Borchesas ir matematika  

Matematiko Guillermo Martinez'o*) esė rinkinys „Borchesas ir matematika“ (2003) atskleidžia, kaip Borchesas savo kūryboje panaudojo matematikos koncepcijas – aibių ir chaoso teorijas, rekursiją bei begalines sekas. Ypač stiprios užuominos apie Kantoro begalinių aibių teoriją – jau vien apsakymo „Alef“ pavadinimas yra to iliustracija (žr. apie kardinalinius skaičius). O aibių teorija, pvz., elegantiškai panaudojama apsakyme „Smėlio knyga“ (kurioje tvirtinama, kad tarp bet kurių dviejų elementų galima rasti elementą, esantį tarp jų. Taip pat knyga apibrėžiama, kaip susidedanti iš tokių be galo plonų puslapių, kad galima juos laikyti nulinio mato, arba esančių begalinio ilgio). Kiti kūriniai būtų:
„Babelio biblioteka“ (čia teigiama, kad knygų su fiksuotu simbolių ir puslapių skaičiumi kiekis yra begalinis, tačiau bibliotekoje dėl jų elementų baigtinio skaičiaus jos būtų periodinės ir pasikartojančios. O biblioteka apibrėžiama kaip sfera, kurią galima vizualizuoti kaip trimatę daugdarą su apribojimu, kad ji yra lokaliai euklidinė – taigi kaip toras ar Kleino butelis), „Išsišakojančių kelių sodas“ (pasakojama apie išgalvoto kinų mokslininko Ts'ui Pen apysaką, kurioje siužetas išsišakoja kiekvieną akimirką – tai galima aiškinti kaip vienodai tikėtinas alternatyvias Visatas kvantinėje mechanikoje. Begalinė tikrovių galimybė pateikiama ir apsakyme „Naujojo laiko paneigimai“, 1946), „Priartėjimas prie Al-Mutasimo“.
Esė „Paskalio sfera“ rašoma apie sferą, kurios centras visur ir skersmens nėra niekur, ką galima perteikti kaip sferų su didėjančiais spinduliais seką, kuri apima visą erdvę (ir tai palyginama su specialiu tašku inversijos procese „Alefe“).

Iš tikro Borchesas gavo labai nedaug formalaus mokymosi iki pradedant rašytojo karjerą. Vis tik laikoma, kad jis matematiką suprato universiteto pradinių algebros ir matematinės analizės kursų lygyje – apimant logikos paradoksus, begalybės sampratą ir pagrindines topologijos bei tikimybių teorijos sąvokas bei girdėjo apie tuo metu vykusius debatus dėl matematikos pagrindų. Savo esė „Vėžlio avatarai“ jis mini, kad „5 ar 7 metafizikos, teologijos ir matematikos mokymosi metai mane parengė tinkamai begalybės istorijos planavimui“.

Siūlome trumpas ištraukėles iš prieš tai neminėto kūrinio (iš „Fikcijų“ rinkinio). Ateityje ši tema gali būti praplėsta...

*) Guillermo Martinez (g. 1962 m.) – Argentinos matematikas, rašytojas prozininkas. Jo žymiausias romanas yra „Crimenes Imperceptible“ (2003), dar žinomas kaip „Oksfordo žudikai“ (jis du metus dirbo Oksfordo un-te), už kurį gavo Planetos premiją ir kuris, režisuojant A. de la Iglesia, buvo ekranizuotas 2008 m. Paymėtinas ir esė rinkinys „Nemirtingumo formulė“ (2005).

