Scenoje - paprastos grupės / Simple Groups. Vartiklis

Rubiko kubo įkvėptos naujos dėlionės suteikia galimybę susipažinti su naujais pasukimais ir matematinėmis esybėmis, kurios vadinamos sporadiškomis paprastomis grupėmis.

Milijonai žmonių yra į rankas paėmę Rubiko kubą, kurios išpopuliarėjo 8-8 dešimtmečiais. Jei kažkaip praleidote jį (arba 1980-uosius! ), tai paaiškinsiu, kad kubas yra plastikinis užburiantis žaisliukas, atrodantis tarsi būtų sudarytas iš 27 kubiukų, sudėliotų į didesnį kubą. Visi 6-i didesnio kubo šonai nuspalvinti skirtingomis, akį patraukiančiomis spalvomis – dažniausiai mėlyna, žalia, oranžine, raudona, geltona ir balta. Sakėme, kad kubas atrodo esąs sudarytas iš kubelių, tačiau tai tik išorinis įspūdis. Viduje yra gudrus mechanizmas, kurį 1974 m. išrado vengrų mokytojas Erno Rubikas (ir nuo jo nepriklausomai, 1976-ais, japonų inžinierius Terutoši Išige), kuris leidžia bet kurį šoninio kubelio šoną pasukti apie jo centrą. Uždavinys: atsitiktinai susukiotą margaspalvį kubą vėl sugražinti į pradinę būseną, kai kiekvienas šonas yra tik vienos spalvos.

Šis kubas, daugiabriaunis ir visi panašūs daikčiukai, kuriems impulsą davė Rubiko kubo populiarumas, vadinami perstatų dėlionėmis, nes jų pagrindas yra „ėjimai“, kurie pakeičia (arba perstato) dėlionės elementus. Kiekvienos tokios dėlionės tikslas yra atstatyti pradinę būseną.

Perstatų dėlionės yra glaudžiai susiję su matematine perstatų grupės sąvoka, - tai visų galimų ėjimų sekų aibė. Matematikoje grupė gali būti suprantama, kaip įprastos aritmetikos apibendrinimas. Sveiki skaičiai (teigiami ir neigiami) kartu su sudėties operacija sudaro grupę. Tačiau grupės gali būti sudarytos ir iš daugelio kitokių tipų objektų: fizinių objektų sukinių ir atvaizdavimų, įvairių perstatų su raidėmis ar šiaip daiktais, matricų ir t,t, - jei tik su grupės elementais išlieka jų kombinavimo operacija tokia, kad jos rezultatas irgi priklauso grupei.

Be grynai matematinio aspekto, grupių teorija turi efektyvių taikymų ir kitose srityse: kristalografijoje, elementariųjų dalelių fizikoje, stygų teorijoje (fizikoje) ir netgi telekomunikacijose. Rubiko kubo sprendimas irgi leidžia pajusti abstrakčios teorijos principus.

Kai tik žmonės pakankamai įgunda susukioti kubą, jie neretai pastebi, kad tos pačios strategijos gali būti pritaikomos sprendžiant beveik visas kubo įkvėptas perstatų dėliones. Tačiau, lyg tyčia, šiame taške potraukis šio tipo užsiėmimams dažniausiai dingsta. Taip yra todėl, kad visos tokios dėlionės yra tam tikro specialaus tipo grupės. Taip kai kam ir kilo mintis apie žaidimus, pagrįstus visai kito tipo grupėmis, vadinamosiomis sporadiškai paprastomis grupėmis. Jų savybės yra ne tik savitos, bet ir mažai žinomos ne specialistams.

Grupės gali būti begalinės arba baigtinės. Mūsų minėta sveikų skaičių grupė su sudėties operacija turi be galo daug elementų. Tuo tarpu Rubiko kubo grupė yra baigtinė, nors visų galimų veiksmų sekų aibė yra begalinė. Taip yra todėl, kad dvi sekos, iš tos pačios pradinės padėties pasiekiančios tą pačią kitą padėtį yra laikomos ekvivalenčiomis. Rubiko kubelių skirtingų konfigūracijų skaičius tiesiog milžiniškas, apie 4 x 10¹⁹ (jei tiksliai, tai 43 252 003 274 489 856 000), ir nors tai nepaprastai daug, vis tik grupės elementų skaičius yra baigtinis.

