Revoliucija mazgų teorijoje

Redaktorius: Jau senokai parengtas straipsnio apie mazgus vertimas, tačiau vis nelikdavo laiko jo peržiūrai. Šįkart nusprendžiau kol kas parengti tik įžangą į straipsnį – kad pristatyčiau pora naujai sugalvotų terminų (gembinę ir gniaužą), tačiau palikdamas originalų kei pavadinimą. Kad straipsnį galėtų skaityti ir mažiau matematiškai pasirengę skaitytojai, parengiau ir trumpus naudojamų matematinių terminų supaprastintus paaiškinimus.
O pristatomuoju paliekame šį anksčiau parengtą straipsniuką.
Taip pat galite paskaityti: Įvadas mazgų teorijai

19-me amžiuje lordas V. Kelvinas išsakė spėjimą, kad atomai yra mazgai eteryje. Vandenilis gali būti vieno tipo mazgu, deguonis – kito ir t.t. Ši idėja paskatino Peter Tait‘ą detalias mazgų lenteles, siekiant nustatyti, kada mazgai tikrai skiriasi. Fizikos požiūriu, abu jie ėjo klaidingu keliu: įsigalėjęs atomistinis pasaulio sandaros požiūris pašalino teoriją apie eterį. Tačiau iš matematikos požiūrio taško, tai buvo aukso gysla, iš kurios išsivystė „mazgų teorija“.
Knot
Šio mazgo Gauso kodas
O1U2O3U1O2U3

Sam Nelson'as savo straipsnyje „Kombinatorinė revoliucija mazgų teorijoje“ (AMS Notices, 2011 m. lapkritis) aprašo naują požiūrį į mazgų teoriją ir jo dėka atrastus naujus mistinius objektus.

Jūreiviai nuo seno žinojo, kad mazgus rišti galima įvairiai – ir jų kiekis yra begalinis. „Matematinį“ mazgą galima įsivaizduoti kaip sumazgytą apskritimą – imkim riestainį, esantį sumazgytu žiedu, arba guminę juostą, kuri yra „atmazgyta“, nes nėra mazgu. Matematikai tyrinėja mazgų variantus, simetrijas ir asimetrijas bei kuria metodus, leidžiančius nustatyti, ar du mazgai skiriasi.

Matematiškai galime laikyti stygą, iš kurios sudaromas mazgas, vienmačiu objektu, o pats mazgas randasi trimatėje erdvėje. O mazgų piešiniai, pvz., kokius darė P. Tait‘as, yra mazgų projekcijos į dvimatę plokštumą. Juose susikirtimai vaizduojami ištisine ir trūkia linijomis. Tokie piešiniai jau nuo seno naudoti matematikoje mazgų pavaizdavimui bei analizavimui.

Nelsonas aprašo, kaip matematikai sukūrė įvairius metodus informacijos apie mazgus užrašymui. Vienas jų yra Gauso kodas, kuris yra raidžių ir skaitmenų seka, kurioje kiekvienam mazgo susikirtimui priskiriamas skaičius ir raidė O arba U, priklausomai nuo to, ar susikirtimas yra virš ar po linija.

20 a. paskutinio dešimtmečio viduryje matematikai aptiko kažką keista. Yra tokių Gauso kodų, kuriems neįmanoma plokštumoje nupiešti mazgo projekciją. Juos Nelsonas pavadino „neplokštuminiais Gauso kodais“. Jie užrašo „virtualius mazgus“, nesančius trimačiais. Juos galima tirti mazgų diagramoms taikant kombinatorikos metodus. Tai gali atvesti prie apibendrintos mazgų teorijos.

Pastaba: Mazgų teorijai skirtas žurnalas „Journal of Knot Theory and its Ramifications“.
Taip pat galite paskaityti: Įvadas mazgų teorijai

Sam Nelson. Kombinatorinė revoliucija mazgų teorijoje
AMS, 2011 m. gruodis

[ Įžanga ]

