Santykis ir proporcija  

Santykis yra paprasčiausias dviejų skirtingų dalykų palyginimas. Pvz., pažiūrėkime į vakarėlio svečius ir nustatykime „vyrų ir moterų santykį“. Tarkim, buvo skirtingų dalykų palyginimas. Pvz., pažiūrėkime į vakarėlio svečius ir nustatykime „vyrų ir moterų santykį“. Tarkim, buvo 35 svečiai, kurių 15 buvo vyrai. Tada vyrų ir moterų santykis bus „15 su 20“. Tai gali būti užrašyta 15:20 arba trupmena 15/20. Atvirkščiai, moterų ir vyrų santykis bus 20:15 arba 20/15.

Kadangi tas trupmenas galima supaprastinti, galima sakyti, kad vyrš ir moterų santykis yra 3:4 arba 3/4. Tai reiškia, kad skaičiai santykyje nebūtinai turi būti absoliučių reikšmių. 15:20 yra absoliučiai skaičiai, o užrašas 3:4 tiesiog reiškia, kad kiekvieniem trim vyrams yra keturios moterys.

Pavyzdys: tarkim, kad išlaikiusių ir neišlaikiusių egzaminą santykis buvo 7:5. Kiek iš 36 studentų grupės buvo neišlaikiusių egzaminą?

Tai reiškia, kad iš 7+5=12 studentų 5 neišlaikė, t.y. 5/12 grupės „pravalino”. Iš čia 36 x 5/12 = 15 Proporcijos pavyzdys: mokytojas ir vaikai

Supaprastinimas gali būti panaudotas paprastesnei išraiškai. Tarkim, su 32 l benzino nuvažiuota 400 km. Tada 100 km sunaudojama 8 l benzino, arba, kitaip, atstumo (kilometrais) ir kuro (litrais) santykis yra 100:8
Be abejo, šio tipo santykiuose reikia nurodyti matavimo vienetus, t.y. kilometrus ir litrus).

Tikroji santykių nauda yra sudarant ir sprendžiant proporcijas.

Proporcija yra du vienas kitam lygūs santykiai; tai lygtis, kurią reikia išspręsti. Pvz., santykiai 5/10 ir 1/2 yra lygūs. Proporcijos išsprendimas reiškia, kad kažkuris vienas iš trupmenų elementų yra nežinomas, pvz.,
x/10=1/2
Ją galima išspręsti abi puses padauginus iš 10:
x=10x1/2=5

Pavyzdys. Tarkim parke ančių ir gulbių santykis yra 16 su 5. Tarkim, parke yra 192 antys. Kiek yra gulbių?

Sudarykime proporciją: 16/5=192/g
Iš čia, padauginus iš g, gausime: 16 g / 5 = 192
Tada padauginame iš 5: 16 g = 5 x 192 = 960
Galiausiai, g = 960 / 16 = 60

Šiek tiek terminologijos. Proporcijoje
a/b=c/d
b ir c yra vadinami viduriniais nariais, o a ir d vadinami kraštiniais nariais.

Pagrindinė proporcijos savybė yra ta, kad kraštinių narių sandauga yra lygi vidurinių narių sandauga: ad=bc

Ji leidžia spręsti „gyvenimiškus“ uždavinius, pvz., ar 24/140 yra proporcinga 30/176?
24x176=4224, o 140x30=4200 – taigi, trupmenos nėra proporcingos

Dėl šios savybės dažnai mokoma spręsti proporcijas „dauginant kryžmai“. Pvz., ančių ir gulbių proporciją galime spręsti:
16/5=192/g
16g=5x192 – ir iš čia g=60

Kitas terminijos aspektas yra „proporcingo vidurkio“ suradimas. Čia kalbama apie specialią proporcijų klasę, kurioje viduriniai nariai yra lygūs, pvz. 1/2=2/4

Pavyzdys: Reikia rasti 3 ir 12 proporcingą vidurkį.