Rubiko kubo notacija

Vienas svarbių klausimų yra paprasta vienareikšmiška žymėjimo sistema.
Rubiko kubo grupės elementai yra veiksmai, t.y. pasukimai, o jų kombinacija pavadinta „ir tada“ operacija. Veiksmą galime užrašyti pirmąją šono centrinio kubelio (kuris nesisuka) spalvos raide (M, Ž, O, R, G, B) ir kažkokiu būdu, nurodančiu, kaip atliekamas pasukimas. Viena pati raidė žymi pasukimą laikrodžio kryptimi 90^o kampu. Indeksas parodo kitokius pasukimus: M² reiškia mėlyno šono pasukimą laikrodžio kryptimi dukart (180^o), o Ž^-1 - žalio pasukimą prieš laikrodžio rodyklę. Kubo orientaciją galima nurodyti trijų matomų vidurinių kubelių spalvomis, pradedant vardinti nuo viršutinių (iliustracijose - OGM).
Rubik Cube

Pastaba: eilės tvarka yra svarbi
Veiksmų eilės tvarka yra kritinė kubo sudėliojimui, tad žymėjimas turi atspindėti skirtumus. Pavyzdžiui, GM ir MG seka negrąžina pradinės padėties.
Rubik Cube

Iškoduotas Rubiko kubas

Tipinės perstatų dėlionės, tame tarpe ir Rubiko kubas, gali būti išsprendžiamos taikant dviejų žingsnių strategiją.

1 žingsnis
Bandymų ir klaidų metodu pasirinkite trumpą atsitiktinę veiksmų seką (žymenys aprašyti įterpinyje), pvz., GMG^-1M^-1.
Pakartokite ją kelis kartus. Neretai tai atves į tokį išdėstymą, kai pasikeičia vos keli kubeliai – o tai jau naudingas įrankis sprendimui surasti. Mūsų nurodyta seka, pakartota tris kartus, sukeičia vietomis dvi kampinių kubelių poras (porą, gretimą mėlynam ir oranžiniui šonui, Rubik Cube ir porą, gretimą geltonam ir raudonam šonams – kubeliai P ir Q).
(OGM orientacija)

2 žingsnis
Pritaikykime ir apibendrinkime surastus naudingus veiksmus, pvz., poros kampinių kubiukų gretimų raudonam ir baltam šonams sukeitimui (E ir F). B²O^-1 tuos kubiukus perkelia į P ir Q padėtį. Tada pritaikome jau žinomą seką (GMG^-1M^-1)³ ir pagaliau OB^-2 atstato pradinę orientaciją.
Rubik Cube
(ŽBR orientacija)
Panašiai galime atrasti ir kitas sekas, kampinių blokų perkėlimui į P ir Q padėtį.

Ir vis tik, nepaisant didelės grupės „erdvės“, nesunku pasiūlyti sprendimą, besiremiantį keliais paprastais triukais. Tam reikia pieštuko, popieriaus lapo ir vieno Rubiko kubo (geriausia, nesulaužyto). Pirma, jums reikia kažkokio patogaus būdo veiksmų užrašymui (žr. įterpinį šalia), o antra, reikia tam tikrų trumpų veiksmų sekų, kurios atlieka tam tikras užduotis, pvz., sukeisti vietomis kampinius ar šoninius kubiukus (žr. įterpinį). Idėja tame, kad sistemingai pritaikyti atitinkamas sekas tol, kol kubas bus sudėliotas.

Sistemingas požiūris, pradėtas bandymų ir klaidų metodu, beveik neišvengiamai atveda prie naudingų sekų, suteikiančių pakankamą lankstumą, leidžiantį sudėlioti kubą. Mat pagrindiniai algebriniai Rubiko grupės komponentai yra vadinamosios simetrinės grupės, kurios yra visų galimų duoto kiekio objektų perstatų grupės ir su jomis artimai susijusios kintančio ženklo grupės, turinčios tik po pusę simetrinės grupės elementų. Taip simetrinė grupė S₃ turi 3! = 1 x 2 x 3 = 6 galimas trijų elementų perstatas (žr. trečią įterpinį), o su ja susijusi kintamo ženklo grupė A₃ turi 3 elementus. Tarp simetrinių grupių, susijusių su Rubiko grupe, yra simetrinė grupė S₈ (visų kampinių kubelių perstatos, 8! = 40.320 elementų) bei S₁₂ (briaunų kubelių perstatos, 12! = 479.001.600 elementų).

