Australijos aborigenų matematikos samprata  

Gaila, kad įdomus aborigenų kultūros aspektas buvo dažniausiai ignoruojamas antropologų. Kai kurie dalykai jau negrįžtamai prarasti. Daugiausia informacijos pateikia J. Stokes*) straipsnis apie Anindilyakwa matematines žinias (1982), kur ji aptaria nemažai matematinių koncepcijų – kardinalinį skaičių, rūšiavimą, padėtį, laiką, matus (ilgį ir svorį) bei figūras (apvalainumas, kampuotumas). Taip pat šią temą liečia dalys iš J. Rudder'io Yolngu mąstysenos pristatymo (1983). Kitur teapsiribota pastaba, kad aborigenai neturėjo skaičiavimo sistemos (pvz., „Jokioje aborigenų kalboje nebuvo žodžio skaičiui, didesniam nei keturi“, Blake, 1981). Svarbiausia, kad tokie pasakymai yra klaidinantys. Pvz., Kokata (Gugada) kalba turi pavadinimus skaičiams 1-5; Anindilyakwa iš Groote Eylandt‘o – nuo 1 iki 20. Tiwi iš Bathwst ir Melville salų – iki 10. Taip pat yra paliudijimų, kaip jie galėjo derinti žodžius ir ženklus nurodydami gerokai didesnius skaičius. O keisčiausia, kad tyrinėtojai nenorėjo tokiais liudijimais tikėti. Pvz., A.C. Haddon‘as pastebi dėl Tomes Strait salų: „Iš tos pačios salos gavau maura dėl 100 ir kaigasa dėl 1000... bet šiais ir kitais skaičiais aš netikiu“.

To priežastis galėjo būti ta, kad to meto evoliucijos teorija artino prie rasizmo, ir moksliniai žurnalai mirgėjo „įrodymais“ apie aborigenų žemesnį fizinį, kultūrinį ir protinį lygį. Pvz, „[dėl aborigenų] mes abejojam, ar susiduriame su protingomis beždžionėmis ar labai degradavusiu žmogumi“ (A. OldField, 1865). Londono etnologijos draugijos prezidentas J. Crawfurd’as netgi išvedė “civilizacijos škalę”, kurioje pasaulio kultūras sudėsti pagal jų naudojamų žodžių kiekį. Škalės apačioje buvo aborigenai. Tos nuostatos iš dalies išlikę iki mūsų dienų. Pvz., „skaičiavimo sistema atspindi siaurumą: 1 – neecha (1(, 2 – boolla (2), 3 – boolla neecha (2+1), 4 - boolla boolla (2+2). Primityvus skaičiavimas? Seka puikiai dera tamtamo bumbsėjimą (sic!). Tačiau tai tikra pilna Australijos genties skaičiavimo sistema“ (R. Swain and E. Nichols, 1965).

Iš tikro, net jei nėra pavadinimų skaičiams, tai nereiškia, kad nesugebama skaičiuoti. Tad ką reiškia skaičiuoti? Skirtingiems žmonėms is turi skirtingą prasmę. Atrodo, kad antropologams ir kalbininkams tai tėra sugebėjimas iš eilės vardinti skaičius. Tačiau, pati savaime, tai nėra prasminga veikla. Prasmingesnis yra mokėjimas atlikti veiksmus su skaičiais.

Skaičiavimas

Konkrečių žymenų priskyrimas skaičiams skaičiavimo procese yra vidinis reikalas. Ir tokie žymenys privalo turėti ypatingą vaidmenį – jie negali būti skačiuojamos aibės elementų pavadinimai ar aprašai. Skaičių pavadinimai tenkina tai. O kai kurios tautos naudojo abėcėlė skaičiavimo tikslams, pvz., graikai ir žydai. Skaičių žymenys nebūtinai turi būti žodiniai...

Plaštakų menas Dauguma, o gal ir visi, aborigenai skaičiuodami grupuoja po 5, kas nenuostabu, nes 5 ar 10 pagrindą, besiremiantį 5 rankos pirštais, naudoja dauguma kultūrų. Terminas „ranka“ tinka įvardinti penketui. Netgi lietuvių kalboje „penki“ gali būti įtartas esant transformacija iš „pirštas“. Penketų rinkiniuose elementai paprastai ne skaičiuojami, o iškart nustatomi („atpažįstami“).Tokių aborigenų skaičiavimų penketais yra užfiksuota literatūroje – pvz., G. Dawson‘as (1881) pateikia, kaip Tjapwurong ir Gumditjmara skaičiavo iki 100. Dauguma kitų etnografų, pateikę pora žodžių skaičiams, apsiribodavo pastebėdami „toliau jie pereidavo prie pirštų“ ar pan.

