Matematika Egipte ir Finikijoje. Vartiklis

Apie 2700 m. pr.m.e. egiptiečiai pritaikė dešimtainę skaičiavimo sistemą. Nors ji pas juos nebuvo pozicinė, tačiau leido naudoti didelius skaičius bei vieneto (1/2, 1/3, …) ir „Horo akies“ (t.y. gautas dalijimu pusiau, dvejetaines – 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …) trupmenas. Tuo metu statyboje imtas naudoti ir tikslus lygiavimas, nustatant šiaurę pagal saulės padėtį per vidurdienį.

Apie 2000 m. pr.m.e. pradėjo atsirasti rašytiniai šaltiniai, minintys apytiksles p ir kvadratinių šaknų reikšmes. Pvz., Akhmimo medinės lentelės^*) (AML, apie 1900 m. pr.m.e.)) mini 5-is tūrio vieneto, vadinamo „hekat“, padalijimus (į 3, 7, 10, 11 ir 13), kai hekat vieneto pradinė reikšmė imama kaip 64/64. Taip 1/3 hekat užrašoma kaip 1/4, 1/16, 1/64 ir 1 2/3 ro (ro lygu 1/320) suma. Raštininkas patikrina gautus išskaidymus jį padaugindamas iš pradinio daugiklio (t.y., pvz., 3), parodydamas, kad vėl gauna vienetą (64/64).

Tas išskaidymo procesas aprašomas smulkiai, o vėliau, po 250 m., jį sutrumpino Ahmesas ir kiti Vidurinės karalystės laikų raštininkai. Pvz., Ahmesas neįtraukia patikrinimo proceso. Čia pastebimos pastangos peržengti 64 ribą, įvedant hin, ro ir kitus smulkesnius vienetus. Taip ir medicininiai tekstai su juose esančiais 2000 pavyzdžių naudoja vieneto dalių išplėtimus (10/n hin 1/10 hekat dalims, 320/n ro 1/320 hekat dalims aprašydami ingredientų kiekius.

Dauguma žinių apie matematiką Egipte mus pasiekė iš Rindo papiruso (Raindo arba Achmeso), parašyto apie 1650 m. pr.m.e. bei Akhmimo medinių lentelių (apie 1900 m. pr.m.e.). Manoma, kad jis atspindi Egipto matematikos būklę, buvusią apie 1850 m. pr.m.e. Daugyba ir dalyba buvo atliekamos (atitinkamai) dvigubinant arba dalijant pusiau skaičius. Buvo mokama spręsti tiesines lygtis su vienu nežinomuoju. Jie naudojo metodą, kuris dabar vadinamas „regula falsi“ (klaidingo teiginio metodas). Jų algebra buto retorinė, t.y. nenaudojo simbolių. Uždaviniai buvo formuluojami ir sprendžiami naudojant žodžius. Tačiau, be praktinio uždavinių sprendimo, jau sutinkami ir abstraktūs skaičių apibrėžimai bei aukštesnės aritmetikos formos.

Kairo papirusas (apie 300 m. pr.m.e.) rodo, kad tuo metu egiptiečiai galėjo išspręsti kai kuriuos uždavinius, ekvivalentiškus dviejų nežinomųjų antro laipsnio lygčių sistemoms. Neabejotinai, matematikos vystymąsi Egipte stabdė gremėzdiškas veiksmų su trupmenomis atlikimas.

Berlyno papirusas (apie 1300 m. pr.m.e.) rodo, kad egiptiečiai sprendė dvi antros eilės vieno nežinomojo lygtis (dabar kai kurių vadinamas Diofanto lygtimis).

Kiti šaltiniai apie Egipto matematiką yra Akhmimo medinės lentelės (AML), Egipto matematinis pergamentas, Reisnerio papirusas, Maskvos matematinis papirusas ir Kahuno papirusas, o taip pat ir medicininis Eberso papirusas. AML matematinį turinį 2002 m. ištyrė Hana Vymazalova, patvirtindama, kad visi 5-i minėti “hekat” išskaitymai yra tikslūs bei patikslindama G. Daressy 1906-ųjų analizę ištaisydama dvi joje buvusias klaidas.