Naujos dėlionės irgi yra perstatų dėlionės, tačiau jų pagrindas yra vadinamosios sporadiškos paprastos grupės. Aiškinimą pradėkime nuo pogrupio koncepcijos. Tarkim, kad leista pasukti tik mėlyną ir geltonos spalvų šonus. Šiuo atveju grupės elementų kiekis yra mažesnis nei visos Rubiko kubo grupės. Kai visi galimų poaibio veiksmų rezultatai yra tame pačiame poaibyje, turime pogrupį. Tada paprasta grupe vadiname grupę, kuri neturi „teisingų, normalių“ pogrupių (žr. detalesnį paaiškinimą įterpinyje).

Sąvoka „paprasta“ gali būti viena didžiausių klaidinimų matematikos istorijoje. Iš tikrųjų, tai paprastos grupės yra pačios sudėtingiausios matematikų įvestos esybės. Jos „paprastos“ tik ta prasme, kad jie yra grupių teorijos pirminiai blokai, „atomai“. Tai tarytum pirminiai skaičiai, iš kurių sandaugų sudaromi visi kiti skaičiai. Taip ir kiekviena baigtinė grupė yra „išskaidoma“ į paprastas grupes.

Visos paprastosios grupės yra nustatytos ir suklasifikuotos: atrastos maždaug 1860-1980-ais, o daugiausia klasifikuotos 20 a. 5-9 dešimtm. (neseniai klasifikacija patikslinta). Joms skirtai temai pašvęsta per 500 straipsnių (10 tūkst. puslapių) įvairiuose matematiniuose žurnaluose. Dabartinis įrodymas rodo, kad yra 18-ka paprastų baigtinių grupių šeimų (kurių kiekvienoje yra begalinis tam tikro tipo grupių skaičius) bei 26-ios vadinamųjų sporadinių.

Kas yra sporadiška paprasta grupė?

Simetrinė visų galimų n objektų ar simbolių perstatų grupę žymėsime S_n. Pvz., S₃ yra trijų objektų galimos 6-ios perstatos. Perstatų grupėje visada yra „tuščia“ Sporadic Simple Group perstata, kai niekas nekeičiama ir ji žymima (1). (1,2) sukeičia vietomis pirmą ir antrą objektus; (1,3) sukeičia vietomis pirmą ir trečią objektus. Galime (1,3) perstatą pritaikyti (1,2) perstatos rezultatui, tai užrašoma (1,2) o (1,3). Tokių dviejų perstatų kombinacija yra ekvivalentiška vienai perstatai, kuri užrašoma (1,2,3). Šis pažymėjimas yra sutrumpinimas objektų pastūmimui į dešinę (ar pasukimui ratu): pirmas į antro poziciją; antras į trečio poziciją, o trečias į pirmo poziciją.

Žaidimo pavadinimas – daugyba
Lentelė pateikia trijų objektų visų 6-ių perstatų galimus derinius – jų yra 36. “Tuščia“ perstata (1) elgiasi tarsi vienetas skaičių daugybos lentelėje.

Išliekant pogrupyje
Kiekvienas trijų perstatų „sandaugos“ rezultatas yra viena iš tų pačių perstatų, todėl tos trys perstatos irgi sudaro grupę – tai platesnės grupės S₃ pogrupis.

Galima atstatyti
Kiekvienoje lentelės eilutėje yra po vieną rezultatą lygų (1). Tai reiškia, kad kiekvienai perstatai yra jai atvirkštinė, atstatanti pradinę būseną. Tokia operacija žymima g^-1. Taip (1,2,3) atvirkštinė operacija (1,2,3)^-1=(1,3,2), o (1,2) atvirkštinė operacija yra ta pati perstata, t.y. (1,2)^-1=(1,2).

Paprasta grupė
Paprasta grupė yra tokia grupė, kuri neturi „teisingų, normalių“ pogrupių. Kiekviena grupė turi bent du pogrupius: save pačią ir (1). „Teisingas“ pogrupis yra bet kuris kitas, nei šie du.
Paimkime bet kurią perstatą ir ją padauginkime iš perstatos oranžinėje dalyje, pvz., (1,2) * (1,2,3) = (1,3)
Tada rezultatą padauginkime iš atvirkštinės perstatos pirmajai, t.y. (1,3) * (1,2) = (1,3,2) – matome, kad rezultatas vėl yra oranžinėje dalyje.
Tokią savybę užtikrinantis pogrupis vadinamas „normaliu“.

