Mazgai ir mazgų teorija  

Tai įžanga straipsniui Revoliucija mazgų teorijoje

Anksčiau buvo pristatytas straipsnio apie mazgus vertimas. Kad jis būtų lengviau suprantamas, pateikiu ir šį populiarų įvadą į mazgų teoriją.
Pastaba: Ši įžanga nėra minėto straipsnio dalimi...

Mazgų teorija daug kuo naudinga, o jos tyrimo objektas mums gerai žinomas – su jais susipažinęs kiekvienas, bandęs atraizgyti mazgą (batų raištelio ar valo žūklės metu). O ir istorija jų ilga: perverto vilko danties (matyt, karoliaus dalies) amžius yra 300 tūkst. m. Gal akmens amžių netgi geriau būtų vadinti virvelių amžiumi.

O matematinė mazgų teorija prasideda 1867 m. kartu jau primiršta sūkurine atomo teorija (Vortex theory), turėjusia paaiškinti: a) atomų stabilumą; b) jų įvairovę; c) atomų vibracines savybes, kurias rodo spektrinės linijos.

Stebėdamas draugo fiziko P. Teto leidžiamus cigaro dūmų žiedus, lordas Kelvinas2) stebėjosi šių stabilumu ir vibravimu. Jis atomus įsivaizdavo kaip eterio sūkurius. Iš kur tada atsiranda atomų įvairovė? 1867 m. straipsnyje Karališkai draugijai teigė:

„... pateikiami atomų, kaip susimazgusių ir susijusių sūkurių, modeliai; jų begalinė daugybė yra daugiau nei pakankama, kad būtų galima paaiškinti visos žinomos materijos alotropijas ir panašumus.“
  [ Pastaba: Alotropija – savybė turėti kelias būsenas ar formas ]

Pirmiausia reikėjo palyginti mazgus, tai P. Tetas ėmėsi klasifikuoti mazgus. Sūkurinė atomo teorija netrukus nuėjo į istoriją, tačiau mazgų iki 10-ies susikryžiavimų klasifikavimas bei P. Teto suformuoti teiginiai (kai kurie įrodyti visai neseniai) pasitarnavo mazgų teorijos susiformavimui.

Mazgų pavaizdavimui galime paimti virvelę ir užmegzti mazgą:
Paprastas mazgas

Tokio mazgo, paėmus virvelę už galų ir jų nepaleidžiant, niekaip neatriši. Tai galima padaryti tik paleidus vieną galą arba perkirpus virvelę. Tad čia ir iškyla klausimas – kaip teoriškai nustatyti, kuriuos mazgus galima atmezgioti, o kurių ne.

Kad nereiktų virvutės laikyti už galų, galime juos sujungti. Taip gausime paprasčiausius mazgus: trilapį ir jo veidrodinį atspindį:
Paprasti mazgai

Taigi, mazgus galime vaizduoti mazgų diagramomis. Belieka nustatyti, kada dvi diagramos vaizduoja tą patį mazgą. Kad tai įsitikintume, turime vieną diagramą suvesti į kitą, kas ne taip paprasta, kaip atrodo, pvz., P. Teto lentelėse buvo du 10-mt kartų susikryžiuojantys mazgai, kurių tapatumą K.A. Perko1) įrodė tik 1974 m. Tačiau dar sunkiau įrodyti, kad du mazgai skirtingi, t.y. niekaip vienos diagramos negalima suvesti į kitą. Tai pagrindinė mazgų teorijos problema, kuri iki galo dar neišspręsta. Dalinis sprendimas – rasti mazgų invariantus, kuriuos galima apibrėžti diagramomis ir kurie kitose diagramose yra tokie patys.

Reidemeisterio ėjimai

To paties mazgo perėjimus nuo vienos mazgų diagramos prie kitos galima suskirstyti į kelis pagrindinius ėjimus. 20 a. 3-me dešimtm. K. Reidemeisteris įvedė 3 pagrindinius veiksmus (ėjimus):

R1 susukti / atsukti (twist / untwist ):
Reidemeisterio ėjimai. No.1

R2 užstumti / nustumti (poke / unpoke ):
Reidemeisterio ėjimai. No.2

R3 slinkti (slide):
Reidemeisterio ėjimai. No.3

arba (vaizdžiau, irgi R3):
Reidemeisterio ėjimai. No.3

Juos dar papildykime trivialiu „patampymo“ veiksmu R0:
Reidemeisterio ėjimai. No.0

Reidemeisterio teorema

Mazgų diagramos yra abipusiai izotopinės, jei vieną jų galima suvesti į kitą 3-ių Reidemeisterio ėjimų seka.

