės yra A=48 mm, B=81 mm, o C=68 mm. Panašaus trikampio a=21 mm. Kam lygios b ir c?

48/21=81/b=68/c
Suskaidome poromis: 48/21=81/b ir 48/21=68/c
Išsprendę gausime: b=35,4375; c=29,75

Šešėlio uždavinys: Pastatas meta b=103 m šešėlį, o 32 m aukščio vėliavos stiebas – p=34,5 m šešėlį. Kokio aukščio yra pastatas?

h/103=32/34,5
Išsprendę gausim: h=95,5362….

Yra uždavinių klasė, kurioje iškart ir nepagalvosi, kad tai „santykių ir proporcijų“ uždaviniai. Kai kažkas maišoma, matai duodami „dalimis“, o ne litrais ar gramais.

Betono uždavinys: Tam tikro betonui reikia sumaišyti 1 dalį cemento, 2 dalis smėlio ir 3 dalis žvyro. Turime 4 m³ smėlio. Kiek reikia atvežti žvyro?

Betono ir smėlio santykis yra 1/2. Sudarome cemento ir smėlio proporciją: 1/2=c/4
Iš jos c=2
Cemento ir žvyro santykis yra 1/3. Sudarome proporciją: 1/3=c/z
Įstatome cemento reikšmę: 1/3=2/z – iš čia z=6

Galėjome spręsti ir paprasčiau, nes neklausė, kiek cemento reikia. Smėlio ir žvyro santykis yra 2/3, tad iškart galėjome sudaryti proporciją 2/3=4z, - ir iš jos vėl gautume z=6 (tik reikia atsiminti, kad matas yra kubinis metras)
Pastaba: Bendroji proporcijų lygtis gelėtų atrodyti taip: 1/2=c/4=c/z

Ferma taškas
Kvadratinė lygtis
Pitagoro teorema
Sutramdytas lagaminas
Kokiu greičiu skriejame?
Parabolės lenktas likimas
Revoliucija mazgų teorijoje
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Skaičiai–apžvalga/ pradmenys
Pagrindinė aritmetikos teorema
Pagrindinės statistinės sąvokos
Nepaprasti skaičiai: skaičius 42
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Matematika prieš eismo spūstis
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Geriausios alternatyvos parinkimas
Proveržis skaičiuojant skaidinius
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Hipokratas iš Chijo salos
Didžiausias bendras daliklis
Didžioji Ferma teorema
Monte-Karlo metodas
Ar viskas čia taip?
Pirminiai skaičiai
Dalyba iš nulio
Matroidai