Matematikos ištakos sunkiai atsekamos laikais, ankstesniais už Jonijos graikų laikotarpį. Vis tik neabejotina, kad graikai turi būti dėkingi egiptiečių ir finikiečių pasiekimams, apie kuriuos, vienok, žinome nedaug. Čia apibendrinsime tai, kas tikrai žinoma.
Tačiau pirmiausia pastebėkime, kad visos priešistorinės tautos, palikusios užrašų, kažkiek žinojo apie skaičiavimą ir mechaniką; ir nors tų žinių buvo gautos per žemės priežiūrą, tačiau jos iš esmės tebuvo stebėjimų ir bandymų rezultatu, o nebuvo išvedamos ar suformavę tam tikrą mokslo šaką.

Tradiciškai įprasta laikyti, kad graikai geometriją gavo iš egiptiečių, o skaičių mokslą – arba iš egiptiečių, arba iš finikiečių.

Finikiečių žinias skaičių srityje sunku garantuotai aptarinėti. Tyro ir Sidono prekybinė veikla tikrai nebuvo įmanoma be tam tikrų aritmetikos žinių. Babilono lentelė su skaičių kvadratų reikšmėmis rodo, kad tikrai buvo tiriamos skaičių savybės. Anot Strabono, Tyro gyventojai ypatingą dėmesį skyrė skaičių, navigacijos ir astronomijos mokslams. Chaldėjai neabejotinai turėjo domėtis aritmetika ir geometrija, ką rodo jų astronominiai paskaičiavimai. O iš jų tas žinias galėjo perimti finikiečiai. Ir čia nereikia užmiršti, kad Pitagoras buvo iš finikiečių, o, anot Herodoto, Talis (nors tai gerokai abejotina) irgi tos tautos atstovas,

Beje, verta paminėti, kad paplitęs abako ar svanpano (kinų abako) naudojimas leido nesunkiai atlikti sudėties ir atimties veiksmus be jokių teorinių aritmetikos žinių.

Kiek daugiau žinome apie aritmetiką Egipte. Maždaug prieš 40 m. buvo rastas papirusas, dabar priklausantis Rindo kolekcijai Britų muziejuje (vadinamasis Rindo papirusas). Jis parašytas raštininko Ahmeso maždaug 1000 m. pr.m.e., ir pats yram kaip manoma, gerokai senesnio rankraščio kopija. Jis vadinamas „vadovu visiems neaiškiems dalykams“ ir yra aritmetikos ir geometrijos uždavinių rinkinys.

Pirmoji dalis aptaria 2/(2n+1) tipo trupmenų suvedimą į trupmenų, kurių vardiklyje yra vienetas, sumas. Pvz., 2/29 lygu 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232, o 2/97 lygu 1/56 + 1/679 + 1/776. Visuose pateikiamuose pavyzdžiuose n < 50.

Tai, kad tiek daug dėmesio skirta trupmenoms, paaiškinama tuo, kad senovėje veiksmai su jais buvo labai sunkūs. Egiptiečiai ir graikai supaprastino uždavinį suvesdami trupmeną į kelių trupmenų, kurių skaitiklis lygus 1, sumą (su vienintele išimtimi 2/3 ). Tai graikai išlaikė iki pat 6 a. Tuo tarpu romėnai naudojo trupmenas, kuriose vardiklis buvo pastovus ir lygus 12 (kaip ir babiloniečiai savo astronominiuose skaičiavimuose, tik jie vardikliu paėmė 60 – iš čia minutę sudarančių 60 sekundžių – laiko ir kampo matavimuose). Mūsų laikais mes išlaikėme romėniškąją tradiciją, tik vardikliu imame 10.

Bolonijos un-to komandos, vadovaujamos Silvijos Feraros, darbas praplėtė žinias apie Mino kultūros trupmenų rašymą. Ši civilizacija Kretoje gyvavo maždaug prieš 3500 m. ir sukūrė skiemeninio rašto sistemą vadinamą linijiniu raštu A (zr. >>>>>). Jis buvo plačiai naudotas administraciniams tikslams. Jame naudoti ne tik sveiki skaičiai (kurie iššifruoti jau prieš dešimtmečius), bet trupmenas (tokias kaip 1/2. 1/4, 1/8 ir t.t.), dėl kurių mokslininkai tebesiginčija.