Kai kurie autoriai pateikdavo žodžius didesniems skaičiams, tačiau pridurdavo, kad tai nėra tikslūs kiekiai. Pvz., T. Strehlow‘as (1944) pateikia vakarų Aranda žodžius 10, 20, 30 ir 40, tačiau pasako ne tik, kad „jie turi tik apytiksles skaitines reikšmes“, bet ir kitą svarbų dalyką, t.y., kad žinomos ir tikslios reikšmės (kai reikia), pvz., Intitjeritjera (40) buvo „parodyta keturių žmonių kartu sudėjus rankas“. Skirtumas tarp, tarkim, 39 ir 40 gali retai kada būti svarbus Aranda genties žmonėms, tad tokie žodžiai jiems yra tarsi mums sąvoka „tuzinas“.

Tiesa ta, kad daugelyje aborigenų kalbų maži skaičiai sudaromi derinant 1 ir 2 (kai kurios gentys turi ir 3 ar 4 ir t.t. pavadinimą), ir tada būtų „ranka“. Pvz., Wangka skaičiavimo sistema: 1 – kudža, 2- kudžarra, 3 – kudžarra kudžu, 4 – kudžarrakudžarra, 5 – marakudžu (ranka viena), 10 – marakudžarra (rankos dvi)... Tik marakudžu ir marakudžarra dažnai naudojami apytiksliam kiekiui nurodyti – „apie 5, keli“ bei „apie 10, būrelis“, pvz., „marakudžarraya pakarnu“ – „atėjo mažas būrelis“. Didesni apibendrinimai gali būti žymimi „džina-mara“ – „koja-ranka“, kartojant tiek kartų, kiek reikia. Čia reikia pasteėti, kad tyrinėtojų tvirtinimai, kad nežinoma, kiek pirštų turi ranka, netikslūs, nes aborigenai žino, kad tai „ranka“ ir jiems tas klausimas atrodo absurdišku – kaip kad būtų klausti „koks skaičius yra trys?“. Štai Haddon‘as pamini terminus „get“ – „ranka“ ir „koko“ – „koja“, tačiau juos ignoruoja: „Vargiai sakytina, kad Nabiget turi pavadinimą penketui, tačiau yra objektų kiekis lygus rankos pirštų skaičiui“.

Rytų Arnhemo**) Nunggunuyu skaičiavimo sistema, kurią atskleidė N.B. Tindale (1925), A. Capell‘as (1964) ir J. Heat‘as (1982), yra dar vienas įdomus pavyzdys:
1 – anydžabugidž, 2 – wulawa, 3 – wulanybadž (2+1), 4 – wulawulal (2+2), 5 – marang- anydžabugidž (ranka viena), 7 – marang-anydžabugidž-wula (ranka viena [ir] du), 10 - marang-anydžabugidž marang-anydžabugidž (ranka viena [ir] ranka viena).

Tradicinė Australijos aborigenų sistema smarkiai remiasi erdviniais (krypties), o ne skaitiniais ryšiais, kas atsispindi ir jų kalbose. Vienu svarbiu skirtumu yra ir tai, kad žmogaus galūnės („dešiniosios“ ar „kairiosios“) nėra fiksuotos kaip dešinės ir kairios; priklausomai nuo aplinkybių aborigenas gali kalbėti apie savo šiaurinę, pietinę, rytinę ar vakarinę ranką (ar koją). Mat judant 360o atviroje aplinkoje „kairė“ ir „dešinė“ santykyje su kūnu beveik neturi jokios reikšmės. Toji specifinė kultūrinė ypatybė atsispindi ir vietiniame mene.

