Senovės graikų matematikai

Apolonijus Pergietis  

Skaitykite apie Apolonijų kitų matematikų kontekste

Pastaba: šio Apolonijaus nereikia painioti su kitais senovės graikais tuo pačiu vardu - poetais, gramatikais, skulptoriais ir kt.

Apolonijus iš Pergo Apolonijus Pergietis - graikų geometras (apie 262-190 m. pr.m.e.) iš Turkijos pietinės pakrantės Pergo miesto Pamfilijoje (dabart. Murtina Antalijoje, Turkija), tuo metu buvusio kultūros centru, gamtos deivės Artemidės garbinimo vieta. Apolonijus vadintas „Didžiuoju geometru“ ir padarė didelę įtaką matematikos vystymuisi. Savo veikale „Kūgių pjūviai“ naudojo terminus parabolė, hiperbolė ir elipsė.

Jis teigė planetas sukantis apie Saulę, o Saulę apie Žemę. Jam priskiriama epiciklikų ir ekscentrinių apskritimų sistemos sukūrimas, kuriuos plačiai naudojo Hiparchas iš Nikėjos.

Apie jo gyvenimą težinoma tik iš jo veikalo „Kūgių pjūviai“ įvairių pratarmių. Jaunystėje jis nuvyko į Aleksandriją ir mokėsi pas Euklido pasekėjus. Vėliau čia ir mokė. Aplankė senovinį graikų miestą Pergamą Misijoje (dabart. Bergama Izmiro provincijoje Turkijoje), kuriame buvo pastatytas universitetas ir biblioteka. Jis buvo 25 km nuo Egėjo jūros ant kalvos šiaurinėje Kaiko (dabart. Bakiros) upės slėnio dalyje.

Čia jis sutiko Eudemą Pergamietį1) (kitas asmuo nei Eudemas Rodietis1), parašęs „Geometrijos istoriją“), kuriam pristatė geometrą Filonidą3), ir Atalusą, kurį kai kas laiko buvus Pergamo karaliumi Atalusu Pirmuoju4). Vėliau Apolonijaus sūnus, taip pat Apolonijus, Eudemui atnešė „Kūgių pjūvių“ antrosios knygos pataisytą variantą.

„Kūgiai“ sudaryti iš 8 knygų, iš kurių graikų kalba išliko tik pirmosios 4-ios, tačiau arabų kalba išliko net 7- ios. Pirmosios dvi išplito dar juodraštiniame variante. Knygose pateikti 387 teiginiai.

Kūgių pjūviai jį, pirmiausia, domino kreive, kuri susidaro kūgį kertant plokštuma. Pirmosios 4-ios knygos skirtos elementariosioms kūgių pjūvių savybėms. Pirmoje nagrinėjamas santykis tarp diametro ir liestinės; antrojoje hiberbolių ir jų asimptočių sąryšiai, o taip pat kaip nubrėžti liestines kūgių pjūviams. Šiose 4 knygose šalia žinomų dalykų buvo pateikta ir naujų teiginių. Dar daugiau jų 5-7 knygose. Jose aptariami statmenys kūgių pjūviams ir kiek jų galima nubrėžti iš duoto taško, išdėsto teiginį apie kreivumo centrą, išdėstymas, iš kurio lengvai išvedamos evoliutės7) lygtys Dekarto koordinačių sistemoje.

Papusas duoda kai kuriuos jo knygų turinio aprašymus. Tai „Kirtimas santykiu“ (2 kn., išliko arabų kalba ir 10 a. bibliografas Ibn al-Nadim‘as5) minėjo esant išverstus dar tris kitus veikalus), „Kirtimo plotas“ (2 kn.), „Apie apibrėžtą segmentą“ (2 kn.), „Liestinės“ (2 kn.), „Apie loci kreives8)“ (2 kn.) ir „Apie artėjančias konstrukcijas“ (2 kn.).

Apolonijus tolokai pažengė lyginant su Euklido „Elementais“. Pvz., 3 knygoje Euklidas parodo, kaip per tris duotus taškus nubrėžti apskritimą, Taip pat aprašoma, kaip nubrėžti liestinę trims duotoms linijoms. Tuo tarpu Apolonijus parodo, kaip rasti apskritimą, esantį liestine bet kuriems trims duotiems objektams: taškui, linijai ar apskritimui.

Įvairiuose šaltiniuose yra nuorodų į kitus Apolonijaus veikalus, kurių nė vienas neišliko. Hypsiklas6) mini Apolonijaus veikalą lyginant į tą pačią sferą įbrėžtus dodekadroną ir ikosahedroną, kurio irgi buvo dvi versijos. Marino komentare Euklido „Pradmenims“ mini Apolonijaus veikalą, aptariantį matematikos pagrindus - aksiomų ir apibrėžimų reikšmę. Apolonijus taip pat yra parašęs veikalus apie cilindrinę spiralę bei iracionaliuosius skaičius, minėtus Proklo. Eutocijus mini knygą „greitas pateikimas“, kurioje pateikiama apytikslė p reikšmė tikslesnė, nei nurodyta Archimedo:
223 / 71 < p < 22 / 7

Dioklo veikale „Apie uždegančius veidrodžius“ nurodoma, kad, atseit, Apolonijus parodė, kad lygiagretūs spinduliai neatsispindimi į sferinio veidrodžio židinį (kaip iki tol manyta) ir aptarė parabolės židinio savybes.

