Egzotiškosios hipersferos - problema išspręsta
Atsipalaiduokite! 45 m. senumo problema išspręsta. Visai neseniai, matematinių užkampių kertėse, galėjo tūnoti paslaptingos 254-ių, 510-ies ar 1022-ių matavimų sferos, kitaip tariant, dėl jų reikėjo būti neramiam lankantis 2k-2 matavimų erdvėse.
Daugiau nerimo jos nekels galime ramiai miegoti. Michael Hopkins'as*) (Harvardo un-tas), Michael Hill'as
(Virdžinijos un-tas) ir Douglas Ravenel'is (Ročesterio un-tas) 2009 m. balandžio 21 d. Edinburgo
konferencijoje paskelbė, kad įveikė vadinamąją Kervaire invarianto problemą, kai n > 126. 2009 m. rugpjūčio 26 d. jie paskelbė
99 puslapių apimties preprintą, kuriame paaiškino įrodymo detales. Jei įrodymas bus patvirtintas, tai bus baigiamasis akordas 7-ojo dešimtmečio
matematikos uždaviniui: egzotiškų aukštų matavimų sferų klasifikavimui. Šis sprendimas gali turėti
įtakos ne mažiau egzotiškoms fizikos sritims, tokioms kaip stygų teorija.
Sferos yra vienas pagrindinių objektų topologijoje, matematikos srityje, nagrinėjančioje, kokios
objekto savybės lieka nepakitusios, kai objektas įvairiai deformuojamas: suspaudžiamas, ištempiamas,
kitaip tąsomas. Topologijos panaudojama daugelyje sričių, tame tarpe ir nustatinėjant mūsų Visatos formą.
Gana neseniai matematikai užbaigė trimačių kompaktinių daugdarų (t.y. tokių, kurios yra baigtinės ir neturi krašto, daugiau žr. >>>>. Pvz., sfera yra kompaktinė daugdara, o plokštuma - ne) klasifikaciją. Taigi, buvo išvardintos visų galimų trimačių visatų topologijos. Tačiau keturmatėje ir aukštesnių matavimų erdvėse tokia klasifikacija nepasiduoda ir netgi logiškai nėra įmanoma. Tad topologai tikisi, kad tai pavyks bent sferoms (kaip paprasčiausioms daugdaroms).
Reikalai susipainiojo, kai 6-me dešimtmetyje John'as Milnor'as atrado pirmąją egzotišką 7-matę sferą. n-matė sfera yra egzotiška topologiniu požiūriu; ji nėra tapati įprastai n-matei sferai diferencialinių skaičiavimų, kuriuos naudoja fizika, požiūriu. Šis neatitikimas daro įtaką lygtims, kurios aprašo dalelių judėjimą ar bangų sklidimą. Mat tų lygčių sprendinys (ar net jų formuluotė) vienoje erdvėje negali būti perkeltas į kitą nesukuriant įmantrybių arba singuliarumų. Fizikine prasme tai du skirtingi, nesuderinami pasauliai.
1963 m. J. Milnor'as su kolega Michel Kervaire paskaičiavo skirtingų egzotiškų 7-mačių sferų kiekį ir nustatė, kad jų yra 27. Jie skaičiavo n-mates sferas visiems n pradedant 5. Tačiau jų skaičiavimas turėjo vieną trūkumą galimą 2-ių daugiklį, - kai n yra lyginis. Jį vėliau 1969 m. pašalino William Browder'is, - išskyrus 2k-2 matavimams, pradedant k=7, t.y. 126, 254, 510, 1022, ...
M. Hopkins'as su kolegomis mano, kad rado sprendimą. Jie panaudojo painią algebrinių sistemų,
vadinamą homologinėmis grupėmis, hierarchiją ir įrodė, kad 2-ių daugiklis neegzistuoja visiems
n, išskyrus, nebent 126, kurio jų įrodymas, dėl techninių priežasčių, neapėmė. Tiesa yra dar viena nemaža išimtis
keturmatė erdvė, kuriai neaišku, ar joje egzistuoja egzotiškos sferos (1-matėje, 2-matėje ir 3-matėje erdvėse nėra egzotiškų sferų).
Išmatavimų triauškintojas
Ir štai - 2011 m. kovo 23 d. paskelbta, kad John Milnorui paskirta 1 mln. dolerių Abelio premija.
