Kur viešpatauja chaosas?  

Prieš 50 m. susiformavo nepaprasta teorija. 1963 m. „Journal of Atmosferic Sciences“ kovo mėnesį išspausdinta kažkas neįtikėtina – Edward Lorenz‘o^*) straipsnis „Deterministinis neperiodinis srautas“ apie gamtos reiškinių nuspėjamumą. O atradimui pastūmėjo grynas atsitiktinumas.

1961 m. pradžioje E. Lorencas modeliavo atmosferos sistemas. Tuo metu dauguma oro prognozių buvo rengiamos ekstrapoliuojant ankstesnius stebėjimus su minimaliu atmosferos fizikos pritaikymu. Lorencas bandė suvokti, kiek nuspėjami oro procesai, tad sudarė supaprastintą lygčių sistemą, aprašančią oro judėjimą atmosferoje (konvenciją), o jų sprendimui panaudojo „Royal McBee“ kompiuterį LGP-30.

Proveržis įvyko jam MIT‘e susidomėjus vieno iš paskaičiavimų eiga. Sustabdęs kompiuterį, jis įvedė tarpinius duomenis iš ankstesnio paskaičiavimų etapo, paleido programą ir išėjo išgerti kavos. Grįžęs pamatė, kad paskaičiuota oro dinamika už du mėnesius, tačiau naujas sprendinys nesutapo su ankstesniu. Palyginęs paskaičiavimus pastebėjo, kad nors pradžioje duomenys buvo artimi, vėliau jie ėmė smarkiai skirtis.

Netrukus išaiškėjo, kad skirtumai kilo dėl apvalinimo klaidos: kompiuteris spausdino skaičius iki 6-o ženklo po kablelio, o Lorencas juos įvesdamas apsiribojo trimis skaitmenimis po kablelio. Nežymių skirtumų pakako, kad būtų gauti visiškai kitokie rezultatai. Jautrumo pradiniams duomenims problema tapo labai nemaloni užsiimantiems prognozėmis...

Tyrinėtojai ir anksčiau buvo atkreipę dėmesį į galimą priklausomybę nuo pradinių duomenų, tačiau neįvertino pasekmių masto. Prieš šimtmetį Anri Puankarė parodė, kad trijų dangaus kūnų judėjimo negalima aprašyti paprastomis formulėmis. O jo mokinys Žakas Adamaras (Jacques Hadamard) įrodė, kad trajektorijas abstrakčiuose matematiniuose paviršiuose, pvz., dvigubame tore, sunku numatyti. Parodęs, kad realios sistemos sunkiai prognozuojamos, Lorencas sugebėjo sujungti visas ankstesnes idėjas.

Iš jo atradimo sekė galimas stebimų oro šablonų (tipų, režimų) paaiškinimas. Jį jau senokai domino, kodėl vienos konfigūracijos įvyksta dažniau už kitas. Jis kompiuteriniuose modeliuose pastebėjo, kad oro dalelių trajektorijos artėja prie atraktoriaus – pritraukiančios aibės, panašios į supainiotas dvimates spirales. Tai rodo, kad sistema vienu metu gali būti ir nenuspėjama, ir turėti elegantišką tvarką. Ir, nors pritraukę meteorologų dėmesį, Lorenco mintys tik po dešimtmečio ėmė daryti įtaką kitoms mokslo sritims.

Matematikas James Yorke visad su savimi nešiojosi bloknotą, kuriame užrašinėjo uždavinių sprendimus. 8-o dešimtm. pradžioje vienu tokių buvo lygtis, iš pirmo žvilgsnio duodanti nenuspėjamus rezultatus. Kaip ir Lorenco atveju, ji buvo ir labai jautri pradinėms reikšmėms, ir labai stabili – visi taškai galiausiai patekdavo į tą patį atraktorių. Jorkas tokias lygtis pasiūlė pavadinti chaotinėmis, nes jų sprendiniai nuspėjami tik teoriškai, o ne praktiškai. Vėliau Lorencas išsireiškė, kad chaosas – tai „kažkas atrodančio atsitiktiniu, bet ne atsitiktinis“.

Tuo metu chaoso teorija patraukė kitų sričių tyrinėtojus, tarp jurių buvo ir Robert May, biologas iš Prinstono un-to. Jis spėjo, kad kai kurios paprastos lygtys, naudojamos ekosistemos tyrimams, gali duoti sudėtingesnius nei iki tol manyta rezultatus. Jis aptiko, kad net paprasčiausias populiacijos modelis, loginio atvaizdavimo funkcija, gali pasireikšti chaotine elgsena.

Paaiškėjo, kad biologinės sistemos gali vystytis labai sudėtingais keliais, nepriklausomai nuo labai paprastų taisyklių rinkinio. Tapo aišku, kad politikai ir ekonomikai irgi turi suprasti, kad paprastos sistemos gali vystytis visai ne paprastai.

