Topologija  

Topologija (gr. topos - padėtis, vieta) – matematikos šaka, nagrinėjanti bendrąsias erdvių ir geometrinių figūrų tolydumo (topologines) savybes, kurios nesikeičia atliekant tolydžias transformacijas, pvz., jungtumą, orientaciją. Topologijoje labai svarbios homeomorfizmo ir homotopijos sąvokos, kurios, grubiai sakant, yra deformacijos, atliekamos maigant ir tampant, tačiau neplėšant ir neklijuojant. Pvz., y=x3 yra realių skaičių homeomorfizmas. Tarkim, topologijos požiūriu „baranka“ ir puodukas nesiskiria (žr. iliustracijas >>>> , o taip pat >>>> ).

Topologijos ištakos susiję su kai kurių geometrijos uždavinių sprendimu ir siekia 1736-uosius. Topologijos užuomazgų matematikos istorikai randa L. Oilerio, K. Žordano^**), G. Kantoro darbuose. Topologijai gimstant 19 a. pabaigoje, ji vadinta geometria situs (vietos geometrija) arba analysis situs (vietos analizė). Pagrindus jai padėjo F. Hausdorfas,  A. Puankarė, P. Urysonas, P. Aleksandrovas, L. Brauwer’is. 1925-75 m. topologija buvo sparčiai besivystanti matematikos šaka.

L. Oilerio 1736 m. straipsnis „Apie septynis Kioningsbergo tiltus“ (dab. Kaliningradas) laikomas pirmąja publikacija iš topologijos srities. Jame Oileris įrodė, kad neįmanoma pereiti visų tiltų per kiekvieną einant tik vieną kartą (šis uždavinys sieja ir grafų teoriją). Patį terminą „topologija“ (Topologie) 1847 m. panaudojo J.B. Listingas (vokiečių kalba), o angliškai pirmąkart panaudotas 1883 m. „Nature“ žurnale nekrologe apie J.B. Listingą. O „topologas“, kaip topologijos specialistas, panaudotas 1905 m. „Spectator“ žurnale. Tačiau visi tie panaudojimai tiksliai neatitinka šiuolaikinės topologijos sampratos.

Šiuolaikinė topologija remiasi 19 a. antrojoje pusėje G. Kantoro išvystyta aibių teorija. Kantoras, naudojo Euklido erdvės taškų aibes, kaip Furjė eilučių tyrinėjimo dalį.

1895-ais A. Puankarė paskelbė „Analysis Situs“, kuriame įtraukė homotopijos ir homologijos^*) sąvokas, dabar laikomas algebrinės topologijos dalimi.

Maurice Frechet'as, apibendrindamas Kantoro, Volterra, Arzela, Hadamardo, Ascoli ir kitų darbus apie funkcijų erdves, 1906 m. įvedė metrinę erdvę. Ji dabar laikoma atskiru bendrosios topologijos erdvės atskiru atveju. 1914 m. Feliksas Hausdorfas įvedė terminą “topologinė erdvė” ir davė apibrėžimą (dabar) vadinamajai Hausdorfo erdvei. Dabar topologinė erdvė yra nežymus Hausdorfo erdvių apibendrinimas, kurį 1922 m. įvedė K. Kuratovskis.

Trumpas paaiškinamasis įvadas

Topologija formaliai apibrėžiama kaip tam tikrų objektų (topologinių erdvių) kokybinių savybių, nesikeičiančių atliekant tam tikro tipo transformacijas, tyrimas. Taip pat topologija vadinama aibėje X esanti struktūra, kuri „apibūdina“ X kaip topologinę erdvę pagal tokias jos savybes kaip konvergencija, jungtumas ir tolydumas, išliekančias atliekant transformacijas. Kadangi topologinės erdvės natūraliai pasireiškia beveik visose matematikos srityse, todėl topologija tapo viena iš vienijančių matematines idėjas. Kartais ji parodo netikėtus sąryšius su kitomis matematikos šakomis, pvz., Furstenbergo įrodymas, kad pirminių skaičių kiekis yra begalinis.

Topologijos vystymąsi skatina ir kai kurie geometrijos uždaviniai, kuriuose nėra svarbi tiksli objektų forma, o būdas, kaip jie jungiami tarpusavyje. Pavyzdžiui, apskritimas ir kvadratas turi nemažai bendrumų: abi šios figūros yra erdvinės (topologijos požiūriu) ir abi plokštumą padalija į dvi dalis – kurių viena yra išorėje, o kita viduje.

