Senovės graikų matematikai: vėlyvoji graikų matematikos istorija

Apolonijus Pergietis  

Skaitykite apie Apolonijų kitų matematikų kontekste  

Pastaba: šio Apolonijaus nereikia painioti su kitais senovės graikais tuo pačiu vardu - poetais, gramatikais, skulptoriais ir kt.

Apolonijus iš Pergo Apolonijus Pergietis - graikų geometras (apie 262-190 m. pr.m.e.) iš Turkijos pietinės pakrantės Pergo miesto Pamfilijoje (dabart. Murtina Antalijoje, Turkija), tuo metu buvusio kultūros centru, gamtos deivės Artemidės garbinimo vieta. Apolonijus vadintas „Didžiuoju geometru“ ir padarė didelę įtaką matematikos vystymuisi. Savo veikale „Kūgių pjūviai“ naudojo terminus parabolė, hiperbolė ir elipsė.

Jis teigė planetas sukantis apie Saulę, o Saulę apie Žemę. Jam priskiriama epiciklikų ir ekscentrinių apskritimų sistemos sukūrimas, kuriuos plačiai naudojo Hiparchas iš Nikėjos.

Apie jo gyvenimą težinoma tik iš jo veikalo „Kūgių pjūviai“ įvairių pratarmių. Jaunystėje jis nuvyko į Aleksandriją ir mokėsi pas Euklido pasekėjus. Vėliau čia ir mokė. Aplankė senovinį graikų miestą Pergamą Misijoje (dabart. Bergama Izmiro provincijoje Turkijoje), kuriame buvo pastatytas universitetas ir biblioteka. Jis buvo 25 km nuo Egėjo jūros ant kalvos šiaurinėje Kaiko (dabart. Bakiros) upės slėnio dalyje.

Čia jis sutiko Eudemą Pergamietį1) (kitas asmuo nei Eudemas Rodietis1), parašęs „Geometrijos istoriją“), kuriam pristatė geometrą Filonidą3), ir Atalusą, kurį kai kas laiko buvus Pergamo karaliumi Atalusu Pirmuoju4). Vėliau Apolonijaus sūnus, taip pat Apolonijus, Eudemui atnešė „Kūgių pjūvių“ antrosios knygos pataisytą variantą.

„Kūgiai“ sudaryti iš 8 knygų, iš kurių graikų kalba išliko tik pirmosios 4-ios, tačiau arabų kalba išliko net 7- ios. Pirmosios dvi išplito dar juodraštiniame variante. Knygose pateikti 387 teiginiai.

Kūgių pjūviai jį, pirmiausia, domino kreive, kuri susidaro kūgį kertant plokštuma. Pirmosios 4-ios knygos skirtos elementariosioms kūgių pjūvių savybėms. Pirmoje nagrinėjamas santykis tarp diametro ir liestinės; antrojoje hiberbolių ir jų asimptočių sąryšiai, o taip pat kaip nubrėžti liestines kūgių pjūviams. Šiose 4 knygose šalia žinomų dalykų buvo pateikta ir naujų teiginių. Dar daugiau jų 5-7 knygose. Jose aptariami statmenys kūgių pjūviams ir kiek jų galima nubrėžti iš duoto taško, išdėsto teiginį apie kreivumo centrą, išdėstymas, iš kurio lengvai išvedamos evoliutės7) lygtys Dekarto koordinačių sistemoje.

Papusas duoda kai kuriuos jo knygų turinio aprašymus. Tai „Kirtimas santykiu“ (2 kn., išliko arabų kalba ir 10 a. bibliografas Ibn al-Nadim‘as5) minėjo esant išverstus dar tris kitus veikalus), „Kirtimo plotas“ (2 kn.), „Apie apibrėžtą segmentą“ (2 kn.), „Liestinės“ (2 kn.), „Apie loci kreives8)“ (2 kn.) ir „Apie artėjančias konstrukcijas“ (2 kn.).

Apolonijus tolokai pažengė lyginant su Euklido „Elementais“. Pvz., 3 knygoje Euklidas parodo, kaip per tris duotus taškus nubrėžti apskritimą, Taip pat aprašoma, kaip nubrėžti liestinę trims duotoms linijoms. Tuo tarpu Apolonijus parodo, kaip rasti apskritimą, esantį liestine bet kuriems trims duotiems objektams: taškui, linijai ar apskritimui.