Apolonijus žinomas ir matematinių metodų taikymu astronomijoje aiškinant planetų judėjimą. Ptolomėjus savo veikale „Syntaxis“ tvirtina, kad Apolonijus įvedė ekcentrinių ir epiciklinių planetų judėjimų sistemas. Tai neturėtų būti visiškai teisinga, nes epiciklikų teorija buvo įvesta iki Apolonijaus. Greičiau, jis padarė reikšmingus jos pagrindimus. Atskirais atvejais, jis tyrė taškus, kuriuose planetos atrodo sustojusios ir pradeda judėti atgal.

Žinomi jo praktiniai kūgių teorijos panaudojimo pavyzdžiai. Jis sukūrė hemiciklusą, saulės laikrodį, kuriame valandų rėžiai buvo nubrėžti kūgio pjūvyje. Toks laikrodis buvo tikslesnis.


1) Eudemas iš Pergamo - 3 a. pr.m.e. filosofas peripatetikas, Filonido iš Laodikijos3) mokytojas. Jam dedikuota pirmosios dvi Apolonijaus „Kūgių pjūvių“ knyga (šiam mirus, 4-a ir vėlesnės buvo dedikuotos Atalui). Minima, kad jis į Romą atgabeno Atalo testamentą.

2) Eudemas iš Rodo (apie 370-300 m. pr.m.e.) – graikų filosofas ir mokslo istorikas, Aristotelio mokinys.
Gimęs Rodo saloje, didžiąją gyvenimo dalį praleido Atėnuose. Labiausiai pasižymėjo sistemindamas Aristotelio mokymą. Jo paties darbai neišlikę, tačiau žinomi iš citavimų. Jis parašė graikų aritmetikos, geometrijos ir astronomijos istorijas. Dar jam priskiriamos teologijos ir Lindoso (Rodo uosto) istorijos, bei keista knyga apie gyvūnus su žmonių savybėm. Proklas mini jį parašius veikalą „Apie kampus“.
„Aritmetikos istorija“ minima tik Porfirijaus, mininčio ją kaip pirmąją knygą, aptariančia skaičių ir muzikos ryšį. „Geometrijos istorija“ cituota daugelio - ir pvz., tik iš jos žinome apie Hipokrato darbą apie pusmėnulių kvadratūrą. O daugelio cituota „Astronomijos istorija“ perdavė žinią apie Talio nuspėtą užtemimą.

3) Filonidas iš Laodikijos (apie 200-130 m. pr.m.e.) – epikūrietis filosofas ir matematikas, dirbęs Seleukidų rūmuose. Apie jį daugiausia žinoma iš „Papirusų viloje“ atrasto „Filonido gyvenimo“. Apolonijus prašė Eudemą parodyti Filonidui 2-ąją jo knygą.

4) Atalas I „Išgelbėtojas“ (269–197 m. pr.m.e.) – Pergamo (Jonijoje) valdovas (241-197 m. pr.m.e). Jo dideliu pasiekimu buvo tai, kad atsisakė mokėti duoklę galatams, naujai iš Trakijos atvykusiai keltų genčiai, ir juos sutriuškino prie Pergamo sienų. Jo pasiskelbimas karaliumu užgavo Antiocho III Hierakso savimeilę, - ir kilusio karo metu Atalas išstūmė Seleukidus į Kilikiją.

5) Ibn al_Nadimas (Abu'l-Faraj Muhammad bin Is'hāq al-Nadim, m. apie 995-998) – persų kilmės musulmonų mokslininkas ir bibliografas iš Bagdado. Apie 987-988 m. sudarė puikų enciklopedinį žodyną „Kitab al-Fichrist“ (Sąrašų knyga), pradėjusį „fichristų“ žanrą.

6) Hypsiklas (apie 190-120 m. pr.m.e.) – graikų matematikas ir astronomas, žinomas veikalais „Apie patekėjimus“ ir jam priskiriama papildoma 14-a Euklido „Elementų“ knyga (apimanti 8 teoremas). Jo knygą apie daugiakampius skaičius cituoja Diofantas. Jam priskiriamas Babilone paplitusio apskritimo dalijimo į 360 laipsnius propagavimas Graikijoje.

7) Evoliutė - visų kreivės kreivumo centrų aibė. Savo evoliutės atžvilgiu kreivė yra evoliutinė.
Pvz., apskritimo evoliutė yra vienas taškas (apskritimo centras).
Evoliutę savo „Kūgiuose“ aptarė jau Apolonijus iš Pergos, taęiau pirmuoju jas tyrusiu laikomas Ch. Hiugensas (1673), laikrodžių kurėjas. Jam evoliučių tyrimai padėjo sukurti izochroninę švytuoklę.

8) Plokštumos loci kreivės - tai kreivės plokštumoje, kurias galime apibrėžti panaudojant atstumą nuo kitų objektų plokštumoje. Pavzydžiai: a) apskritimas, nes jį galima apibrėšti kaip kreivę, nutolusią vienodu atstumu nuo centro; b) parabolė yra taškų, vienodai nutolusių nuo židinio ir direktrisės tiesės, aibė.

Hiparchas iš Rodo
Eudoksas iš Knido
Dioklas ir jo cizoidė
Papusas iš Aleksandrijos
Parabolės lenktas likimas
Hipatija: pirmoji matematikė
Graikų matematikai: Euklidas
Hipokratas iš Chijo salos
Graikų matematikai - filosofai
Matematikai: Anri Puankarė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematika Egipte ir Finikijoje
Matematikos pradžia Lietuvoje
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Matematikai: Davidas Hilbertas
Santykis ir proporcija
Matematikai: Pjeras Ferma
Senovės graikų astronomai
Pitagoro teorema
Pirminiai skaičiai
Nulio istorija
Vartiklis