Pavyzdžiui, algebrinės topologijos „plaukuoto rutulio teorema“ teigia, kad negalima sušukuoti plaukuoto kamuolio taip, kad nebūtų verpeto. Šis teiginys nepriklauso nuo tikslios rutulio formos ar jo dydžio. Iš jo iškyla homeomorfizmo sąvoka – teiginys yra teisingas bet kuriai erdvei, homeomorfiškai sferai. Supaprastintai aiškinant, dvi erdvės yra homeomorfiškos, jei vieną jų galima deformuoti į kitą nekarpant ir nelipdant. Kita svarbi topologijos sąvoka yra homotopija. Ją sunkiau paprastai paaiškinti, tačiau, iš esmės, du objektai homotopiniai, jei abu juos galima gauti „suspaudžiant“ kokį nors didesnį objektą. Pvz., topologiškai skirstant (didžiąsias) abėcėlės raides, O ir P homeomorfiškai gali būti laikomos skirtingomis (viena priklauso grupei „su viena skyle“, o kita „su viena skyle ir viena uodegyte“ grupėms), tačiau jos yra vienodos homotopiškai (P uodegytė gali būti suspausta į tašką – ir todėl abi raidės priklauso grupei „su viena skyle“) [formalus homotopijos aprašymas >>>>>].

---

Pavyzdys „žaliems“

Visai nesunku topologijos principus pademonstruoti naudojantis kompiuteriu. Į tekstą įdėkime auksinės žuvelės piešinį:

