Pašalinta grėsmė teiginiui apie mazgus  

Įrodyta, kad mazgas, kuris ilgą laiką laikytas prieštaraujančiu garsiajam juostos-nuopjovos teiginiui, iš tikro jam neprieštarauja.

Daugiau nei prieš 60 m. Ralph Fox‘as iškėlė klausimą, iki šiol neatsakytą matematikų – jis dažnai vadinamas juostos-nuopjovos teiginiu, tvirtinančiu, kad dvi visiškai skirtingai atrodančios mazgų grupės iš tikro yra tapačios. Jei teiginys pasirodytų esąs teisingu, tai tarsi parodytų, kad pasaulis gerokai labiau struktūrizuotas.

Tačiau ištisus dešimtmečius įtarė, kad vienas konkretus mazgas gali būti „raktu“ hipotezei. Tačiau, vis tik, 2022 m. vasarą Kornelio un-to matematikų grupės archiv.org paskelbtame straipsnyje parodė, kad tas mazgas nepadės. Nors jų argumentai suteikia naują supratimą apie platesnę mazgų klasę, klausimas dėl teiginio lieka neaiškus.

Juostos-nuopjovos teiginys susijęs su dviejų tipų mazgais: nupjautu mazgu2) ir juostiniu mazgu1). Taigi minėtas straipsnis yra apie išsiaiškinimą, kokie mazgai yra nupjauti.

Juostinis mazgas
Paprasto juostinio mazgo pavyzdys parodo, kaip mazgo diskas gali praeiti per save
Matematikoje „mazgą“ galima įsivaizduoti kaip paprastą siūlo kilpą. Mazgas taip pat apibrėžia formos, kurią matematikai vadina disku, kraštą (nors jis ne visada primena įprastą diską). Paprastos kilpos be mazgo atveju mazgas sudaro skritulio kraštą – „diską“, kuris tikrai panašus į diską. Tačiau kilpa sudaro ne tik ant stalo gulinčio plokščio skritulio kraštą, bet ir trimačio dubenėlio, padėto ant stalo dugnu į viršų. Diskai, apibūdinantys mazgus, gali būti papildomai išplėsti ir į ketvirtą matavimą.

Jei siūlas yra su mazgu, diskai tampa sudėtingesniais. Trimatėje erdvėje tie diskai turi singuliarumus – taškus, kuriuose jie matematiškai „blogai“ elgiasi. Nupjauti mazgai – tai mazgai, kuriems keturmatėje erdvėje galima rasti diską be singuliarumų. Nupjauti mazgai – kitas puikus dalykas po kilpos be mazgų. Nepaisant to, diskai, apriboti nupjautų mazgų, trimatėje erdvėje gali būti nedailūs ir nepatogūs darbui su jais. Juostos-nuopjovos hipotezė teigia, kad jie nebūtinai turi būti tokie.

Juostiniai mazgai - tai tie, kurių diskai primena juostas. Trimatėje erdvėje tos juostos gali pereiti per save, visai kaip įprastą juostą galima pratempti pro įpjovimą jos centre. Matematiškai toks praėjimas vadinamas juostos singuliarumu. Skirtingai nuo kitų singuliarumų, juostos singuliarumas gali būti nesunkiai eliminuojamas perėjus į ketvirtą matavimą. Tai matematikams leidžia nesunkiai įrodyti, kad visi juostiniai mazgai yra nupjauti mazgai.

Priešingas teiginys, kad kiekvienas nupjautas mazgas irgi yra juostinis mazgas – tai ir yra dešimtmečius neišsprendžiamas juostos-nuopjovos teiginys. O kad reikalas būtų dar sudėtingesnis, nupjauti mazgai turi kelias giminingas klasifikacija, tarp kurių yra „glotnios nuopjovos“ ir „topologinė nuopjova“. Teiginys kalba tik apie glotnius mazgus, kurie paprastai vadinami tiesiog nuopjovomis.

Kad teiginys būtų paneigtas, pakanka surasti glotniai nupjautą mazgą, kuris nėra juostiniu mazgu. Dešimtmečius matematikai buvo nusitaikę į galimą kandidatą: (2-1) „aštuoniukės“ siūlas, sudarytas antrą siūlą pratempiant palei „aštuoniukės“ mazgą, o tada abu siūlus suliejant į vieną mazgą.

Aštuoniukės mazgas 1980 m. Akio Kawauchi3) parodė, kad yra tiek racionaliai, tiek algebriškai nupjautu, kas panašu į glotnų nupjovimą (nors tai ne visiškai tas pat). O 1984 m. Katura Miyazaki4) įrodė, kad tai nėra juostinis mazgas, palikęs matematikams neramų rūpestį. Jei Kawauchi rezultatą galima būtų sustiprinti, parodant, kad mazgas glotniai nupjautas, teiginys būtų paneigtas.