Pvz.,
Reidemeisterio ėjimai. suvedimas

Pritaikymas

Mazgų teorija turi praktinių pritaikymų. Vienas jų gana matematiškas – chaotinių srautų tyrimai. Įdomesnis yra taikymas DNR, prasidėjęs 1985 m. V. Joneso seminare Ženevose, kur buvo nagrinėjami operatorių algebros klausimai. Vienas klausytojų pastebėjo, kad aptariami elementų dėsniai pasireiškia ir kasų teorijoje. Kartu bevystant tas idėjas susiformavo nauja mazgų daugianarių teorija, pritaikyta tiriant, kaip DNR molekulės išsinarplioja, kai dalijasi.

Mazgai atsispindėjo ir mene. Pvz., J. Robinsonas, panaudodamas Boromėjų žiedus*), sukūrė įvairių skulptūrų.
Robinsono statula pagal Boromėjų žiedus


Borromean rings

*) Boromėjai – Italijos giminė, kurios herbe buvo pavaizduoti šie žiedai.

1) Keneth A. Perko (1941-2002) – JAV teisininkas ir, iš dalies, matematikas.

Išplito legenda, kad šis teisininkas, be jokio matematinio išsilavinimo, iš nuobodulio ofise raizgė virvę pagal knygą, ir netikėtai aptiko, kad mazgas 10161 transformavosi į 10162.

Iš tikro, tai jis gavo matematinį išsilavinimą (nors ir negynė daktarinės disertacijos), klausydamas žinomų mazgų teorijos topologų (Fox, Milnor, Neuwirth, Stallings, Trotter, Tucker) paskaitų. Fox‘a pasiūlė Perko perskaityti paskutinį Reidemeisterio knygos skyrių ir pažiūrėti, ar galima nustatyti, kaip jis paskaičiavo tuos jungiančius skaičius. Tai atvedė prie kai kurių įdomių rezultatų ir Perko žinomu specialistu šioje srityje.

Vėliau jis studijavo teisę, tačiau liko susidomėjęs mažų matų topologijos klausimais ir dažnai skelbė straipsnius.

  • K.A. Perko Jr. On the classification of knots// Proc. Amer. Math. Soc. 45, 1974, pp.262-266
  • 2) Viljamas Tomsonas (William Thomson, 1st Baron Kelvin, 1824-1907) – britų mokslininkas, teorinės fizikos specialistas, ir mechanikas-inžinierius. Prisidėjo vystant matematinę elektros teoriją bei suformulavo pirmąjį ir antrąjį termodinamikos dėsnius (taip pat žr. >>>>>).

    Gausi jo darbų tematika: termodinamikos ir hidrodinamikos tyrinėjimai, bangų teorija, termoelektros teorija, kurioje yra „Tomsono efektas“ (elektros srovės pernešama šiluma), tamprumo tyrinėjimai, darbai dinaminės geologijos srityje ir kt.

    Žinomas ir daugeliu daugeliu praktinių išradimų: veidrodinio galvanometro, onduliarotiaus su sifoniniu rašalų pateikimu, jūrų kompaso, elektrometrų ir daugelių kitų elektros matavimo prietaisų, tarp kurių išskirtiniausias amper-svarstyklės, taikomos elektros prietaisų patikrai.

    Jis žinomas evoliucijos teorijos kritika. Pagal savo Saulės amžiaus paskaičiavimus, kurioje, jo nuomone vyksta degimo procesas, teigė, kad istorinio laiko nepakanka gyvūnų pasaulio evoliucijai. 1903 m. atrastas radioaktyvus skilimas nepakeitė jo nuomonės apie Saulės amžių – jis Žemės amžių laikė esant 20-40 mln. m.

    1870-1890 m. tarp britų fizikų buvo labai populiari sūkurinė atomo teorija (atomas – sūkurys eteryje), kurią palaikė ir Tomsonas. O kartu su P. Tetu padėti pagrindai mazgų teorijai.

    Iš jo knygų žinomiausia yra „Apie gamtos filosofiją“ (1883), išdėstanti teorinės fizikos mechaninius pagrindus.
    Jo garbei pavadintas temperatūros vienetas kelvinas (K)

    Topologija
    Kaip pakuoti standžiau?
    Revoliucija mazgų teorijoje
    Kirmgrauža tarp matematikos sričių
    Aukso gysla Ramanadžano lygtims
    Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
    Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
    Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
    Moksleivis „perkando“ I. Niutono uždavinį
    Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
    Mokslininkui nereikia matematikos!
    Diagramos, pakeitusios pasaulį
    Da Vinči matematinė klaidelė
    Proveržis skaičiuojant skaidinius
    Izingo modelis įmagnetinimui
    Scenoje - paprastos grupės
    Kur viešpatauja chaosas?
    Visata kaip kompiuteris
    Matematika ir muzika
    Ar viskas čia taip?
    Dalyba iš nulio
    Minties virusai
    Matroidai