Topologija: kada dvi formos vienodos? Bandant klasifikuoti formas, viskas priklauso kaip apibrėžiamos daugdaros ir ką reiškia, kad dvi jų yra lygios. Rūšiuoti formas yra vaikiškas žaidimas – trikampiai šen, kvadratai ten, skrituliai – į trečią krūvą. Tačiau tai būtent tai ir yra topologijos paskirtis, tačiau net ir po šimtmečių bendrų pastangų dar esama toli nuo formų klasifikavimo užbaigimo. Topologija tiria bendrąsias formų, vadinamų daugdaromis, savybes. Jos gali bet kurio matavimo – nuo nulinio iki bet kokio. Trimatės ir keturmatės daugdaros nusako mūsų gyvenimo realijas. Visoms daugdaroms yra bendras tam tikras plokštumas - esant ant daugdaros paviršiaus erdvė aplink mus atrodys plokščia – visai kaip ant Žemės, kurios paviršius mums atrodo plokščias (o iš to ir kyla idėja, kad pati visa Žemė yra plokščia). Todėl daugdaros esminiai bruožai (pvz., ar ji yra tarsi sfera, ar turi skylę kaip toras) negali būti nustatyti „iš akies“ esant jos paviršiuje. Be to topologija atmeta tokias formas, kaip du kūgiai susiliečiantys viršūnėmis. Jei gyventume ant tokios figūros, tai žinotume, kad kažkas keista vyksta taške, kuriame susiliečia viršūnės. Kai tik plokštumo reikalavimas yra patenkintas, daugdaros pasiskirsto į 3 bazinius tipus. Nesudėtingiausia yra „topologinė daugdara“ – jos ypatingas bruožas tas, kad galite ją visą perbraukti nepakeldami piršto, t.y. ji yra tolydi, neturi šuolių pereinant nuo taško prie taško. Kadangi tolydumas jau yra daugdaros apibrėžime, tad visos daugdaros automatiškai yra topologinėmis daugdaromis. Sudėtingiausia daugdara yra „glotni“ – braukiant pirštu per ją jis niekur neužstrigs, joje nėra staigių kampų, kitaip sakant, joje visos išvestinės yra tolygios. Tas glotnumas turi svarbias pasekmes – kiekvienam taškui galima priskirti unikalią liečiančiąją plokštumą, kas reiškia, kad glotniose daugdarose galima atlikti skaičiavimus. Trečias tipas yra per vidurį ir vadinasi sudėtinėmis tiesinėmis ir jas galime įsivaizduoti kaip sudarytas iš plokščių plytelių. Jos gali turėti kampus, tačiau sudėtinė struktūra numato, kad kampai gali būti tik viršūnėse, kur susikerta plytelės. Jos kiek skiriasi nuo kitų daugdarų ir topologijoje dažnai aiškinamasi skirtumai tarp topologinių ir glotnių daugdarų šias paliekant nuošaly. Tačiau jos tampa svarbiomis nagrinėjant aukštesnių matavimų daugdaras, pradedant nuo 5-ojo matavimo. Taigi, jau žinom, kas yra daugdaros, tad galim imti aiškintis, kada jos laikomos lygiomis. Viena svarbi sąvoka yra homotopinis ekvivalentiškumas. Dvi daugdaros laikomos lygiomis, jei iš vienos galima gauti kitą spaudžiant, tempiant, maigant, tačiau neplėšant ir neklijuojant. Be jos, yra dar dvi, sudėtingesnės lygumo sąvokos, kurių kiekviena atitinka skirtingą daugdaros tipą. Topologinėms daugdaroms tai homeomorfizmas, t.y abipusė kiekvieno taško bijekcija išsaugant gretimų taškų „artumą“. Glotnioms daugdaroms ekvivalentiškumas sudėtingesnis – jis vadinamas difeomorfizmu***). Jo atveju irgi artimi taškai atvaizduojami į kitą daugdarą „artimai“, tačiau šįkart išlaikant glotnumą. Šiedu skirtumai sudaro topologinių objektų klasifikavimo pagrindą. Dideli pasiekimai klasifikuojant padaryti visuose matavimuose, išskyrus ketvirtą matavimą, kuriam, iš esmės, klausimas tebėra atviras. Reikšmingiausią klasifikavimo rezultatą 1981 m. pasiekė Michael Freedman‘as įrodydamas Puankarė hipotezę 4-mačiam atvejui – t.y., kad bet kuri 4-matė daugdara homotopiškai ekvivalenti 4-matei sferai, yra taip pat jai ir homeomorfinė. Tiesa, tas rezultatas buvo toks painus ir taip menkai iškomunikuotas, kad iš išblėso iš akiračio kol neseniai nebuvo išleista knyga „The Disc Embedding Theorem“ (2021, redaguota S. Behrens et al.). Taigi „silpnesnio“ ekvivalentiškumas pakanka „stipresniam“, kuris reikalauja išlaikyti taškų artumą. Tačiau Fridmano įrodymas paliko atvirą „glotnią“ 4-matę Puankarė hipotezę, kad bet kuri glotni 4-matė daugdara, kuri yra homotopiškai ekvivalenti 4-matei sferai, taip pat yra jai difeomorfinė. Tai netgi stipresnis teiginys nei įrodytas Fridmano, nes difeomorfizmas yra stipresnė ekvivalentiškumo forma už homeomorfizmą. Kol kas matematikai nežino, kaip tai spręsti... Tai juos įstumia į keistą padėtį, nes neleidžia atlikti vieno iš pagrindinių klasifikavimo uždavinių: atpažinti, kada glotni keturmatė sfera iš tikro yra sfera.

Tada galime piešinuką ištempti (kartu pakeičiant ir dydį)

arba suspausti.

Aišku, visi tie piešinukai skiriasi daugybe charakteristikų, tačiau tai vis tiek išlieka auksine žuvele.

Formalus apibrėžimas ir pagrindinės sąvokos

Tegu X yra bet kokia aibė, o T - X poaibių sistema. T vadinama topologija X aibėje, jei:

1. T elementais yra ir tuščia aibė, ir pati X;
2. kiekviena T elementų suma yra T elementas;
3. baigtinio T elementų skaičiaus sankirta yra T elementas.

Tada pora (X, T) vadinama topologine erdve, o X_T žymi X su topologija T.

Atviri X poaibiai yra apibrėžti kaip T nariai. X poaibis yra uždaras, jei jo papildinys yra T aibėje (t.y., papildinys yra atviras). X poaibis gali būti a) atviras; b) uždaras; c) ir atviras, ir uždaras; d) nei atviras, nei uždaras.

Funkcija iš vienos topologinės erdvės į kitą vadinama tolydžia, jei atvirkštinis bet kurios atviros aibės atvaizdavimas yra atvira aibė [realių skaičių atveju šis apibrėžimas atitinka tolydžios funkcijos apibrėžimą matematinėje analizėje]. Jei tolydi funkcija yra abipus vienareikšmė, o atvirkštinė funkcija irgi tolydi, ji vadinama homeomorfizmu. Jei dvi erdvės yra homeomorfinės, jos laikomos topologiškai vienodomis.