Tlon, Uqbar, Orbis Tertius (ištraukos)

II

[ ... ] Menkas ir vis tirpstantis prisiminimas apie Herbertą Ashe‘ą, geležinkelio inžinierių Pietuose, tebetvyro Adrogue viešbutyje... [ ... ] Prisimenu jį stovintį viešbučio koridoriuje, rankose laikantį matematikos knygą, įdėmiai žvelgiantį į nesugrąžinamas dangaus spalvas. Vieną popietę aptarinėjome dvyliktainę skaitmeninę sistemą (kurioje dvylika rašoma kaip dešimt). Ashe‘as pasakė, kad jis kaip tik perrašinėja kažkokias dvyliktaines lenteles – pamiršau kurias – į šešiasdešimtaines (kur šešiasdešimt rašoma kaip dešimt) ir pridūrė, jog šį darbą jam pavedė vienas norvegas iš Rio Grande do Sul1). Pažinojome Ashe‘ą jau aštuonerius metus, bet jis niekad nebuvo užsiminęs apie savo apsilankymą Brazilijoje... Kalbėdavomės apie karvių auginimą, apie capangas2), brazilietišką gaucho3) etimologiją (kai kurie seni urugvajiečiai tą žodį taria gaucho), ir nieko daugiau nebuvo pasakyta – tegul Dievas man atleidžia – apie dvyliktaines lenteles. 1937-ųjų rugsėjį mėnesį (mūsų tuo metu nebuvo viešbutyje) Herbertas Ashe’as mirė nuo trūkusios aneurizmos. [ ... ]

… kas buvo Tlono kūrėjai? Daugiskaita neišvengiama, nes vieno išradėjo hipotezę – vieno begalinio Leibnico, veikiančio kukliai ir tamsybėse4) – mes vienu balsu atmetėme. Yra spėliojama, kad šį brave new world 5) sukūrė slapta draugija6), vadovaujama nežinomo genijaus, kuriai priklausė astronomai, biologai, inžinieriai, metafizikai, poetai, chemikai, algebristai, moralistai, dailininkai, geometrai...

Iš visų Tlono doktrinų skandalingiausia buvo materializmas. Kai kurie mąstytojai aprašė tą filosofiją neaiškiai, bet stropiai, norėdami ją pristatyti kaip paradoksą. Kad palengvintų tų neįsivaizdujamų tezių supratimą, 11 a.7) ereziarchas sugalvojo 9 monetų sofizmą, tokį pat garsų Tlono planetoje, kaip pas mus eleatų aporijos8). To „apgaulingo samprotavimo“ apie kintančias monetas bei kintančius jų radimus yra daug variantų; štai pats paprasčiausias:

Antradienį X, eidamas taku dykumoje, pameta 9 vario monetas. Ketvirtadienį Y, eidamas tuo taku, atranda 4 monetas, praradusias savo blizgesį dėl trečiadienio lietaus. Penktadienį Z atranda 3 monetas tame pačiame take, ir taip pat penktadienį iš ryto X atranda 2 monetas savo namo koridoriuje.

Šia pasakėčia ereziarchas norėjo nustatyti tų atgautų 9 monetų realybę - id est, tęstinumą. Absurdas, (sakė jis) įsivaizduoti, kad 4 iš tos grupės monetų neegzistavo tarp antradienio ir ketvirtadienio, 3 tarp antradienio ir penktadienio popiet, 2 tarp antradienio ir penktadienio ryto. Yra logiška galvoti, kad jos iš tikrųjų egzistavo – gal kokia nors paslaptinga forma, neprieinama žmonių supratimui – kiekvienu iš tų laiko momentų. [ ... ]

Tlono geometriją sudaro dvi skirtingos disciplinos: regimoji ir apčiuopiamoji. Pastaroji atitinka mūsų geometriją ir yra pavaldi pirmajai. Regimoji geometrija remiasi paviršium, ne tašku: ji nepripažįsta paralelių tiesių ir tvirtina, kad tai žmogaus kūnas juda erdvėje, jis keičia formas, kurios jį gaubia. Tlono aritmetikos pagrindas yra begalinio skaičiaus sąvoka. Pabrėžiama, kad reikšmingos sąvokos „daugiau negu“ ir „mažiau negu“, kurias mūsų matematikai ženklina simboliais > ir <. Pripažįstama, kad skaičiavimas pakeičia kiekį iš begalinio į baigtinį. Faktas, kad keli asmenys, skaičiuodami tą patį kiekį, gauna tą patį rezultatą, Tlono psichologams yra tik idėjų asociacijos pavyzdys arba geros atminties įrodymas. Turime prisiminti, kad tenai žinojimo subjektas yra vienas ir amžinas.