Tuo pat metu IBM tyrimų centre Benoit Mandelbrotas tyrinėjo kitus gamtos struktūrų tipus. Tarp jų jį labiausiai sudomino fraktalai. Jis aptiko, kad pasaulis pilnas fraktalų: nuo lapų iki bronchų plaučiuose, nuo debesų iki kranto linijų.

1979 m. jis stažavosi Harvardo un-te ir tą laiką skyrė fraktalų studijoms. Jis dėmesį sutelkė į Julia aibę, kuri apie 60 m. nieko nesudomino. Pradžioje patrypčiojęs vietoje, paskaičiavimams panaudojo kompiuterį ir pasirodė nepaprastos figūros. Jose Mandelbrotas įžvelgė kažką pažįstamo. Tasai siurrealistinis žmogaus sukurtas vaizdas atrodė nepaprastai natūraliu – ir plačiai išgarsėjo. Mandelbroto darbai padėjo išsiaiškinti ir

Kai Lorencas apie savo atradimą papasakojo kolegoms, vienas jų replikavo, kad, jei teorija teisinga, tai žuvėdros sparnų mostas gali visiems laikams pakeisti orus. Šios metaforos žuvėdra pamažu transformavosi į labiau poetišką drugelį, ir jau po kelių metų pats Lorencas konferencijos metu klausė: „Ar drugelio sparnų mostas Brazilijoje gali sukelti uraganą Teksase?“ (matyt, įtakotas R. Bredberio „ir nugriaudė griaustinis“). „Drugelio efektas“ tapo sparnuotu posakiu, nusakančiu stiprią priklausomybę nuo pradinių sąlygų.

evoliucijos klausimus. Nuo Darvino laikų naudotas „aklo laikrodininko principas“ pagrindimui, kad pasaulis neevoliucionavo natūraliai, o buvo sukurtas. Atseit, tarsi kišeninis laikrodis, gamta yra pernelyg sudėtinga, kad atsirastų be protingo kūrėjo. Tačiau paaiškėjo, kad sudėtingi dalykai gali kilti iš paprastų taisyklių.

Du dešimtmečius chaoso teorija dominavo biologijoje. Bet tik 2008 m. rastas patvirtinimas, tnkinantis chaoso apibrėžimą pagal Jorką, Amsterdamo un-to tyrinėtojų gautas po 6 m. trukusių planktono tyrimų. Pastebėta, kad planktono populiacija jautri pradinėms sąlygoms (neįmanoma prognozuoti ilgesniam nei 15-30 dienų laikotarpiui) ir kartu labai stabili (rastas atraktorius).

Fizikams buvo paprasčiau. Iš esmės, jie jau buvo susidūrę su chaotine elgsena, pvz., neono lempose ir elektros grandinėse, tik į tai nekreipė dėmesio. Paskelbus chaoso teoriją, fizikai ėmėsi jo ieškoti ir kitose srityse. buvo žinoma, kad plokščiame inde su skysčiu pašildžius dugną kyla sudėtingai nusakomos srovės. Bet tik 1978 m. prancūzas Albert Libchaber‘is įrodė, kad dėl to kaltas chaosas. Tačiau iki šiol neaiškus turbulencijos reiškinys – ir už šio uždavinio sprendimą Klėjaus institutas skyrė milijono dolerių premiją.

Chaoso teorija iškelia ir naujus klausimus. Vienas jų susijęs su savireguliacija. Kodėl chaotinių sistemų dalyviai staiga „sinchronizuojasi“?

Naujas lakmusas chaosui patikrinti?  

Ar gali drugelio sparnų mostas Brazilijoje sukelti tornadą Teksase? Tai vadinamasis „drugio efektas“, plačiai naudojamas chaotinių sistemų koncepcijos iliustracijai – kad maži pokyčiai pradinėse sąlygose gali sukelti visai kitokią sistemos elgseną.

Chaoso supratimas ir modeliavimas gali padėti išspręsti daugelį mokslinių ir inžinerinių problemų, tad ieškoma naujų chaoso apibrėžimų. Neseniai Marilando un-to tyrėjai pateikė platesnį už ankstesnius chaoso apibrėžimą. Jis kompaktiškas, gali būti lengvai pritaikytas skaičiavimo metodams ir tinka plačiai chaotinių sistemų įvairovei – nuo medicinos iki meteorologijos ir kt.
[publikacija 2015 m. liepos 28 d. „Chaos“ žurnale]

Matematiškai išskirtinis jautrumas pradinėms sąlygoms gali būti atvaizduotas Liapunovo eksponente. Jos reikšmė teigiama, jei dvi be galo artimos pradinės reikšmės diverguoja laikui bėgant. Tačiau Liapunovo eksponentė duri apribojimų jos panaudojimui kaip chaoso apibrėžimą: ji leidžia tik patikrinti chaoso buvimą tam tikrame modelio sprendime bey ne patį modelį; ir ji gali būti teigiama net tada, kai modelis yra per daug stabilus, kad atrodytų kaip chaotinis.