Topologijos skyriai:

• Bendroji topologija, nagrinėjanti abstrakčią netrūkumo (tolydumo) sąvoką. Tiriami fundamentalieji topologijos klausimai, o taip pat atskiri klausimai, tokie, kaip jungtumas ir kompaktiškumas.
• Algebrinė topologija, nagrinėjanti netrūkumą (tolydumą) panaudojant algebrinius objektus, tokius, kaip homotopinės grupės ir homologijos,  kohomologija ar homotopija.
• Geometrinė topologija. Nagrinėjanti daugdaras ir jų įtraukimą (komponavimą) į kitas daugdaras.
• Diferencialinė topologija, tirianti glodžiuosius daugdaras ir glodžiuosius atvaizdžius iki pat difeomorfizmo. Ji pagrįsta algebrinės topologijos metodais.
• Algoritminė topologija - topologijos poskyris, persidengiantis su kompiuterika, ypač skaičiuojamąja geometrija ir algoritmų sudėtingumo teorija. Ji užsiima efektyvių algoritmų kūrimu topologinių uždavinių sprendimui bei topologinių metodų taikymu kompiuterijoje. Joje išskirtina: trimačių daugdarų algoritminė teorija, algoritminė mazgų teorija, algoritminės homotopija ir homologija.

Apibendrinimai

Kartais reikia panaudoti topologijos įrankius, tačiau negalima parinkti „taškų aibės“. Tada panaudojamas atvirų aibių gardelės, o Grothendieck‘o topologijos yra tam tikros struktūros, apibrėžtos pasirinktose kategorijose, leidžiančiose apibrėžti vientisas (jungias) sritis.

---

^*) Homologija - bendras būdas algebrinių objektų (pvz., Abelio grupių ar modulių) susiejimui su kitais matematiniais objektais (tarkim, topologinėmis erdvėmis). Homologinės grupės pradžioje buvo apibrėžtos algebrinėje topologijoje, tačiau panašios konstrukcijos galimos daugelyje kitų kontekstų (abstrakciose algebrose, Li algebrose, Galua grupių teorijoje ir kt.). Egzistuoja daugybė skirting homologijos teorijų.

^**) Kamilis Žordanas (Marie Ennemond Camille Jordan, 1838-1922) - prancūzų inžinierius ir matematikas, žinomas indėliu į grupių teoriją ir įtakingu tritomiu „Analizės kursu“ (1882-87), darbais algebros, topologijos ir kristalografijos srityse. Dėstė Politechnikos mokykloje ir Prancūzijos koledže, kur išgarsėjo naudodamas ekscentriškus žymenis. Leido „Journal de mathematiques pures et appliquees“ (1885-1921).
Jo vardas suteiktas Žordano-Holderio teoremai apie kompozicines grupių eilutes, normaliajai matricų formai, Žordano kreivei, Žordano matui naudojamam sudarant Rymano integralą ir kt. Jo vardu pavadintas ir asteroidas (25593).

^***) Difeomorfizmas - atvaizdavimo tarp glotnių daugdarų tipas – abipusis vienareikšmis ir glotnus, kurio atvirkštinė daugdara irgi glotni. Akivaizdu, kad kiekvienas difeomorfizmas yra kartu ir homeomorfizmas, tačiau atvirkščias teiginys nėra teisingas, pvz., egzotinės sferos atvejis.

Erdvės formos
Ferma taškas
Tenzoriaus samprata
Kur viešpatauja chaosas?
Puankarė teiginio įrodymas
Matematikos atgimimas Lietuvoje
Visatos topologija: pradžiamokslis
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
M. Gardneris. Nė vienos pusės neturėjęs profesorius
Mazgų teorija: juostos-nuopjovos teiginys
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Kaip įmanomas begalinis klonavimas?
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Nėra paprastos visuotinės teorijos!
Ar mašina kada nors mąstys?
Žaidimų teorijos panaudojimas
Nepaprasti Visatos skaičiai
Scenoje - paprastos grupės
Revoliucija mazgų teorijoje
Išmatuojam apskritimą
Tūkstantmečio problemos
Vunderkindo iššūkiai
Ar viskas čia taip?
Smeilo paradoksas
Poetinė geometrija
Trikampiai skaičiai
Pirminiai skaičiai
Ferma teorema
Matroidai
Vartiklis