Apie Tarskio skritulio kvadratinimą. Vartiklis

Pastaba: šis uždavinys skiriasi nuo apskritimo kvadratūros uždavinio, pagal kurį reikalaujama, naudojant tik liniuotę ir skriestuvą, duotą skritulį transformuoti į tokio pat ploto kvadratą – ir kuris yra neišsprendžiamas. Tuo tarpu 1990 m. vengrų matematikas Miklos Laczkovich'ius įrodė, kad A. Tarskio skritulio kvadratinimo uždavinys yra išsprendžiamas.

Wooster'io koledžo matematikai parodė, kaip galima kvadratinę vinį sukišti į apvalią skylę. Na gerai, ne visai tai. Alfredo Tarskio 1925 m. suformuluotame skritulio kvadratinimo uždavinyje reikia duotą diską Trevor Evans prize laureats

plokštumoje padalinti į baigtinį kiekį dalių, kurias vėliau būtų galima sudėlioti į tokio pat ploto kvadratą. Wooster'io prof. Pam Pierce¹⁾ sako, kad „geriausias būdas uždavinio iliustravimui yra skritulį aproksimuoti daugiakampiu, o tada sukurti algoritmą, kaip tą daugiakampį sukarpyti taip, kad būtų galima sudėlioti kvadratą. Plika akimi 40-kampio transformacija į kvadratą mažai kuo skirsis nuo skritulio dekompozicijos į kvadratą.

P. Pierce kartu su prof. John Ramsay²⁾ ir 4-iais studentais 2010 m. rugpjūčio mėn. gavo Trevor Evans premiją³⁾ už straipsnį „Suskaidytas skritulio kvadratinimo uždavinys“, paskelbtą „Math Horizons“ 2009 m. lapkritį.

1964 m. L. Dubins, M.W. Hirsch ir J. Karush „Skriestuvinis kongruentumas“ (Israel J. of Mathematics, vol.1, no 4) įrodė, kad Tarskio apskritimo kvadratinimo uždavinys neišsprendžiamas naudojant liniuotę ir skriestuvą. O Wooster'io matematikai straipsnyje pateikė M. Laczkovich'io įrodymo⁴⁾ vizualų paaiškinimą nurodydami, kaip artimai skritulio kvadratinimas gali būti aproksimuotas daugiakampiais, pateikiamas daugiakampio suskaidymo algoritmas ir pateikiami spėjimai, į kiek dalių reikia skaidyti daugiakampį.

Įrodyta beveik pusamžio senumo teorema

Z. Jiang'as (Izraelis) ir A. Polianskis (Rusija) 2017-ais įrodė 1973 m. L. Toto ⁵⁾ suformuluotą teiginį, kad Rutulio dengimas juostomis vienetinio dydžio sfera pilnai padengiama zonomis, kurių bendras plotis yra ne mažesnis nei p.

Tai diskrečiosios geometrijos uždavinys, Jos uždaviniai turi praktinę reikšmę – padeda geriau supakuoti objektus, koreguoti duomenų perdavimo klaidas ir pan. Vienu šios srities uždavinių yra vadinamoji 4-ių spalvų teorema, teigianti, kad 4-ių spalvų pakanka nuspalvinti žemėlapio sritims taip, kad jokios dvi gretimos sritys nebūtų tos pačios spalvos. Ji leido svarbias koncepcijas įtraukti į grafų teoriją.

20 a. buvo sprendžiamos ir kiti paviršiaus padengimo juostomis klausimai. Vienu pirmųjų buvo vadinamoje lentjuosčių problema apie disko padengimą stačiakampėmis juostomis. A. Tarskis ir H. Moese pateikė paprastą įrodymą, kad bendras tų lentelių plotis negali viršyti disko diametro, t.y. geriausias būdas uždengti diską yra viena kvadratine disko skersmens dydžio lenta. Tada Th. Bangas 1950 m. įrodė teoremą apie bet kokio iškilaus paviršiaus padengimą juostomis (kad jų bendras plotis yra bent paviršiaus pločio).

Šis teiginys yra panašus, besiskiriantis tik tuo, kad sfera dengiama specialiai sukonstruotomis zonomis, t.y. tam tikromis trimatėmis „lentelėmis“, simetrinėmis sferos centro atžvilgiu. Tad uždavinys skiriasi nuo ankstesnių tuo, kaip matuojamas jų plotis – jis apibrėžiamas kaip lanlo ilgis.

Alfredas Tarskis (1901-1983, Alfred Teitelbaum) – iškilus lenkų kilmės JAV matematikas, logikas, teisingumo teorijos pradininkas.