Įvairiuose šaltiniuose yra nuorodų į kitus Apolonijaus veikalus, kurių nė vienas neišliko. Hypsiklas6) mini Apolonijaus veikalą lyginant į tą pačią sferą įbrėžtus dodekadroną ir ikosahedroną, kurio irgi buvo dvi versijos. Marino komentare Euklido „Pradmenims“ mini Apolonijaus veikalą, aptariantį matematikos pagrindus - aksiomų ir apibrėžimų reikšmę. Apolonijus taip pat yra parašęs veikalus apie cilindrinę spiralę bei iracionaliuosius skaičius, minėtus Proklo. Eutocijus mini knygą „greitas pateikimas“, kurioje pateikiama apytikslė p reikšmė tikslesnė, nei nurodyta Archimedo:
223 / 71 < p < 22 / 7

Dioklo veikale „Apie uždegančius veidrodžius“ nurodoma, kad, atseit, Apolonijus parodė, kad lygiagretūs spinduliai neatsispindimi į sferinio veidrodžio židinį (kaip iki tol manyta) ir aptarė parabolės židinio savybes.

Apolonijus žinomas ir matematinių metodų taikymu astronomijoje aiškinant planetų judėjimą. Ptolomėjus savo veikale „Syntaxis“ tvirtina, kad Apolonijus įvedė ekcentrinių ir epiciklinių planetų judėjimų sistemas. Tai neturėtų būti visiškai teisinga, nes epiciklikų teorija buvo įvesta iki Apolonijaus. Greičiau, jis padarė reikšmingus jos pagrindimus. Atskirais atvejais, jis tyrė taškus, kuriuose planetos atrodo sustojusios ir pradeda judėti atgal.

Žinomi jo praktiniai kūgių teorijos panaudojimo pavyzdžiai. Jis sukūrė hemiciklusą, saulės laikrodį, kuriame valandų rėžiai buvo nubrėžti kūgio pjūvyje. Toks laikrodis buvo tikslesnis.

Menaechmas – kūgių pjūvių tyrinėjimo pradininkas

Menaechmas (apie 380-320 m. pr.m.e.) – graikų matematikas, Eudokso mokinys, Platono Akademijos narys, Dinostrato brolis. Senovės autorių minimas kaip pirmasis kūgių pjūvių tyrinėtojas ir kaip bandęs išspręsti kubo padvigubinimo uždavinį. Jo veikalai ir gyvenimo detalės mūsų nepasiekė. Taip pat žr. >>>>>

Gimė apie 380 m. pr.m.e. Mažojoje Azijoje, Trakijos pakrantės mieste Alopekonese (dabart. Turkija), mirė apie 320 m. pr.m.e. (spėjama kad Kizike). Jį mini Proklas kaip Eudokso mokinį:
"Amyklas iš Heraklėjos9), vienas iš platoniečių, ir Eudokso, užsiiminėjusio pas Platoną, mokinys Menaechmas ir jo brolis Dinostratas geometriją padarė dar tobulesnę". Menaechmas

10 a. graikų leksikografo veikale „Suda“ sakoma Menaechmą buvus "platoniečiu filosofu iš Alopekoneso (arba pagal kažkurį iš Prokoneso [t.y. Marmaros salos] ), parašiusį filosofijos veikalus ir tris [komentarų] knygas apie Platono "Valstybę"..."

Alopekonesas ir Marmaro sala (Prokonesas) yra greta, pirmasis Trakijoje ant Marmuro jūros kranto, o antrasis – jūroje, ir abu jiedu netoli Kiziko, kur gyveno Menaechmo mokytojas Eudoksas. Gyvenimo datos nustatytos atsižvelgiant ir Stobėjo9) į 5 a. užrašytą anekdotą, kaip Aleksandras Didysis paklausė Menaechmą, kaip be didelių pastangų išmokti geometrijos. Šis atsakė:
"O karaliau, keliaujant per šalį yra privatūs keliai ir karališkieji keliai, tačiau geometrijoje tėra vienas kelias".

Iš šios užuominos kai kas net spėjo Menaechą buvus Aleksandro Didžiojo mokytoju, ypač, kai Aristotelis galėjo būti juodu rišančiąja grandimi. Iš Proklo raštų galima spėti Menaechą buvusAkademijos vadovu.