Minėta komanda pritaikė metodą, kuriame derino ženklų formą ir jų panaudojimą užrašuose kartu su statistiniais, kompiuteriniais ir tipoginiais metodais. Pasiektus rezultatus paskelbė „J. of Archeological Science“ (2020 m. rugsėjo 7 d.). Tyrimams nemažai trukdė tai, kad užrašai, turintys trupmenų, yra pažeisti, o antra, kai kurie ženklai, atrodo, keitėsi laikui bėgant. Todėl komanda sutelkė dėmesį 1600-1450 m. pr.m.e. laikotarpiui. Buvo nustatyta sistema, kurios mažiausia trupmena yra 1/60, ir kurioje matosi, kad dauguma trupmenų buvo n/60 formos. Šis nustatymas turėjo ir tolimesnių pasekmių – jis paaiškino kaip vėlesnis linijinis raštas B, priimtas Mikenų kultūros (apie 1450-1200 m. pr.m.e.) panaudoja kai kurias iš tų trupmenų perteikiant matavimo vienetus. Pvz., ženklas reiškiantis 1/10 buvo pritaikytas sausų produktų matavimo vienetui.

Toliau Ahmesas aptaria kai kuriuos fundamentalius aritmetikos uždavinius. Panašu, daugybą jis rėmėsi kartotinėmis sudėtimis. Pvz., kai prašoma tam tikrą skaičių a padauginti iš 13, jis pradžioje jį padvigubina gaudamas 2a, tada šią reikšmę vėl dvigubina gaudamas 4a, vėl dvigubindamas (8a), o tada sudėdamas a, 4a ir 8a. Matyt, dalyba irgi buvo atliekama pasikartojančiais atimties veiksmais, tačiau, kadangi retai aiškinta, kaip gautas rezultatas, tai nėra visiškai aišku.

Tada imamasi spręsti kai kurias paprastas skaitines lygtis. Pvz., užduodama: „krūva, jos septyntadalis kartu lygu 19“, kas reiškia, kad reikia rasti tokį skaičių, kurio suma su jo paties septintąja dalimi yra lygi 19 – ir duodamas teisingas atsakymas, kad tas skaičius yra 16 + 1/2 + 1/8.

Aritmetinė papiruso dalis rodo turėjus tam tikrą algebrinės simbolikos idėją. Nežinomas kiekis visada buvo pateikiamas simboliu „krūva“, o sudėtis vaizduota dviem į priekį einančiomis kojomis, atimtis – dviem atgal einančiomis kojomis ar skriejančiomis strėlėmis, lygybė – simboliu -<.

Paskutinėje papiruso dalyje yra įvairūs geometriniai uždaviniai. Užbaigiama su kai kuriais aritmetiniais- algebriniais klausimais, du kurių liečia aritmetines progresijas ir atrodo, kad buvo žinoma, kaip sumuoti tokias sekas.

Tuo tarpu laikoma, kad geometrijos ištakos yra žemės tvarkyme. Šioje srityje gana nesunku atskirti abstrakčius samprotavimus nuo praktinių žemės matavimo uždavinių. Pats žodis geometrija susijęs su žemės tvarkymu: geo- - žemė, metreo - matuoju. Bet graikai visada į mokslą žiūrėjo iš abstraktumo pozicijų – tad pavadinimas neatitinka jų pažiūrų, tačiau gali būti, kad toks pavadinimas atitinka jos naudojimą Egipte. Herodotas (2:109) pabrėžė, kad nuolatiniai Nilo potvyniai nuplaudavo sklypų ribas:

Girdėjau, kad tas karalius [Sesostris] egiptiečiams padalijęs visą Egipto žemę: kiekvienam jis davęs po vienodo dydžio keturkampį sklypą. Iš tų sklypų jis ir gaudavo pajamų, nes buvo įsakęs kasmet duoti jam duoklę. Jei išsiliejusi upė atplėšdavo dalį kurio nors sklypo, tai jo valdytojas, nuėjęs pas karalių, pranešdavęs, kas atsitiko; tada karalius nusiųsdavęs savo žmones apžiūrėti ir išmatuoti, kiek sumažėjo sklypas, kad mokestis būtų atitinkamai sumažintas. Aš manau, kad iš to atsirado žemės matavimo menas [geometrija], kurį vėliau perėmė helėnai. Bet saulės laikrodį su jo rodykle ir 12 valandų diena helėnai perėmė iš babiloniečių.