Sodas išsišakojančiais takais

[ ... ]

„ [ ... ] ‚Sodas išsišakojančiais takais‘ yra nepilnas, bet ir neiškreiptas vaizdas Visatos, kaip ją suvokė Tsui Penas. Skirtingai nei Niutonas ar Šopenhaueris, jūsų protėvis netikėjo absoliučiu ar vieningu laiku [apie laiko sampratos kitimą skaitykite >>>>>]. Jis tikėjo begalybe laikų, svaiginančiai augančiu tinklu išsiskiriančių, susiliejančių ir lygiagrečių laikų. Šis laiko tinklas, kurio gijos priartėja viena prie kitos, išsišakoja, susipina ar nepaiso viena kitos per amžius, apima kiekvieną galimybę. Daugumoje tų laikų mes neegzistuojame. Kai kuriuose esate jūs, bet ne aš, kituose esu aš, o jūsų nėra, dar kituose esame abu. Iuose, kur atsitiktinumas buvo man palankus, jūs atėjote prie mano vartų. Kitame, perėjęs sodą, jūs radote mane mirusį. Dar kitame aš sakau tuos pačius žodžius, bet esu miražas, pamėklė“ [apie tai galite paskaityti ir „Lygiagrečios visatos“].

Babelio biblioteka

By this art you may contemplate
The variations of the 23 letters...
The Anatomy of Melancholy, part 2, sect. II, Mem. IV9)

Visata (kitaip dar vadinama Biblioteka) – tai neapibrėžta ir, ko gero, begalinė aibė šešiasienių galerijų su erdviomis ventiliacijos šachtomis vidury, aptvertomis labai žemomis baliustradomis. Iš kiekvienos galerijos matyti apatiniai ir viršutiniai aukštai – jų begalė. Galerijų apystata vienoda. [ ... ]

[ ... ]

Prieš 500 m. vienas aukštutinio šešiasienio viršininkas*) aptiko knygą, tokią pat painią, kaip ir visos, tik su dviem puslapiais tapačių eilučių. Jis parodė savo radinį klajojančiam šifruotojui, ir tas pasakė, kad tekstas portugališkai; kiti sakė, kad jidiš. Į amžiaus pabaigą įstengta nustatyti, kokia tai kalba: tai guaranių kalbos samojedų-lietuvių dialektas su klasikinės arabų kalbos galūnėmis10). Iššifruotas buvo ir turinys: kombinatorinės analizės pradmenys, iliustruoti begalinio pasikartojimo variantų pavyzdžiais.

*) Seniau tris šešiasienius prižiūrėdavo vienas žmogus. Savižudybės ir plaučių ligos suardė tą proporciją. Neapsakomai liūdnas prisiminimas: kartais keliaudavau naktų naktis koridoriais bei nusvilintais laiptais nesutikdamas nė vieno bibliotekininko.

1) Rio Grande do Sul (Pietų Rio Grandė, „Didžioji pietų upė“) – piečiausia valstija Brazilijos pietryčiuose, Pietų regione. Valstijos pietuose yra šv. Mykolo misijos griuvėsiai, priklausantys UNESCO paveldui.

2) Capangas (port.), capataz (isp.), cacique (kai kuriuose Lotynų Amerikos kraštuose) – ūkvedys, dažnai žiaurus pono įsakymų vykdytojas.

