Revoliucija mazgų teorijoje: Nauji mazgų invariantai. Vartiklis

Šiame fragmente, dėl laiko stokos, liko nepaaiškintų sąvokų, tačiau nusprendėme baigti straipsnio teksto publikavimą be jų. Padėkotumėme skaitytojams, jei jie padėtų parengti paaiškinimus terminams (jie pabraukti, tačiau be nuorodų) - atsiųsdami paaiškinimus adresu info[eta]lithuanian.net

Teorema (Joyce, 1982): Egzistuoja homeomorfizmas f:S³ -> S³, orientuotą mazgą K atvaizduojantis į kitą mazgą K‘ tada ir tik tada, jei fundamentalieji gniaužai Q(K) ir Q(K‘) yra izomorfiniai.

Įvedęs gniaužo sąvoką 1982-ųjų disertacijoje, David Joyce įrodė, kad fundamentalusis gniaužas yra visiškas izomorfizmas klasikiniams mazgams iki pat gaubiančio homeomorfizmo. Vėliau Roger Fenn'as ir Colin Rourke įrodė, kad fundamentalioji gembinė suklasifikuoja nesupaprastintas freimines orientuotas jungtis tam tikrose trimatėse daugdarose. Nepaisant šių rimtų rezultatų, matyt dėl nepraktiškumo lyginant algebrines struktūras, apibrėžtas generatorių ir santykių, dauguma mazgų teoretikų atmetė lankų algebras kitų invariantų naudai. Vis tik kei, gniaužai ir gembinės pakankamai dažnai nepriklausomai iš naujo atrandami suteikiant kitus vardus, kaip „kristalai“, „distributyvūs grupoidai“ ir „automorfinės aibės“ [16, 20, 3].

Kaip visiškas invariantas iki pat gaubiančio homeomorfizmo, mazgų gniaužas apibrėžia daugelį kitų klasikinių mazgų invariantų. Netgi daugelis gerai žinomų invariantų gali būti nesunkiai išvedami iš mazgų gniaužo: pvz., mazgo papildinio fundamentalioji grupė ir Aleksandro invariantai gali būti išskaičiuoti iš mazgų gniaužo pavaizdavimo. Neseniai parodyta, kad hiperbolinis mazgo tūris yra gniaužo kociklinis (cocycle) invariantas [12]. Net garsusis Jones polinomas gali būti suprastas lankų ar puslankių algebrų matricinių pavaizdavimų deformacijų terminais [7].

Pieš. 14. Trimazgio mazgo nuspalvinimą trijų elementų kei R₃

Dėmesys lankų ir puslankių algebroms bei jų mazgų invariantams buvo atgaivintas su kombinatorine revoliucija mazgų teorijoje. Vienas naudingas metodas paskaičiuojamų invariantų iš lankų algebrų gavimui yra perskaičiuoti homomorfizmų aibę iš mazgo fundamentaliosios lankų algebros į naują lankų algebrą T. Toks homomorfizmas priskiria gauto objektą elementą kiekvienam lankui mazgo diagramoje; ir toks priskyrimas apibrėžia unikalų homomorfizmą, tenkinantį susikirtimo sąryšius. Tie homomorfizmai gali būti pavaizduoti kaip mazgo diagramos „nuspalvinimai“ T elementais^*).

Jei gautas objektas T yra baigtinis, homomorfizmų aibė taip pat bus baigtinė, tad paprasčiausiai galime suskaičiuoti homomorfizmus, gaudami paskaičiuojamą sveiką reikšmes turintį invariantą, vadinamą suskaičiuojamu invariantu. 14 pieš. vaizduoja trimazgio mazgo nuspalvinimą trijų elementų kei R₃ naudojant operacijos lentelę:

	1	2	3
1	1	3	2
2	3	2	1
3	2	1	3

Baigtinumo sąlyga objektų spalvinimui nėra būtina; pvz., jei rezultato kei yra begalinis, tačiau turi topologiją, tada homomorfizmų aibė yra topologine erdve, kurios topologinės savybės tampa mazgų invariantais [22].

Invariantų skaičiavimas tėra tik pradžia; bet kuria algebriškai sužymėtų mazgų diagramų invariantas apibrėžia suskaičiuojamo invarianto patobulinimą paimant invarianto reikšmių multi-aibę virš mazgo spalvinimų aibės. Vienas paprastas pavyzdys panaudoja kei homomorfizmo vaizdo subkei kardinalumą: vietoje visų kei homomorfizmų T paskaičiavimo mes imam t^|lm(f)| gaudami polinominį invariantą
Polynomial invariant

kurio originalus suskaičiuojamas invariantas yra p(1). Pvz., 14 pieš. trimazgis turi suskaičiuojamą invariantą 9 T₃ atžvilgiu ir patobulintą invariantą p(t) = 3t + 6t³. Sudėtingesnis patobulinimo pavyzdys yra CJKLS gniaužo kociklinių (cocycle) invariantų šeima su priskirtu Boltzmann‘o svoriu f(f), apibrėžtas kociklu antrojoje T kohomologijoje^***) [5]. Su tikra kombinatorinės revoliucijos dvasia tokie du kociklai turi virtualių jungčių diagramų geometrinę interpretaciją.