Sudarome lygtį: 3/x=x/12
Iš čia (sudauginus kryžmai): 3x12=x2
Išsprendus, gauname dvi šaknis: x=6 ir x=-6
Iš proporcijos lygties matome, kad turime imti tik teigiamą reikšmę, taigi atsakymas yra 6

Sudėtingesnis pavyzdys: Reikia rasti 3/2 ir 3/8 proporcingą vidurkį.
(3/2)/x=x/(3/8)
Iš čia: (3/2)x(3/8)= x2
x2=9/16
Tada iš x=3/4 ir x=-3/4 pasirenkam pirmąją reikšmę

Uždavinys: 12 colių yra lygu 30,48 cm. Kiek centimetrų sudaro 30 colių?

12/30,48=30/c
12c=30x30,48
Iš čia c=76,2

Proporcingi trikampiai
Kitas uždavinys: 21 m ilgio vamzdis perpjautas 5 dvi dalis, kurių ilgiai yra 2:5 santykiu. Kokie gabalų ilgiai?

Trumpesnį vamzdžio dalį pažymėkime x. Tada ilgesnio vamzdžio ilgis bus 21-x
Sudarome proporciją: 2/5 = x / (21-x)
Iš čia: 2 x (21-x)=5x
42-2x=5x arba 42=7x ir x=6
Taigi, vamzdžių ilgis yra 6 m ir 15 m

Kita proporcijų uždavinių kategorija yra „panašios geometrinės figūros“. Panašiose figūrose kraštinių santykiai yra lygūs, pvz., trikampiui
A/a=B/b=C/c

Trikampių uždavinys: Tarkim, trikampio kraštinės yra A=48 mm, B=81 mm, o C=68 mm. Panašaus trikampio a=21 mm. Kam lygios b ir c?

48/21=81/b=68/c
Suskaidome poromis: 48/21=81/b ir 48/21=68/c
Išsprendę gausime: b=35,4375; c=29,75

Pastato ir vėliavos šešėliai
Šešėlio uždavinys: Pastatas meta b=103 m šešėlį, o 32 m aukščio vėliavos stiebas – p=34,5 m šešėlį. Kokio aukščio yra pastatas?

h/103=32/34,5
Išsprendę gausim: h=95,5362….

Yra uždavinių klasė, kurioje iškart ir nepagalvosi, kad tai „santykių ir proporcijų“ uždaviniai. Kai kažkas maišoma, matai duodami „dalimis“, o ne litrais ar gramais.

Betono uždavinys: Tam tikro betonui reikia sumaišyti 1 dalį cemento, 2 dalis smėlio ir 3 dalis žvyro. Turime 4 m3 smėlio. Kiek reikia atvežti žvyro?

Betono ir smėlio santykis yra 1/2. Sudarome cemento ir smėlio proporciją: 1/2=c/4
Iš jos c=2
Cemento ir žvyro santykis yra 1/3. Sudarome proporciją: 1/3=c/z
Įstatome cemento reikšmę: 1/3=2/z – iš čia z=6

Galėjome spręsti ir paprasčiau, nes neklausė, kiek cemento reikia. Smėlio ir žvyro santykis yra 2/3, tad iškart galėjome sudaryti proporciją 2/3=4z, - ir iš jos vėl gautume z=6 (tik reikia atsiminti, kad matas yra kubinis metras)
Pastaba: Bendroji proporcijų lygtis gelėtų atrodyti taip: 1/2=c/4=c/z

Ferma taškas
Kvadratinė lygtis
Pitagoro teorema
Sutramdytas lagaminas
Kokiu greičiu skriejame?
Parabolės lenktas likimas
Revoliucija mazgų teorijoje
Nepaprasti Visatos skaičiai: 8
Skaičiai–apžvalga/ pradmenys
Pagrindinė aritmetikos teorema
Pagrindinės statistinės sąvokos
Nepaprasti skaičiai: skaičius 42
Fundamentaliosios matematikos teoremos
Matematika prieš eismo spūstis
Mokslininkui nereikia matematikos!
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Kodėl matematikoje nežinomąjį žymi „x“?
Klasikinės „neišsprendžiamos“ geometrinės konstrukcijos
Laimėti pralaimint: „dviejų vokų“ paradoksas
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Geriausios alternatyvos parinkimas
Proveržis skaičiuojant skaidinius
3-iojo tūkstantmečio mokslas
Hipokratas iš Chijo salos
Didžiausias bendras daliklis
Didžioji Ferma teorema
Monte-Karlo metodas
Ar viskas čia taip?
Pirminiai skaičiai
Dalyba iš nulio
Matroidai