Gimė 1901 m. sausio 14 d. pasiturinčioje Varšuvos žydų Ignaco Teitelbaumo ir Rozos Prusak šeimoje. Polinkis matematikai išryškėjo dar mokykloje, tačiau 1918 m. jis įstojo į Varšuvos un-tą ketindamas studijuoti biologiją. Tai metais Lenkija tampa savarankiška valstybe, o Varšuvos universitetas garsėja logikos ir matematikos pagrindų srityse. S. Lesnievskis įtikina Alfredą atsisakyti biologijos, o vėliau vadovauja jo disertacijai. 1924 m. A. Tarskis (pavardę, kartu su broliu, pasikeitė 1923-iais, nenorėdami afišuoti savo žydiškos kilmės; jiedu netgi pasikrikštijo katalikais, nors Alfredas buvo užkietėjęs ateistas – o vėliau, jau JAV, šeimoje kalba tik lenkiškai) gauna filosofijos daktaro laipsnį; lieka dirbti universitete. Tuo laikotarpiu paskelbia keletą darbų iš logikos ir aibių teorijos.

1929 m. veda lenkę Mariją Vitkovską, su kuria susilaukia dviejų vaikų: Janas tapo fiziku, o duktė Ina ištekėjo už matematiko A. Ehrenfeuchto. 1930 m. apsilankė Vienoje, kur susitiko su K. Giodeliu. 1939-ais vyksta į mokslinį kongresą JAV, - prieš pat įsiveržiant vokiečiams į Lenkiją – ir tai jį gelbsti. Jis laikinai įsidarbina Harvardo un-te, kelis kartus keičia darbą universitetuose, kol 1948 m. gauna profesoriaus vietą Berklio un-te, kur dirba iki mirties. Čia sukuria savo mokyklą ir tarp mokinių įgauna griežto ir labai reiklaus vadovo reputaciją. Mirė 1983 m. spalio 26 d.

A. Tarskiui priklauso keletas rezultatų formaliųjų teorijų išsprendžiamumo ir neišsprendžiamumo pirmos eilės logikoje. Žinomiausios yra teoremos apie tiesinės aritmetikos bei euklidinės geometrijos išsprendžiamumą. Pirmosios atveju sėkmingai pritaikytas kvantorių eliminavimo metodas, tapęs vienu pagrindiniu įrodant pirmos eilės teorijų išsprendžiamumą. Antruoju atveju A. Tarskis sukūrė savą euklidinės geometrijos aksiomų sistemą, kuri buvo sėkmingesnė už Hilberto sistemą. Neišsprendžiamumas buvo apibendrintas “Neišsprendžiamose teorijose” (1953), kur buvo parodytas tinklelių teorijos, projektyvinės geometrijos ir vidinių algebrų teorijos neišsprendžiamumas.

Didelę įtaką A. Tarskis padarė aibių teorijai. 1924 m. atskleistas Banacho-Tarskio paradoksas: iš rutulio euklidinėje erdvėje supjaustant ir suklijuojant galima gauti du rutulius, kurių kiekvieno tūris lygus pradinio rutulio tūriui. Jis paaiškinamas tuo, kad objekto tūris negali būti adekvačiai apibrėžiamas laisvai pasirinktoms aibėms, o būtent tokios „aibės be tūrio“ atsirasdavo proceso metu. Paradoksas labai pasitarnavo vystant mato teoriją.

Neseniai filosofų dėmesį patraukė A. Tarskio „Kas yra loginės sąvokos?“ (1986), kurioje išdėstyta jo 1966 m. kalba. Joje jis pasiūlė atskirti logines operacijas (kurias vadino „sąvokomis“, notions) nuo ne loginių. Pasiūlytas kriterijus buvo paimtas iš 19 a. vokiečių matematiko F. Kleino Erlangeno programos, kuri suklasifikavo įvairius geometrijų tipus pagal erdvės vienas-į-vieną transformaciją į save (pvz., tokios transformacijos yra pasukti 30^o ar padidinti 2 kartus). [šią temą būtų verta aptarti atskirai...]

¹⁾ Pam Pierce, gavęs matematikos daktaro laipsnį Sirakūzų un-te, specializuojasi realaus kintamojo analizėje, pagrindinį dėmesį skirdamas Hardy funkcijoms.
²⁾ J. Ramsay, gavęs daktaro laipsnį Viskonsino un-te, specializuojasi algebrinėje topologijoje. Studentai: H. Roberts iš Youngstown (Ohajo v.), N. Tinoza iš Zimbabvės, J. Willert iš Chigrin Falls (Ohajo v.) ir Wenyuan Wu iš Kinijos.

⁴⁾ M. Laczkovich'ius savo įrodyme rėmėsi „išrinkimo aksioma“, todėl jis nėra konstruktyvus (ir naudoja apie 10⁵⁰ skirtingų dalių, kurios yra „neišmatuojami poaibiai“). Faktiškai M. Laczkovich įrodė, kad skaidymą galima atlikti naudojant vien perkėlimą, t.y. nepasukant skritulio dalių.

⁵⁾ Laslo Feješas Totas (Laszlo Fejes Toth, 1915-2005) – vengrų matematikas, specializavęsis geometrijos srityje, vienas kombinatorinės geometrijos pradininkų. 1941 m. pradėjo domėtis pakavimo uždaviniais. Vystė geometrinių struktūrų teoriją plokštumai, sferai ir paviršiams. 1953 m. įrodė, kad Keplerio pakavimo teiginys gali būti suvestas į baigtinį veiksmų kiekį (taigi, išsprendžiamas kompiuteriu).