Invariantų skaičiavimų patobulinimas, kai kardinalumą pakeičiame aibe, yra bendresnio reiškinio, vadinamo kategorizacija pavyzdys, kai paprastesnės struktūros pakeičiamos galingesnėmis algebrinėmis struktūromis. Įvestos matematinės fizikos teoretikų, tokių kaip Louis Crane ir John Baez'as, kategorizacija apima aibių pakeitimą kategorijomis, operacijomis su funktorais ir lygtimis su izomorfizmais. Pirmutinis pavyzdys yra Khovanovo homologija, kurioje Jones polinomų iš mazgų diagramų skaičiavimo kombinatorinis algoritmas virsta palaipsniu grandininiu kompleksu, kurio Oilerio charakteristika yra Jones polinomas, su homologinėmis grupėmis, suformuojant naują, griežtesnį invariantą [18]. Panašūs metodai buvo pritaikyti HOMFLYPT polinominiams bei įvairiems kitiems kvantiniams mazgų invariantams, sukuriant naujus, griežčiau kategorizuotus mazgų invariantus. Ši puiki idėja sukėlė bangą naujų tyrinėjimų, kurie yra per platūs, kad tinkamai būtų pristatyti čia. Vis tik mes vėl matome kombinatorinę revoliuciją ten, kur anksčiau tebuvo įdomus matematinis objektas.

Lankų ir puslankių algebros, tokios kaip gniaužai ir gembinės, akivaizdžiai naudingos apibrėžiant mazgų invariantus ir kurios iš esmės jos yra pagrindinės algebrinės struktūros, analogiškos grupėms ar vektorinėms erdvėms, kurių taikymas kitose matematikos srityse vis dar nėra plačiai ištirtas. Tas faktas, kad grupės pirmiausia suvoktos kaip simetrijų aibės, neriboja jų taikymo geometriniams sukiniams ir atvaizdavimams (reflection); panašiai labai tikėtina, kad nepaisant jų kilimo iš mazgų teorijos, gniaužai, gembinės ir bigniaužai turės daug taikymų, nesusijusių su mazgais ir jungtimis.

Pradedant simetrine grupe, jei paimsime poaibį, susidedantį tik iš sukinių, gausime pogrupį; tuo tarpu paėmę poaibį tik iš atvaizdavimų, gausime ne pogrubį, o subkei. Konjunkcija grupėje yra gniaužo operacija; gautas konjunkcinis gniaužas išreiškia komutatyvumo nebuvimą, kas jį paverčia algebrine struktūra, analogiška tai, kurią komutatoriai (commutators) asociatyvias algebras paverčia Li algebromis. Taigi galima tikėtis kei, gniaužus ir gembines glūdint ten, kur operacijos nėra komutatyvios.

Apibendrintų mazgų ir mazgų įkvėptų algebrinių struktūrų taikymai dar tik pradėti nagrinėti ir tebelieka daug atvirų klausimų. Vienas turtingas projekto idėjų šaltinis kyla iš paprasto klausimo: išskyrus grupes, kas bus, jei grupę pakeisime kei, gniaužu ar gembine. Mazgų grupės pakeitimas mazgų gniaužu eliminuoja poreikį rūpintis periferine struktūra, pvz., grupių pakeitimas gniaužais analogiškai supaprastina monodrominius skaičiavimus [3, 25]. Šiuo metu tebedirbama su paviršiaus Dehn gniaužu, o taip pat su gniaužo ir gembinės homologija, gniaužo Galua teorija ir daugeliu kitų [26, 6]. Kokios lanko algebros gali glūdėti elipsinėse kreivėse, dinaminėse sistemose ar tenzorių kategorijose?

Mazgų diagramos jau apsuko pilną ratą, nuo schematinių geometrinių kreivių erdvėje pavaizdavimo iki įdomių matematinių objektų. Poslinkis nuo mazgų laikymo topologiniais objektais prie tipografinių objektų^**) suteikia mums naują lankstumą ir atveria duris naujiems atradimams bei taikymams. Kaip ir kompleksinių skaičių atveju, matomas senosios gvardijos pasipriešinimas virtualiųjų mazgų teorijai, nors autoriaus subjektyvus įspūdis yra tai, kad kyla potvynis vis daugiau teoretikų pripažįstant naują apibendrintų mazgų teoriją ir su ja susijusias algebrines struktūras. Papildomai, greta naujų techninių priemonių suteikimo mazgų teoretikams bei kitiems matematikams, apibendrinti mazgai parodo naują perspektyvą apie tai, ką reiškia būti mazgu.

[3] E. Brieskorn, Automorphic sets and braids and singularities// Braids (Santa Cruz, CA, 1986), 45–115, Contemp. Math. 78, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1988

[5] J. Scott Carter, Daniel Jelsovsky, Seiichi Kamada, Laurel Langford, and Masahico Saito. Quandle cohomology and state-sum invariants of knotted curves and surfaces// Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 3947–3989

[6] Michael Eisermann. Quandle coverings and their Galois correspondence// arXiv:math/0612459

[7] Yang-Baxter deformations of quandles and racks// Algebr. Geom. Topol. 5 (2005), 537–562

[16] L. H. Kauffman. Knots and Physics// World ScientificPub. Co., Singapore (1991 and 1994)

[18] Mikhail Khovanov. A categorification of the Jones polynomial// Duke Math. J. 101 (2000), 359–426

[20] S. V. Matveev. Distributive groupoids in knot theory// Math. USSR Sb. 47 (1984), 73–83

[22] Ryszard L. Rubinsztein. Topological quandles and invariants of links// J. Knot Theory Ramifications 16 (2007), 789–808

[25] D. N. Yetter. Quandles and monodromy// J. Knot Theory Ramifications 12 (2003), 523–541

[26] Joel Zablow. On relations and homology of the Dehn quandle// Algebr. Geom. Topol. 8 (2008), 19–51