Mazgų teorija paprastai suprantama kaip topologinių erdvių įdėjimas į kitas topologines erdves. Atskiru atveju, klasikinė mazgų teorija aiškinasi, kokiais būdais apskritimas ar nesusikertančių apskritimų grupė gali būti įdėta į R3. Mazgai paprastai apibrėžiami mazgų diagramomis, mazgo projekcijomis į plokštumą su [linijų] trūkiais susikirtimo taškuose, kad būtų parodyta, kuri gija eina viršuje, o kuri apačioje (pieš. 1). Tačiau, daugiausia todėl, kad „skaičių” koncepcija laikui bėgant išsivystė nuo savo pradinės prasmės su baigtinių aibių kardinališkumu iki proporcijų, racionaliųjų Koši sekų  ekvivalentiškumo klasių, polinomų šaknų ir kt., klasikinė „mazgų“ koncepcija neseniai patyrė apibendrinimo evoliuciją. Vietoje mazgų traktavimo topologiškai, kaip įdėtų apskritimų gaubiančias izotopines klases arba geometriškai kaip paprastas kreives R3 erdvėje, naujame metode mazgai apibrėžiami kombinatoriškai kaip mazgų diagramų ekvivalentiškumo klasės su ekvivalentiškumo santykiu, nusakytu tam tikrais veiksmais diagramoje. Daugiau nereikia simbolių, žyminčių topologinius ar geometrinius objektus, nes pačios mazgų diagramos tampa matematinio tyrinėjimo objektais.
Knot diagrams
Mazgų diagramos

Mazgų teorija mazgų diagramų sąvokomis, aišku, nėra nauja: Reidemeisterio ėjimai siekia 20 a. 3-ią dešimtmetį (žr. [21]); ir nuo tada mazgų invariantų (funkcijų, naudojamų skirtingų mazgų tipų atskyrimui) nustatymas tikrinant invariantiškumą veiksmais buvo bendrai priimtas. Tačiau dabartinis poslinkis į kombinatorikos metodus leidžia rimčiau nustatyti apibendrintų mazgų tipus ir jungtis, neturinčių atitikmenų paprastoms uždarosioms R3 kreivėms. Kaip kad kompleksiniai skaičiai atsirado dėl trūkstamų daugianarių šaknų, nauji apibendrinti mazgų tipai atsiranda kaip abstraktūs mazgų lygčių sprendimai, kurių nėra tarp klasikinių geometrinių mazgų. Nors iš pirmo žvilgsnio atrodo ezoteriškai, tie apibendrinti mazgai pasirodo turi tokių interpretacijų, kaip sumazgyti apskritimai trimatėse daugdarose besiskiriančiose nuo R3, grandinių diagramos ir operatoriai egzotinėse algebrose. Dar daugiau, klasikinė mazgų teorija pasireiškia kaip atskiras naujos apibendrintos mazgų teorijos atvejis.

Šis diagramomis besiremiantis mazgų teorijos kombinatorinis metodas atgaivino susidomėjimą susijusiam algebrinių mazgų invariantų metodui, kai taikomos technikos iš universalios algebros, kad kombinatorines struktūras paverstų algebrinėmis. Gauti algebriniai objektai, vadinami kei, gniaužu (quandle), gembine (rack), bigniaužu (biquandle)*) pateikia naujų invariantų tiek klasikiniams, tiek apibendrintiems mazgams ir suteikia naujų įžvalgų seniems invariantams. Panašiai kaip grupės kyla iš geometrinių objektų simetrijų, tos mazgų sukeltos algebrinės struktūros turi ryšių su vektorinėmis erdvėmis, grupėmis, Li grupėmis,  Hopfo algebromis ir kitomis matematinėmis struktūromis.

Tad jie potencialiai pritaikomi disciplinoms nuo statistinės mechanikos iki biochemijos bei kitose matematikos srityse, atveriant daug žadančių klausimų.

Įvadas;       tęsinys - Virtualūs mazgai (2 d.)          Apibendrinti mazgai (3 d.)          Algebrinis mazgymas    Nauji mazgų invariantai

Paaiškinimai

Peter Guthrie Tait Piteris Tetas (Peter Guthrie Tait, 1831-1901) – škotų matematikas ir fizikas, Edinburgo karališkos draugijos narys. Fizikoje užsiėmė termodinamikos, elektros, mechanikos klausimais. Matematikoje dirbo kvaternionų, matematinės fizikos, funkcionalinės analizės, tikimybių teorijos srityse. Pirmasis kvaternioninę diferencialinę analizę pritaiko fizikos uždaviniui – aprašyti idealaus skysčio judėjimą. 1867 m. atliko bandymą su dūmų žiedais, kad patikrintų Helmholco sūkurinių žiedų teoriją, - o tai davė pradžią jo darbui apie mazgus. Ypač aktyviai vystė šią temą 1876-77 m., kai paskelbė 7 straipsnius apie mazgų klasifikaciją. Mazgų analize užsiėmė ir kitą dešimtmetį, pasiekęs mazgus su 10 persikirtimų. Vėliau užsiėmė keturių spalvų problema ir netgi teigė ją išsprendęs.