Tai, kad žydai mažai kreipė dėmesio, bandoma įrodyti netikslumu Biblijoje, kur tvirtinama, kad apskritimo ilgis yra lygus trigubam skersmens ilgiui (1 Kar. 7:23: „Tada buvo nulieta jūra. Ji buvo apskrita, 10 uolekčių nuo vieno briaunos krašto iki kito, ir 5 uolekčių aukščio. 30 uolekčių virvė buvo jos matas aplink briauną“; taip pat ir 2 Kr. 4:2). Beje, ir babiloniečiai laikė, kad p lygus 3.

Egiptiečiai buvo susirūpinę tikslia savo šventyklų orientacija, todėl privalėjo tiksliai nustatyti šiaurės-pietų bei rytų-vakarų kryptis. Šiaurės-pietų kryptį jie nustatydavo stebėdami, kur teka ir leidžiasi žvaigždė. O rytų- vakarų krypties nustatymui jiems reikėjo mokėti nubrėžti stačiąjį kampą. Tai darė specialūs „virvės tempėjai“. Jie imdavo virvę ABCD, padalintą mazgais B ir C santykiu 3:4:5. Dalis BC buvo nutiesiama šiaurės-pietų kryptimi, per B ir C mazgus įsmeigiami smeigai P ir Q. Tada galai BA ir CD sukami tol, kol sutampa A ir D. Toje vietoje smeigiamas smeigas R. Gaunamas trikampis PQR, kurio kraštinės yra santykiu 3:4:5. Kampas ties P yra status, o PR linija yra rytų-vakarų kryptimi. Galima spėlioti, kad egiptiečių geometrijos žinios buvo ir gilesnės, tačiau tegalime remtis tik Rindo papirusu.

Su geometrija susijusioje dalyje Ahmesas pateikia kelis skaitinius pavyzdžius apie svirnų turinį. Gaila, kad nežinome, kokia buvo Egipto svirnų forma, tačiau ten, kur ją nusakė trys dydžiai, tarkim a, b, c, atsakymas visada duotas toks, tarsi būtų teisinga išraiška a * b * (c + 0,5 c). Toliau bandoma rasti tam tikrų stačiakampių figūrų plotus – ir jei tekstas teisingai suprastas, tai kai kurie pateikti atsakymai yra neteisingi. Tada ieškoma apvalaus lauko, kurio skersmuo 12 (neminint matavimo vieneto), plotas ir pateikiamas atsakymas: (d – 1/9 d)², kur – d - skersmuo. O tai prilygsta p=3,1604 (kas artima tikrajai 3,1416 reikšmei. Vėliau pateikiami keli uždaviniai apie piramides. Jų ilgą laiką nepavyko išversti, tačiau Kantoras ir Eisenlohras parodė, kad Ahmesas bandė rasti pagal išorinius objekto matavimus tam tikrų kitų matų, kurių negalima buvo tiesiogiai išmatuoti, proporcijas – tai panašu į tam tikrų kampų trigonometrinių proporcijų suradimus. Duomenys ir rezultatai yra artimi kai kurios tebestovinčioms piramidėms. Gali būti, kad Ahmeso geometriniai pasiekimai tebuvo aproksimacijos, pakankamos praktinėms reikmėms.

Pažymėtina, kad visi Egipto geometrijos pavyzdžiai susiję tik su tam tikrais skaitiniais uždaviniais ir neformuojamos apibendrintos teoremos. Tuo tarpu graikų geometrija buvo deduktyvi. Tai leidžia manyti, kad Egipto geometrija ir aritmetika mažai pasistūmėjo nuo Ahmeso laikų - ir nors pora amžių po Talio Egiptas tebelaikytas svarbia matematikos mokykla, graikai, Jonijos mokyklos dėka, aplenkė savo mokytojus.