Menaechmas žinomas kūgių pjūvių nagrinėjimu nustačiusiu, kad pjūviuose gaunamos parabolės, elipsės ir hiperbolės, nors visuotinai laikoma, kad tie terminai pasirodė tik Apolonijaus raštuose. Vienok Dioklo „Apie uždegančius veidrodžius“ vertimas leidžia spėti juos pasirodžius kiek anksčiau.

Kūgių pjūvius jis aptiko, kai sprendė uždavinį, kaip rasti du proporcionalius (geometrinius) vidurkius tarp dviejų tiesių linijų. Jie jam padėjo išspręsti kubo padvigubinimo uždavinį. Spręsdamas kubo padvigubinimo uždavinį Menaechmas aptiko naujas kreives, kas nenuostabu, nes tam reikia ištraukti kubinę šaknį, o tai neįmanomas naudojant tik skriestuvą ir liniuotę. Pats jis paskelbė apie du šio uždavinio būdus, kurie paminimi Eutocijaus komentaruose Archimedo „Apie rutulį ir cilindrą“.

Tarkime duotiems a ir b norime rasti du geometrinius vidurkius x ir y. Tada a : x = x : y = y : b Užrašydami šiuolaikinės matematikos stiliumi, gauname lygtis: x2 = ay
xy = ab
t.y. x ir y randame parabolės x2 = ay ir stačiakampės hiperbolės xy = ab susikirtimo taške. Kitas sprendimas sprendžiant lygtis:
x2 = ay
y2 = bx
t.y. sprendimas yra šių dviejų parabolių susikirtimo taške.

Plutarchas rašė, kad Platonas paneigė Menaechmo sprendimą naudojant mechaninius prietaisus, kurie, kaip jis tikėjo, menkina geometrijos studijų reikšmingumą. Bet kažin ar Menaechmas galėjo naudoti mechaninius prietaisus brėždamas kreives. Galbūt jis jas brėžė paskaičiuodamas daugelį taškų.

Menaechmą mini ir Theonas iš Smyrno, sakiusio, kad jis palaikė Eudokso teoriją apie dangaus kūnus judančius koncentriniais apskritimais ir netgi ją išvystė įtraukdamas tolimesnius apskritimus.

Kita sritis, kurią Menaechmas aptarinėjo, yra matematikos, kaip mokslo, struktūra. Vienas klausimų susijęs su skirtumu tarp teoremų ir uždavinių. Pagal Menaechą tarp jų nėra principinio skirtumo - tik naudojami skirtingi metodai. Taip pat Proklas rašė, kad
"... jis aptarė skirtumą tarp platesnės termino elementas reikšmės (kai bet kuris teiginys, iš kurio seka kitas, gali būti vadinamas jo elementu) ir griežtesnės kažko paprasto ir fundamentalaus, iš ko išvedama kita pagal principo sąryšį - visuotinai taikomą ir įeinantį į visų teiginių įrodymus"

Trumpos biografijos ir paaiškinimai

1) Eudemas iš Pergamo - 3 a. pr.m.e. filosofas peripatetikas, Filonido iš Laodikijos3) mokytojas. Jam dedikuota pirmosios dvi Apolonijaus „Kūgių pjūvių“ knyga (šiam mirus, 4-a ir vėlesnės buvo dedikuotos Atalui). Minima, kad jis į Romą atgabeno Atalo testamentą.

2) Eudemas iš Rodo (apie 370-300 m. pr.m.e.) – graikų filosofas ir mokslo istorikas, Aristotelio mokinys.
Gimęs Rodo saloje, didžiąją gyvenimo dalį praleido Atėnuose. Labiausiai pasižymėjo sistemindamas Aristotelio mokymą. Jo paties darbai neišlikę, tačiau žinomi iš citavimų. Jis parašė graikų aritmetikos, geometrijos ir astronomijos istorijas. Dar jam priskiriamos teologijos ir Lindoso (Rodo uosto) istorijos, bei keista knyga apie gyvūnus su žmonių savybėm. Proklas mini jį parašius veikalą „Apie kampus“.
„Aritmetikos istorija“ minima tik Porfirijaus, mininčio ją kaip pirmąją knygą, aptariančia skaičių ir muzikos ryšį. „Geometrijos istorija“ cituota daugelio - ir pvz., tik iš jos žinome apie Hipokrato darbą apie pusmėnulių kvadratūrą. O daugelio cituota „Astronomijos istorija“ perdavė žinią apie Talio nuspėtą užtemimą.