Ir štai minėtame straipsnyje įrodoma, kad tasai mazgas nėra glotnus, - ir taip „užtrenkiant šias duris“.
Naujas įrodymas pagrįstas vadinamuoju išsišakojančiu dvigubu padengimu. Jį galite vizualizuoti įsivaizduodami tuščiavidurę sferą (tarkim, krepšinio kamuolį). Tada jį perpjaukite jį iš viršaus į apačią palei vieną iš ilgumos linijų. Patraukite už vienos gumos pusės , kur pjovėte, ištempdami palei pusiaują tol, kol guma neapsisuks aplink (neplėšant gumos). Tai pabaigus, turėsite krepšinio kamuolį iš dviejų abipusiškai sukeičiamų gumos sluoksnių – iš čia ir „dvigubo padengimo“ pavadinimas.

Apibūdinimas „išsišakojantis“ kilęs iš transformacijos ypatybės. Kadangi buvo ištempiama horizontaliai, pačiame viršuje ir apačioje (poliuose) likęs vienas sluoksnis – tie taškai vadinami išsišakojimo taškais. Kalbant apie mazgus, išsišakojantis dvigubas padengimas sudaromas taip, kad išsišakojimo taškai būtų pats mazgas. Tad jei parodoma, kad toks padengimas neapgaubia teisingos keturmatės formos, jie gali atmesti galimybę, kad tasai mazgas yra nupjautu.

Bet tai nesuveikia aptariamam mazgui – jo išsišakojantis dvigubas padengimas iš tikro apgaubia teisingą keturmatę formą. Tai, kad jis nėra nupjautu mazgu, priklauso nuo dažnai praleidžiamos formos simetrijos.
Tempiant krepšinio kamuolį, galima įsivaizduoti, kad kuriate kažką panašaus į trimatį balioną viduje. Tempdami gumą aplink kamuolį, tiesiog traukite ir orą kartu su ja. Kadangi abu padengimai yra abipusiškai sukeičiami, balionas turi du pusrutulius, kurių abu baigiasi toje pačioje vietoje. Kitaip tariant, simetrija išorėje nusitęsia į vidų.

Lygiai taip pat simetrija ant išsišakojančio dvigubo padengimo pasiekia keturmatę erdvę. Matematikai paprastai ignoruoja šią simetriją, kai bando parodyti, kad mazgai nėra nupjauti mazgai. Tačiau šiuo atveju ignoruoti negalima. Jei straipsnio autoriai būtų galėję parodyti, kad tokios simetrijos nėra, jie būtų galėję padaryti išvadą, kad mazgas nėra nupjautas mazgas. Komandai teko pasitelkti sudėtingą matematiką, atsižvelgiant net į subtilesnes simetrijas. Idėjos straipsnyje gali būti pritaikytos daugeliui kitų nagrinėtinų mazgų. Bet pats teiginys liko neįrodytas.

1) Juostinis mazgas - mazgas, kuris save persikertantį skritulį riboja tik juostinėmis savybėmis. Intuityviai tų savybių tipas gali būti sukurtas padarius įpjovą skritulyje ir kitą skritulio dalį prakišus pro įpjovą. Bet kuris juostinis mazgas yra nupjautu mazgu, tačiau dar neįrodytas priešingas teiginys (R. Fokso juostos-nuopjovos teiginys).

2) Nupjautas mazgas - mazgas, esantis į 4-matę erdvę tam tikru būdu įdėto disko riba. Tam tikru būdas priklauso nuo konteksto ir skirtingai interpretuojamas skirtingiems nupjautų mazgų tipams. Jei diskas tolygiai įdėtas į 4-matę erdvę, tai atitinkamas mazgas vadinamas glotniu nupjautu mazgu. Nupjauto mazgi signatūra lygi 0.

3) Akio Kawauchi - japonų matematikas, Osakos un-to profesorius. Tyrimų sritys: geometrija ir topologija,  mazgų ir daugdarų teorijos.

4) Katura Miyazaki - japonų matematikas, Tokijo Denki un-to tyrintojas. Tyrimų sritys: geometrija ir topologija,  mazgų teorija (sluoksniuoti arba Neivirto mazgai), geometrizacijos teiginys.

Topologija
Mazgų teorija
Trikampiai skaičiai
Kaip pakuoti standžiau?
Meilės ir matematikos ritualai
Revoliucija mazgų teorijoje
Kirmgrauža tarp matematikos sričių
Aukso gysla Ramanadžano lygtims
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Mokslo ribotumas: Dievas, Giodelis ir gravitacija
Pasiekimai 2020 m. matematikoje: išmazgymas
Mokslininkui nereikia matematikos!
Apie Tarskio skritulio kvadratinimą
Proveržis skaičiuojant skaidinius
Diagramos, pakeitusios pasaulį
Da Vinči matematinė klaidelė
Kiek iš viso turime skaičių?
Scenoje: paprastos grupės
Matematika ir muzika
Ar viskas čia taip?
Minties virusai
Matroidai
Vartiklis