*) Gembinė ir gniaužas (rack, quandle)
1943 m. Mituhisa Takasaki įvedė algebrinę struktūrą, kurią pavadino Kei, vėliau imtu vadinti involiuciniu gniaužu. Jis ieškojo neasociatyvios algebrinės struktūros, bandydamas surasti atspindžio sąvoką baigtinės geometrijos kontekste. Idėja atgaivinta John Conway ir Gavin Wraith 1959 m. susirašinėjime. G. Wraith susidomėjo jomis. pradžioje vadintomis sequentials. J. Conway vėliau jas pavadino wracks, iš dalies, žaidžiant su kolegos pavarde, o iš dalies, kad jos atsiranda kaip grupės liekanos (wrack&ruin), kai atsisakoma daugybos ir paliekama tik sudėtis. Vėliau „w“ nubyrėjo – ir liko rack.

Tos struktūros vėl išniro 1982 m. David Joyce straipsnyje, kuriame buvo įvestas terminas gniaužas (quandle), 1982 m. Sergejaus Marvejevo straipsnyje (vadinant distributyviaisiais grupoidais) ir 1986 m. Egbert Brieskorn konferencijos tezėse (vadinant automorfinėmis aibėmis). O Kauffman‘as juos vadino kristalais (crystals). Gembinės yra bendresnė objektų rūšis už gniaužus. Gniaužų teorija panaši į grupių teoriją, gniaužų aksiomomis truputį skiriantis nuo grupių aksiomų. Gembinių santykis su grupėmis yra kaip monoidų santykis su grupėmis.

Tam tikros struktūros įdėjimas yra vienos struktūros elemento priklausymas kitam jos elementui, pvz., pogrupio ir grupės santykis.

Koši seka - tokia metrinės erdvės taškų seka, kad bet kokiam laisvai pasirinktam atstumui e egzistuoja sekos elementas, po kurio atstumas tarp visų tolimesnių elementų bus mažesnis už e.

Aibės X su ekvivalentiškumo santykiu ~ elemento n  ekvivalentiškumo klasė yra visų X elementų, ekvivalentiškų n poaibis. Ekvivalentiškumo klasės dažnai naudojamos mažesnės imties aibių, kurių elementai yra klasės, sukūrimui.

Ekvivalentiškumo santykis - tai taisyklė, pagal kurią aibė suskirstoma į nesikertančius poaibius. Pvz., visų žmonių aibės suskirstymas pagal gimimo dieną.

Dviejų tolydžių funkcijų f ir g  homotopijatopologinės erdvės X į topologinę erdvę Y yra tolydi funkcija H (x,t):Xx[0,1] ->Y, tokia, kad H(x,0) = f(x) ir H(x,1) = g(x). Šis formalų apibrėžimas vaizdžiau paaiškinamas >>>>> bei >>>>>.

Izotopija – tai homotopija H tokia, kad kiekvienam t, H(x,t) reiškia įdėjimą.
Pvz., funkcijos f(x)=-x ir g(x)=x nėra izotopinės.

Gaubianti izotopija – tai tolydi daugdaros transformacija vieną sub-daugdarą pervedanti į kitą. Pvz., mazgams gaubianti izotopija yra tokia, kad vieną mazgą galima transformuoti į kitą jo netraukant.

Kurtas Reidemeisteris (1893-1971) - vokiečių matematikas. 1925-33 m. buvo Karaliaučiaus un-to profesoriumi. Jį paliko dėl opozicijos nacizmui. Domėjimosi sritys: kombinatorinė grafų teorija ir kombinatorinė topologija, geometrinė grupių teorija bei geometrijos pagrindai. Išleido knygas apie mazgų teoriją: „Knoten und Gruppen“ (1926), „Knotentheorie“ (1932).

Vektorinė (tiesinė) erdvė yra vektorių. kuriuos galima sudėti ar keisti mastelį, rinkinys su operacijomis, tenkinančiomis atitinkamas aksiomas. Paprasčiausios vektorinės erdvės yra dvimatės arba trimatės Euklido erdvės.