Dž. Milnoras gimė 1931 m. vasario 20 d. Orange, Niu Džersio v. (JAV). 1951 m. baigė Prinstono un-tą, o po 3 m. ten apsigynė daktaro laipsnį. Iki 1989 m. dirbo Prinstone, o tada perėjo į Niujorko Stony Brook un-tą. Buvo Matematikos analų redaktoriumi, daugelio knygų autoriumi. Jo žmona Dusa yra matematikos prof. Barnardo koledže.
Dirbo topologijos, K-teorijos, geometrijos, algebros ir dinaminių sistemų srityse. Matematinį pasaulį labiausiai išjudino jo 7-matės sferos su egzotiškomis savybėmis atradimas 1956 m. Ji nebuvo tapati įprastinei sferai nežymiu, tačiau svarbiu aspektu skyrėsi diferencialinių skaičiavimų požiūriu. Tai reiškė, kad sprendinys šioje hipersferoje (pvz., bangų ar šilumos sklidimo) nebūtinai perkeliamas į įprastines sferas. Tai prieštarauja žmogiškajai intuicijai ir nenuostabu, kad pradžioje topologai nenorėjo to pripažinti. Tačiau vėliau Milnoras, kartu su lenku Michel Kervaire, suklasifikavo visas galimas 7-mates sferas, kurių yra 27-ios. Milnoras savo tyrinėjimus nukreipė į sudėtingų hiperpaviršių izoliuotų singuliarių taškų topologiją, išvystydamas Milnoro m skaidulų teoriją.
Nuo tada sferų tyrinėjimai dominavo daugelio topologų veikloje ir už tai buvo skirta 4 Fieldso medaliai (1962 m. ir pačiam Dž. Milnorui; 1989 m. jis gavo ir Wolfo premiją). Juos skatino ir 1968 m. Dž. Milnoro knyga (apie m skaidulas). Tuos tyrinėjimus vainikavo 2004 m. G. Perelmano išspręstas Puankarė teiginys.
Milnoro skaidulos
Milnoro skaidulas į topologiją įvedė Dž. Milnoras knygoje Kompleksinių hiperpaviršių singuliariniai taškai (1968) ir ankstesnėse paskaitose.
Pvz., bet kurio spindulio Milnoro atvaizdavimas f(z,w)=z2+w3 yra skaidula,
kuri sudaro trigubą mazgą su skaidulos struktūra.
*) Maiklas Hopkinsas (Michael Jerome Hopkins, g. 1958 m.) amerikiečių matematikas, žinomas darbais algebrinės topologijos srityje (atskiru atveju stabilių homotopijų teorijoje), Harvardo un-to profesorius (2005-2020). Įrodė dalį Ravenelio teiginių (1998), 2009 m. paskelbė kartu su kitais išsprendęs Kervaire invariantų problemą. Taip pat skelbė straipsnius apie glotnią ir susuktą K-teoriją ir jos ryšį su ciklinėmis grupėmis, dirbo topologinių lauko teorijų srityje.
Erdvės formos
Topologija
Algebros istorija
Trikampiai skaičiai
Gyvenimo gėlelė
Kaip supakuoti standžiau?
Paslėpti erdvės matavimai
Iniciatyva: Matematikos keliu
Riči srautas ir tenzorius
Kelionė į matavimų apibrėžimą
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Surasta trilijonas trikampių
Puankarė problemos įrodymas
Matematika ir biologija
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Laimėti pralaimint: dviejų vokų paradoksas
Netiesinis mąstymas: išspręsti neišsprendžiamą
Alef paslaptis: begalybės paieškos
Matematikai: Davidas Hilbertas
Graikų matematikai - filosofai
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Kai kurie pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Intuicijos ribojimas matematikoje 19-me amžiuje
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Visatos topologija: pradžiamokslis
Trijų kūnų uždavinys aštuoniukėje
Nepaprasti Visatos skaičiai
Senovės Graikijos skaičiuotuvas
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Revoliucija mazgų teorijoje
Išmatuojam apskritimą
Scenoje - paprastos grupės
Kraskalo algoritmas
Landau nuslopimas
Dirbtinis protas?
Ferma taškas
Fieldso medalis
Vartiklis