3) Gaucho – terminas, kuriuo vadinami pampų, Gran Čiako, Patagonijos lygumų gyventojai (Argentinoje, Urugvajuje, pietų Brazilijoje), gyvulių augintojai, žemvaldžiai. Brazilijoje gaučais taip pat vadinami visi Pietų Rio Grandės gyventojai. Gaučai suvaidino svarbų vaidmenį Argentinos ir Urugvajaus istorijoje. Jie buvo vietinių kaudilijų armijų nariai, rengdavo sukilimus prieš valdžią. Buvo linkę į autoritarizmą, formuodavo karines chuntas.

4) Tai gali būti užuomina į Laplaso demoną.

5) O čia jau užuomina į A. Huxley „Puikųjį naująjį gyvenimą“ (1931).

6) Man tai primena Kastiliją iš H. Hesės „Stiklo karoliukų žaidimo“.

7) Amžių Tlono 12-tainėje skaičiavimo sistemoje sudaro 144 m. Tad 11-as amžius prasidėtų 1584 m. Vienu žymesnių to meto filosofų, priskiriamų prie materialistų, būtų T. Hobsas.

8) Aporijos - neišsprendžiamos problemos, paradoksai. Žinomiausios Zenono aporijos.

9) Šio meno dėka jūs galite apmąstyti 23 raidžių variantus, „Melancholijos anatomija“.
Tai anglų dvasininko Roberto Burtono (1577–1640) sudarytas 900 psl. apimties kompendiumas, skirtas melancholijai, jos gydymui, o trečioje dalyje aptariami meilės ir religinės melancholijos atvejai.
Tai užuomina į hebrajų abėcėlę ir jos raidžių perstatas; žr. Gematrijos menas

10) Ispaniškai parašyta Antes de un siglo pudo establecerse el idioma: un dialecto samoyedo-lituano del guarani, con inflexiones de arabe clasico. Guarani – tai Paragvajaus indėnų kalba. Borgesas ją išmoko iš kambarinės. Kaip Borgesas galėjo sumaišyti samojedus su žemaičiais, o Baltąją jūrą su Baltija, nėra visai aišku. Bet tai, kad tokių keistenybių atsitinka, liudija kad ir (Arūno Sverdiolo dėka atrastas) Povilo Reklaičio straipsnis „Keistenybės Lietuvos ikonografijos senovėje“ („Prarastosios Lietuvos pėdsakų beieškant“, V., 1999), kur aptariamos dvi iliustracijos, kurios pavadintos „Uomo della Samogizia (it.) – Homme de la Samoiedes (pranc.)“; t.y. „Vyras iš Žemaitijos – vyras iš Samojedų“. Panaši yra ir „Donna della Samogizia (it.) – Femme de la Samoiedes (pranc.)“ – iš knygos Teodoras Viero. Racolta di 126 stampe che representano, figure ed Abiti di varie Nazioni..., Venezija apud 1783-1791, p.30-31. Gal Borgesas ir matė šią knygą...

Topologija
Nulio istorija
Apie aukso pjūvį
Borchesas. Alefas
Poetinė geometrija
Omaras Chajamas. Rubajatai
Matematikai: Anri Puankarė
Pirmasis Einšteino įrodymas
Iniciatyva: Matematikos keliu
R. Bratičius. Kur tu, Moze?
Indijos matematikos istorija
P. Florenskis ir Maskvos matematikai
B. Raselas. Matematiko košmariškas sapnas
Evaristas Galua: matematikos genijus ir revoliucionierius
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Truputis apie skaičių psichologiją
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Matematika Egipte ir Finikijoje
Hipatija – pirmoji matematikė
Graikų matematikai - filosofai
Matematikos filosofinės problemos
Matematikos ir fizikos šmaikštumai
Matematikos šlovė ir garbė
Parabolės lenktas likimas
Amžininkai apie Laplasą
Peteris Karvašas. Archimedas
Zenono paradoksai
Pirminiai skaičiai
Vartiklis