Li grupė virš lauko K – grupė su glotnios (diferencijuojamos) daugdaros struktūra virš K, kurioje daugybos ir atvirkštiniai atvaizdavimai yra glotnūs.

Hopfo algebra - unitarinė asociatyvioji algebra, kartu esanti ir ko-algebra, todėl kartu ir bi-algebra su specialaus tipo anti-automorfizmu.
Hopfo algebros samprata pamažu išsivystė iš 20 a. 5 dešimtm. topologų darbų, susijusių su kompaktinių Li grupių ko-homologija ir jų homogeninėmis erdvėmis. Kad tenkintų reikalavimus, toms Hopfo algebros buvo įvesti griežti reikalavimai, būtent gradavimo, (graduoto) komutatyvumo ir kt. Teorija subrendo su Hopfo, Samelsono, Borelio įrodytomis teoremomis (1940-50 m.).

Bijekcija - atvaizdavimas f aibę X atvaizduojantis į aibę Y taip, kad kiekvieną aibės Y elementą y atitinka tik vienas X aibės elementas x ir kiekvieną x atitinka tik vienas y.

Morfizmas - tai struktūros išsaugojimas atvaizduojant vieną matematinę struktūrą į kitą.

Anti-homomorfizmas - funkcija aibėse, kuriose daugyba yra atvirkštinis daugybai veiksmas.

Anti-automorfizmas - anti-homomorfizmas, turintis inversiją. Pavyzdys – atvaizdavimas elementą x atvaizduojantis į x-1. Kitas pavyzdys iš tiesinės algebros – matricų transpozicija, kai eilutės pakeičiamos stulpeliais, pvz., ((1, 2), (3,4), (5,6)) ® ((1, 3, 5), (2, 3, 6))

Homomorfizmas - atvaizdavimas tarp dviejų algebrinių objektų (pvz., grupių, vektorinių erdvių), išsaugantis tų objektų struktūrą ir juose apibrėžtas operacijas. Pvz., f(x)=3x yra homomorfizmas sudėčiai, nes f(a+b)=3(a+b)=3a+3b=f(a)+f(b).

Pastaba: Izomorfizmas yra homomorfizmas su bijekcijos savybe. Izomorfiški objektai yra visiškai vienodi struktūriniu požiūriu. Daugiau žr. >>>>>

Atvirkštinė kategorija Cop kategorijai C sudaroma pritaikant morfizmus sukeičiant morfizmo šaltinį ir rezultatą. Atvirkštinė kategorija atvirkštinei kategorijai yra pradinė kategorija, t. y. (Cop)op=C

Ko-algebra – matematinė struktūra, atvirkštinė (krypčių požiūriu) unitarinei asociatyviajai algebrai. Unitarinei asociatyviosios algebros aksiomos gali būti suformuluotos komutatyviųjų diagramų pagalba. Tada ko-algebros aksiomos gaunamos pakeitus kryptis. Kiekviena ko-algebra su dualumu sukuria algebrą, tačiau neteisingas atvirkščias teiginys (ne kiekviena algebra sukuria ko-algebrą). Baigtiniu atveju atvirkštinumas yra abipusis.
Vadinamosios F-ko-algebros taikomos kompiuterijoje, pvz., begalinėms duomenų struktūroms, tokioms kaip duomenų srautai.

Bi-algebra virš lauko K yra vektorinė erdvė virš K, kuri kartu yra ir unitarinė asociatyvioji algebra bei ko-algebra, tenkinant tam tikrus suderinamumo sąryšius – būtent, kad ko-daugyba ir ko-vienetas yra algebros homomorfizmais, kas reiškia, kad daugyba ir vienetas algebroje yra ko-algebros morfizmai.

Topologija
Pirminiai skaičiai
Kur viešpatauja chaosas?
Zenono paradoksai
Kaip supakuoti standžiau?
Pagrindinės algebrinės struktūros
Mokslininkui nereikia matematikos!
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Da Vinči matematinė klaidelė
Šiuolaikiniai iškilūs matematikai
Matematikos šlovė ir garbė
Specialioji reliatyvumo teorija
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Scenoje - paprastos grupės
Visata kaip kompiuteris
Matematika ir muzika
Ar viskas čia taip?
Nešo pusiausvyra
Dalyba iš nulio
Minties virusai
Matroidai