Nieko nežinome apie egiptiečių ar finikiečių taikomąją matematiką. Egiptiečių ir chaldėjų astronominiai pasiekimai neabejotini, nors jie daugiausia tebuvo stebėjimų rezultatai: tarkim, finikiečiai tyrė tai, kas buvo reikalinga laivybai. Vis tik, astronomija ne šio straipsnelio tema.

Dar reiktų bent trumpai paminėti kinus, nes vienu metu buvo laikyta, kad jie jau prieš 3 tūkst. m. buvo susipažinę su aritmetikos, geometrijos, mechanikos, optikos, navigacijos ir astronomijos mokslais, o kai kas spėjo, kas tos jų žinios galėjo prasiskverbti į Vakarus. Ir tikrai, kad gana ankstyvame laikotarpyje jie turėjo kai kuriuos geometrinius (ar architektūrinius) įrankius: liniuotę, kampainį, skriestuvą ir gulsčiuką, o taip pat mechanines detales, tokias kaip ratas ir ašis; žinojo įmagnetintos adatos savybę bei tai, kad astronominiai reiškiniai periodiškai kartojasi. Tačiau L.A. Sedillot‘o tyrinėjimai parodė, kad kinai nelabai stengėsi suklasifikuoti ar išplėsti tas kelias savo žinomas aritmetikos ir geometrijos taisykles ar paaiškinti jų stebimų reiškinių esmę.

Požiūris, kad kinai buvo pažangūs teorinės matematikos srityje, atėjo iš klaidingo 16 a. jėzuitų misionierių Kinijoje įspūdžio. Jie neatskyrė pirminio kinų žinojimo nuo to, ką rado dėl arabų ir indų misionierių 13 a. atneštos pažangos, tarkim, sferinės trigonometrijos žinias. Antra, atradę, kad vienas svarbiausių vyriausybės padalinių vadinamas Matematikos departamentas, jie pamanė, kad jo tikslas yra visoje šalyje skatinti matematikos studijas. O iš tikro, jo pagrindinė pareiga tebuvo kasmetinio almanacho parengimas – reglamentuojant daugelį vidaus reikalų.

Vienintelė teorema, kurią neabejotinai galime priskirti senovės Kinijai, kad tuo atveju, kai kraštinių santykiai yra 3:4:5 arba 1:1:

, kvadrato ant įžambinės plotas lygus kvadratų ant statinių sumai. Mažai tikėtina, kad jie žinojo kai kurias geometrines teoremas. Jų aritmetika buvo dešimtainė, tačiau, atrodo, kad jų žinios apsiribojo kiniško abako (svanpano) naudojimu bei sugebėjimu raštiškai išdėstyti rezultatus.

Ir nors galima paminėti kelis filosofus, 5 a. mokiusius įvairiuose miestuose, vis tik atrodo, kad daugumą jų sėmėsi įkvėpimo iš Tarentumo, o amžiaus pabaigoje žvelgė į Atėnus, kaip graikų intelektualinį centrą - ir būtent Atėnų matematinei mokyklai buvo lemta padaryti naują pažangą matematikoje.

^*) Akhmimo (dar vadinamos Kairo) medinės lentelės (kat. Nr. 25367 ir 2536) – dvi medinės lentelės (apie 46 × 25 cm dydžio), datuojamos ankstyvuoju Viduriniosios karalystės laikotarpiu, spėjama iš 12-osios dinastijos Senusret’o I valdymo laikų (apie 1950 m. pr.m.e). Saugomos Kairo muziejuje. Jos aprašinėtos hieroglifais iš abiejų pusių. Apie jas paskelbta 1901 m., o vėlesnė jų analizė paskelbta 1906 m.

Pirmojoje lentelėje eina tarnų sąrašas, po kurio seka matematinis tekstas; antrojoje irgi panašiai. Pvz., pirmuoju uždaviniu 1 hekat, užrašytas kaip 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + (5 ro) [kas lygu 1], dalijamas iš 3. Kiti uždaviniai panašūs.