O kas yra sporadinė grupė?
Dauguma paprastų grupių buvo suklasifikuotos į šeimas su begaliniais narių kiekiais. Tačiau 26-ios yra kitokios ir nei priklauso toms šeimoms, nei turi didelių bendrumų. Nenorint jų vadinti „kitomis“, šios grupės pavadintos sproradinėmis.

Pristatysime tris naujas dėliones, pagrįstas sporadinėmis paprastomis grupėmis M₁₂, M₂₄, Co₁. Jos yra labiau ribojančios nei simetrinės grupės, nes turi gerokai mažiau perstatų (M₁₂ - 95.040, M₂₄ - 244.823.040, Co₁ - 8.315.553.613.086.720.000), tačiau šioms dėlionės neveikia strategijos, kurios taikomos Rubiko kubui.

Iš jų yra paprasčiausia yra M₁₂, viena pirmųjų 5-ių prancūzo E. Mathieu atrastųjų 1860- ame dešimtmetyje, todėl ir vadinamų jo vardu. Dėlionę sudaro sumaišyta skaičių nuo 1 iki 12 seka (žr. įterpinį). Leistini tik du veiksmai, tačiau jie gali būti pritaikyti kiek norima kartų ir bet kokia tvarka. Tikslas – gauti skaičius didėjimo tvarka {1, 2, ..., 12}.

Duosime vieną užuominą: galima bet kuriuos 5-is skaičius perkelti į bet kurias 5-ias pozicijos sekoje iš 12 skaičių. Kai tik tai padaroma, visi likusieji skaičiai sukrenta į reikiamas vietas. Perstatų skaičius (95.040) atitinka būtent šį 5-ių iš 12-os skaičių perrinkimų kiekį. Išskyrus vadinamąjį „nulinį“ veiksmą, kiekvienas veiksmas turi palikti mažiau nei 5-is skaičius toje pačioje vietoje arba, kitais žodžiais tariant, pajudinti ne mažiau nei 8-is skaičius.

Kita dėlionė, kurios pagrindas yra M₂₄, M24 puzzle

yra sudaryta iš 23-ių ratu išdėliotų skaičių, tarytum laikrodžio ciferblate, o 24-asis yra greta apskritimo. Ir vėl leistini tik du ėjimai (žr. įterpinį). M₂₄ irgi yra 5 perkeliamų skaičių dėlionė: dviejų ėjimų kombinacija galima tvarkyti išdėstymą tol, kol 5-i iš 24-ių skaičių bus patalpinti į bet kurias 5-ias iš 24-ių pozicijas. Vėlgi galima pasinaudoti M₁₂ dėlionės triuku: 1-5 skaičius perkelti į jų pozicijas neliečiant savo vietoje esančių skaičių.

Paskutinė dėlionė „Dotto“ yra Conway grupė Co₀, apie kurią John H. Conway paskelbė 1968-ais. Į Co₀ įeina sporadinė paprastoji grupė Co₁ ir joje dvigubai daugiau narių nei šioje. Conway pasikuklino grupę pavadinti savo vardu, todėl ją pavadino „.0” (iš čia ir tarimas „dotto“ – „dot“ – „taškas“). Neaptarsime šios dėlionės detalių, tačiau paminėsime, kad ši grupė yra artima Lyčo gardelėms,„taškų“ aibei arba surūšiuotų skaičių sąrašams 24-matėje erdvėje. Yra žinoma, kad 24-ėje erdvėje, naudojant Lyčo gardeles, supakuojama daugiausia sferų.

Tik keturios sporadinės grupės yra didesnės už Co₁: Janko grupė J₄, Fišerio grupė Fi₂₄ Mažylis Monstras B ir Monstras M (ši yra didžiausia ir turi 8 x 10⁵³ elementų; ją 196.884-matėje erdvėje 1980-aisiais sukonstravo Robert L. Griess). M grupei sukonstruoti dėlionę turėtų būti tikras matematinis iššūkis.