Iš gramatinės pusės įdomi yra K. Hale analizė, kurioje, pavyzdžiu naudojant Warlpiri, teigiama, kad žodžiai, skirti 1 ir 2, nėra pirminiai skaičiuojami skaičiai, o gramatiniai numeriai. O kalbos, kurioje yra atskiras žodis trejetui, pavyzdžiu yra vakarų Arnhemo Kunwinjku (kaip ir Yolngu, - abiejose yra ir 4 įvardijimas):
1 – na-kuddži, 2 – boken, 3 – dandžbik, 4 – kunkarrngbakmeng, 5 – bunbidkuddži (ranka viena), 10 – bunbidboken (rankos dvi)...
O štai Anindilyakwa turi žodžius skaičiams 1..5, 10, 15, 20:
1 – awilyaba, 2 – ambilyuma, 3 – abiyakarbiya, 4 – abiyarbuwa, 5 – amangbala, 10 – ememberrkwa, 15 – amabuwrrkwakbala, 20 - wurrakiriyabulangwa

Ir nors Yolngu turi savitą skaičių koncepciją, verta prisiminti, kad Yolngu negyveno izoliacijoje. Iki atvykstant europiečiams, jie bendravo su makasanais ir naudojų jų skaičius. Ir šiaip dažnai aiškinama, kad šiaurės pakrantės aborigenų skaičiavimo sistemos buvo Indonezijos kilmės. Bendravo ir su kitais kaimynais. Sobekas (1981) aprašė kaip Galarrwuy Yunupingu išplėtė Yolngu (Gumatdž) galimybes skaičiuoti iki 1250. Tik pastebima, kad dideli skaičiai mažiau prasmingi ir retai naudojami. Tačiau tai ne priežastis teigti, kad jie nenaudojami ar jų nėra.

Taipogi, ir dabar senesni žmonės geba apibūdinti skaičiavimo sistemą (1, 2, ranka) ir atlikti atimties operacijas panaudodami žodžių kombinacijas ar lazdeles su įrantomis.

Išvados

Taigi, aborigenai skaičiavo tiek, kiek norėjo ar jiems reikėjo. Ankstyvieji etnografai, kurie ieškojo atitinkamų verbalinių žodžių, patyrė nesėkmę, nes neatkreipė dėmesio į sudėtinius terminus,kūno dalių terminus ar terminus didesniems skaičiams nei, atseit, vietiniai galėjo juos supasti, o taip pat jie neatkreipė dėmesio į neverbalinius žymenis. Ir blogiausia, kad susidarytas įspūdis apie žemą aborigenų lygį išliko vėlesniems laikams.

Kita vertus, matematika vakarietiška prasme mažai domino Australijos aborigenus. Skaičiavimas buvo prasminga praktinė veikla, o ne abstraktusis mokslas. Jie skaičiavo tai, ką reikėjo skaičiuoti, o kiti gyvenimo aspektai jiems nebuvo įdomūs. Pvz., jei žinote, kas gausioje šeimynoje jau miega, nėra reikalo žinoti tikslaus jų skaičiaus. Kaip anekdotai pateikiami tokie pavyzdžiai (pvz., papildant ar sumažinant pagaliukų skaičių) buvo aborigenų riboto matematinio mąstymo iliustracijomis. Bet tai beprasmiai klausimai žmonėms, kurie skaičioja tik tai, kas turi prasmę.

Skaičiuojama buvo prekiaujant, kalendoriaus reikalais, nustatant mūšio strategiją, paskirstant vėžlio kiaušinius... Taip pat jie atliko ir kitokią matematinius veiksmus, susijusius su erdve, laiku ir padėtimi, forma ir pan.

*) Judita Stoks (Judith Stokes, 1924-2003) – Australijos anglikonų bažnyčios misionierė, atsiųsta mokyti aborigenų vaikų į Angurugu 1952-ais. Vietinė Anindilyakwa kalba buvo Gineso rekordų knygoje kaip sudėtingiausia kalba pasaulyje. 1959-ais ji ėmėsi jos mokytis, nors dvikalbis mokymas vyriausybės buvo draudžiamas iki pat 1974 m. Parengė vadovėlių aborigenų gimtąja kalba. Savo praktinę mokymo patirtį išdėstė straipsnyje apie Anindilyakwa matematines koncepcijas (1982). Dėl vietinių kalbos žinojimo buvo dažnai kviečiama dalyvauti teismuose.