Įdomu, kad chaotinis Lorenco lygčių sprendinys atrodo tarsi du peteliškės sparnai (žr. iliustraciją aukščiau). Ši forma matematiškai apibūdinama kaip atraktorius (pritraukianti), kas reiškia, kad ją lengva identifikuoti su Liapunovo eksponente. Tačiau ne visos chaotinės elgsenos tokios aiškios. Pvz., paimkime 4 Kalėdų eglutės stiklinius burbulus sustatytus į piramidę. Šviesos spindulys atsispindi nuo jų į visas puses. Daugumos šviesos kelias tiesus, tačiau kai kurie fotonai gali būti „įkalinti“ piramidėje, chaotiškai šokinėdami tarp burbulų. Šie chaotiški keliai matematiškai apibūdinami kaip repeleriai (atstumianti) ir yra sunku jiems rasti modelį. Repeleriai dažnai sutinkami fizikinėse bei gamtos sistemose, pvz., vandentiekio tinkluose, asteroidų orbitose, cheminėse reakcijose, paukščių būriuose ir pan.

B. Huntas ir E. Otas iš Marilando un-to pasinaudojo entropijos koncepcija. Kintančiose sistemose entropija nusako kaip greitai jose susidaro betvarkė ir nenuspėjamumas. Tačiau standartinius entropijos apibrėžimus (metrinės ar topologinės) sunku pritaikyti skaičiavimams, o dar sunkiau daugeliui fizikinių ir biologinių sistemų. Tad B. Huntas ir E. Otas įvedė lankstesnį besiplečiančios entropijos apibrėžimą lengviau pritaikomą realistiškesniems modeliams. Jiedu išplėtė ir chaoso apibrėžimą įtraukdami sistemas, kurias vystymosi metu veikia išoriniai veiksniai. Ir jį nesunku pritaikyti kompiuteriniams paskaičiavimams.

Pvz., dvi identiškos chaotinės sistemos su skirtingomis pradinėmis sąlygomis gali vystytis visiškai skirtingai, tačiau sistemas veikiant išorine jėga jos gali pradėti sinchronizuotis. Pritaikius besiplečiančios entropijos chaoso apibrėžimą ir nustatydami, ar originalios sistemos atsako chaotiškai į poveikius, tyrinėtojai gali pasakyti, ar jie turi kokį nors chaotinės sistemos valdymą. Toks valdymas, pvz., gali būti pritaikytas kuriant labai saugias komunikacines sistemas ir efektyvesnius širdies stimuliatorius.

---

^*) Edvardas Lorencas (Edward Norton Lorenz, 1917-2008) – amerikiečių matematikas ir meteorologas, sukūręs teorinį pagrindą oro ir klimato prognozėms bei pagrindą kompiuteriniai atmosferos fizikai ir meteorologijai. Nuo 1955 m. dirbo MIT. Buvo vienu chaoso teorijos pradininkų, sukūrė „Lorenco atraktorių“, įvedė „drugelio efekto sąvoką“. Skaitmeninėmis oro prognzėmis susidomėjo 6-me dešimtm.; šio dešimtmečio pabaigoje skeptiškai žiūrėjo į tiesinius statistiniu smetodus meteorologijoje, nes dauguma oro reiškinių buvo netiesiniai. 1961 m. naudojo paprastą LGP-30 kompiuterį oro modeliavimui pagal 12-a kintamųjų. Kai panoro „sutaupyti“ ir tęsė simuliaciją nuo vidurio įvesdamas anksčiau atspausdintas reikšmes, jis aptiko, kad jis gauna visai kitokius rezultatus nei paskaičiuoti prieš tai (tai nutiko dėl nežymaus skaičių apvalinimo). Taip jis nustatė, kad nežymūs pakeitimai pradinėse sąlygose gali sukelti didelius pokyčius ilgalaikėje perspektyvoje. 1983 m. gavo Krafordo, o 1991 m. – ir Kyoto premiją.

Triukšmai
Kvantinis chaosas
Robotų iškilimas
Monte-Karlo metodas
Antigravitacijos paieškos
Kvantinio pasaulio katinai
Pasikėsinimas į multivisatas
Izingo modelis įmagnetinimui
Chaosas linksta į sinergetiką
Paslaptingi Markovo procesai
Paradoksai sulig dirbtiniu intelektu
Labai prasta balerina ir šuolis laike?
S. Hokingas: nenurimstantis invalidas
Kvantinė chemija – ateities mokslas?
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Šiuolaikinė fizika – į tiesą panašus mitas?
Savaime besiorganizuojantis kvantinis pasaulis
Paslaptingas Tesla: gyvenimas ir palikimas
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Šokis aplink kontinuumo kardinalumą...
Įvairiapusis Ričardas Feinmanas
Labai suderinta Visatos sandara
Intuicijos problema pas Puankarė
Žaidimų teorijos panaudojimas
Galvaninės teorijos pradžia
Matematikos šlovė ir garbė
Kaip sukurti laiko mašiną?
Lygiagrečios visatos
Visatos modeliai
Vartiklis