3) Filonidas iš Laodikijos (apie 200-130 m. pr.m.e.) – epikūrietis filosofas ir matematikas, dirbęs Seleukidų rūmuose. Apie jį daugiausia žinoma iš „Papirusų viloje“ atrasto „Filonido gyvenimo“. Apolonijus prašė Eudemą parodyti Filonidui 2-ąją jo knygą.

4) Atalas I „Išgelbėtojas“ (269–197 m. pr.m.e.) – Pergamo (Jonijoje) valdovas (241-197 m. pr.m.e). Jo dideliu pasiekimu buvo tai, kad atsisakė mokėti duoklę galatams, naujai iš Trakijos atvykusiai keltų genčiai, ir juos sutriuškino prie Pergamo sienų. Jo pasiskelbimas karaliumu užgavo Antiocho III Hierakso savimeilę, - ir kilusio karo metu Atalas išstūmė Seleukidus į Kilikiją.

5) Ibn al_Nadimas (Abu'l-Faraj Muhammad bin Is'hāq al-Nadim, m. apie 995-998) – persų kilmės musulmonų mokslininkas ir bibliografas iš Bagdado. Apie 987-988 m. sudarė puikų enciklopedinį žodyną „Kitab al-Fichrist“ (Sąrašų knyga), pradėjusį „fichristų“ žanrą.

6) Hypsiklas (apie 190-120 m. pr.m.e.) – graikų matematikas ir astronomas, žinomas veikalais „Apie patekėjimus“ ir jam priskiriama papildoma 14-a Euklido „Elementų“ knyga (apimanti 8 teoremas). Jo knygą apie daugiakampius skaičius cituoja Diofantas. Jam priskiriamas Babilone paplitusio apskritimo dalijimo į 360 laipsnius propagavimas Graikijoje.

7) Evoliutė - visų kreivės kreivumo centrų aibė. Savo evoliutės atžvilgiu kreivė yra evoliutinė.
Pvz., apskritimo evoliutė yra vienas taškas (apskritimo centras).
Evoliutę savo „Kūgiuose“ aptarė jau Apolonijus iš Pergos, taęiau pirmuoju jas tyrusiu laikomas Ch. Hiugensas (1673), laikrodžių kurėjas. Jam evoliučių tyrimai padėjo sukurti izochroninę švytuoklę.

8) Plokštumos loci kreivės - tai kreivės plokštumoje, kurias galime apibrėžti panaudojant atstumą nuo kitų objektų plokštumoje. Pavzydžiai: a) apskritimas, nes jį galima apibrėšti kaip kreivę, nutolusią vienodu atstumu nuo centro; b) parabolė yra taškų, vienodai nutolusių nuo židinio ir direktrisės tiesės, aibė.

9) Amyklas iš Heraklėjos (tiksliau Amyntas) – graikų matematikas, Platono mokinys. Aristoksenas pasakoja, kad Platonas ketino surinkti visas pitagoriečių knygas ir jas sudeginti, tačiau Amiklas ir Kleinijas jį perkalbėjo.

10) Joanas Stobėjas (Stobeaus) – 5 a. iš Makedonijos kilęs ištraukų iš senovės graikų autorių kūrinių rinkinio sudarytojas (2 tomai po 2 knygas). Ištraukų temos įvairios – nuo gamtos filosofijos iki politikos. Jis sudarytas sūnaus Septimijaus lavinimui. Rinkinio vertė ta, kad jame ištraukų iš neišlikusių kūrinių.

Hiparchas iš Rodo
Eudoksas iš Knido
Dioklas ir jo cizoidė
Papusas iš Aleksandrijos
Parabolės lenktas likimas
Hipatija: pirmoji matematikė
Graikų matematikai: Euklidas
Hipokratas iš Chijo salos
Graikų matematikai - filosofai
Matematikai: Anri Puankarė
Iniciatyva: Matematikos keliu
Matematika Egipte ir Finikijoje
Matematikos pradžia Lietuvoje
Omaras Chajamas: ne vien Rubijatai
Matematikai: Davidas Hilbertas
Santykis ir proporcija
Matematikai: Pjeras Ferma
Senovės graikų astronomai
Pitagoro teorema
Pirminiai skaičiai
Nulio istorija
Vartiklis