**) Arnhemo žemė - istorinė teritorija Australijos šiaurėje, skalaujama Timoro, Arafuros jūrų bei šios jūros Karpentarijos įlankos, su sostine Darvinu. Joje tradiciškai išskiriami du – Rytų ir Vakarų – regionai (o šiaurės rytų sritis jolungų aborigenų vadinama Miwatj). Pavadinta šį kraštą 1623 m. tyrinėjusio Mato Flinderso, jį pavadinusį savo laivo „Arnhemo“ vardu. Jos plotas apie 97 tūkst. km2. Tai iki 400 m aukščio iškylanti smiltainio plynaukštė, išraižyta upių į atlikuonis; pakrantė smarkiai išraižyta. Slėniuose auga drėgnieji tropiniai miškai, pavėjiniuose šlaituose – eukaliptų miškai ir plyti savanos. Čia kasamas boksitas, urano rūda. Pusiasalyje įsteigtas Kakadu nacionalinis parkas, esantis pasaulio paveldo objektu. Čia rastas seniausias pasaulyje akmeninis kirvis, kuris datuojamas 35 tūkst. m. amžiumi. Arnhemo žemėje gyvena jolungų genties aborigenai, garsūs savo menu ir išlaikytomis tradicijomis. Kraštas pasižymi naudojamų kalbų įvairove – naudojamos 7-ios iš 14-os australietiškų kalbų šeimos ir dar apie 8-ios izoliuotos ir nesuklasifikuotos.
2019 m. buvo paskelbta, kad NASA pasirinko Arnhemo žemę kosmodromo (Arnhemo kosminis centras) vietai; iš jo pirmoji raketa startavo 2022 m. birželio 27 d.

Nuorodos:

  1. J. Stokes. A Description of the Mathematical Concepts of Groote Eylandt Aborigines’// S, Hargrave (ed), Language and Culture; work Papers of SIL-AAB Series B, vol. 6, 1982
  2. J. Rudder. Qualitative Thinking: an examination of the classificatory systems evaluative systems and cognitive structures of the Yolngu people of North-east Arnhem Land, unpublished MA thesis, ANU. 1983
  3. B.J. Blake, Australian Aboriginal Languages, Angus and Robertson, Sydney. 1981
  4. R. Swain, E. Nichols. Understanding Arifhmeric, Holt, Rinehard and Winston, New York, 1965
  5. G. Dawson. Australian Aborigines, George Robertson, Melbourne. 1881
  6. T. Strehlow. Ananda Phonetics and Grammar// Oceania Monographs No. 7, The Australian National Research Council, Sydney. 1944
  7. N.B. Tindal. Natives of Groote Eylandt and of the West Coast of the Gulf of Carpentaria: Parts 1 and 2// Records of the South Australian Museum 3, 1925
  8. A. Capell. Aborigines: Languages// The Australian Encyclopedia, Angus and Robertson, Sydney, 1958
  9. J. Heath. Nunggubuyu Dictionary, Australian Institute of Aboriginal Studies, Canberra, 1982
  10. K. Hale. Gaps in grammar and culture// M. Kinkade et al (eds), Linguistics and Anthropology: In honour of C.G. Voegelin, Peter de Ridder Press, Lisse, 1975
  11. V.C. Sobek. The lmposition of Superimposition: The Gurmatj Number System of North-Eastern Arnhem Land Exposed, unpublished B. Ed. dissertation, Darwin Community College, 1981

Prometėjo pėdsakas
Australijos Svajų metas
Amerikos matematikos pirmtakas
Hipatija – pirmoji matematikė
Indijos matematikos istorija
Euklidas iš Aleksandrijos
Kas tie romėniški skaitmenys?
Matematikos pradžia Lietuvoje
A. Puankarė. Mokslas ir hipotezė
Pi keliai ir klystkeliai
Matematika Egipte ir Finikijoje
Truputis apie skaičių psichologiją
Pitagoro skaičiai per Fibonačio seką
Simpsonų trauka ir žaidimas skaičiais
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Matematika Egipte: Rindo papirusas ir kt.
Svajos ir vieta: aborigenų pabaisos ir jų prasmė
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Džordžas Birkhofas - matematikas ir meno matuotojas
VU Matematikos fakultetas pokariu
Amerikai matematika nereikalinga!
V. Nalimovas. Skaičiaus filosofija
Graikų matematikai - filosofai
Australijos mitai apie tvaną
Mazgai ir mazgų teorija
Borchesas ir matematika
Algebros istorija
Nulio istorija
Vartiklis