Pagrindinės algebrinės struktūros. Vartiklis: Algebra

Grupoidas - aibė, kurioje apibrėžta viena binarinė operacija, kuri paprastai vadinama daugyba.

Pusgrupė yra aibė, kurioje apibrėžtas asociatyvus kompozicijos dėsnis:
(a + b) + c = a + (b + c)
Čia a, b, c - aibės elementai, + - kompozicijos dėsnis (bendrąja prasme, nebūtinai sudėtis).

Monoidas – yra pusgrupė, kurioje yra neutralusis elementas (vienetas) toks, kad:
a + e = e + a = a
Čia e - neutralus elementas.

Grupė yra monoidas, kuriame kiekvienas elementas turi sau simetrinį elementą (atvirkštinį): a + a^-1 = a^-1 + a = e
Čia a^-1 - elementas atvirkštinis a (žr. ir >>>>).

Abelio grupė yra grupė, kurioje esantis kompozicijos dėsnis yra komutatyvus:
a + b = b + a
Čia a, b - aibės elementai (žr. ir >>>>).

Žiedas yra aibė su joje įvestais dviem kompozicijos dėsniais (+, *). Pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu žiedas yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (*) atžvilgiu žiedas yra pusgrupė. Ir taip pat abiem kompozicijos dėsniams galioja distributyvumo taisyklė:
(a+b)*c=b*c+a *c
Čia a, b, c - aibės elementai.
Plačiau žr. Žiedas >>>>

Pusžiedis - panašus į žiedą, tik be atvirkštinio elemento sudėčiai, t.y.
a) jis sudėties atžvilgiu yra komutatyvioji pusgrupė su neutraliuoju elementu (nuliu);
b) daugyba asociatyvi ir distributyvi sudėties atžvilgiu, t.y. (x+y)*z=x*z+y*z ir x*(y+z)=x*y+x*z

Kūnas (angl. division ring) yra žiedas, kuris pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) atžvilgiu yra Abelio grupė. Antrojo kompozicijos dėsnio (*) atžvilgiu yra tiesiog grupė (nebūtina komutatyvumo sąlyga), kurioje atvirkštinis elementas apibrėžtas visiems aibės elementams, išskyrus "0" - pirmojo kompozicijos dėsnio ( + ) neutralųjį (vienetinį) elementą.

Laukas tai yra kūnas, kuriame antrasis kompozicijos dėsnis (*) yra komutatyvus. Arba kitas apibrėžimas, kad tai yra žiedas, kuriame abu kompozicijos dėsniai yra Abelio grupės.

Lauko (arba žiedo) R charakteristika (Char R) yra mažiausias kiekis kartų, kurių reikia, kad susumavus lauko daugybos vienetą (r=1), gautume lauko sudėties nulį (0), t.y. mažiausias n, toks, kad

Jei tokio skaičiaus n nėra, tai laikoma kad Char R = 0 (R yra nulinės charakteristikos laukas arba žiedas).

Žiedo A netuščias poaibis I vadinamas idealu, jei:
1. I yra pogrupis sudėties atžvilgiu;
2. xaÎI ir axÎI, "xÎI, aÎA.

Pvz., lyginių sveikų skaičių aibė yra idealas sveikų skaičių žiede. Idealai yra pirminių skaičių bei taškų algebrinėje geometrijoje apibendrinimas.

Algebra (tiesinė) - erdvė su bitiesine distributyviąja sudėties operacija, t.y., laukas su suderinta erdvės struktūra.

Gardelė (angl. lattice) - dalinai sutvarkyta aibė, kurioje kiekvienas dviejų elementų poaibis turi tiek tikslią viršutinę, tiek tikslią apatinę ribas. Anksčiau vadinta struktūra.

Kairiuoju moduliu virš žiedo A vadinama Abelio grupė M su apibrėžta daugyba iš žiedo A elementų, t. y. su funkcija A×M->M, (a, x)->ax ir "a,bÎA, x, yÎM tenkinančia sąlygas:
1. (a + b)x = ax + bx
2. a(x + y) = ax + ay
3. (ab)x= a(bx)
4. 1 × x = x

Visiškai analogiškai apibrėžiami dešinieji moduliai virš žiedo A.
Kai žiedas A yra komutatyvus, akivaizdu, kad kairiojo ir dešiniojo modulių sąvokos sutampa.
Tad modulis virš lauko yra tiesinė erdvė. Taigi, modulis virš žiedo yra vektorinės erdvės virš lauko bei Abelio grupės apibendrinimai.

Žiedas

Pirma paskaitykite žiedo apibrėžimą...

Nors žiede sudėtis yra komutatyvi, tačiau nereikalaujama, kad daugyba būtų komutatyvi, tad nebūtinai ab=ba. Jei žiedas tenkina ir daugybos komutatyvumo sąlygą, jis vadinamas komutatyviu žiedu. Nekomutatyvaus žiedo pavyzdžiu yra M_n(K), nxn (n > 1) matricų virš lauko K, žiedas.

Taip pat žiedai neturi atvirkštinio elemento daugybai. Žiedo elementas a yra vadinamas žiedo vienetu (arba vieneto dalikliu), jei jis turi atvirkštinį elementą b daugybos atžvilgiu, t.y. tokį, kad ab=ba=1. Tai žymima a^-1=b. Visų žiedo R atvirkštinių elementų aibė sudaro grupę su žiedo daugybos operacija, kuri žymima U(R).

Žiedo R poaibis S vadinamas požiedžiu, jei yra uždaras daugybos ir atimties atžvilgiu ir turi daugybos tapatumo išsaugojimo elementą.
Žiedo R centru vadinama aibė R elementų, kurie yra komutatyvūs visiems R elementams, t.y. c priklauso centrui, jei cr=rc kiekvienam r. Centras yra žiedo R požiedis, Myliu algebra

Alternatyvūs apibrėžimai:

Kai kurie autoriai įtraukia sąlygą 0 ¹ 1 (nulis nelygus vienetui). Tai atmeta tik vieną, vadinamąjį trivialųjį žiedą, sudarytą tik iš vieno elemento.

Didesnį skirtumą sudaro tapatumo išlaikymo¹⁾ daugybos atžvilgiu atsisakymas (I.N. Herstein‘as⁴⁾ ir kt.). tada žiedai su daugybos I. Vadinami unitariniais žiedais. Reikalaujantystapatumo išlaikymo daugybai (kaip Burbaki⁵⁾ ) žiedus be jos vadina pseudo žiedais.

Kartais atsisakoma daugybos asociatyvumo reikalavimo ir žiedai su ja vadinami asociatyviaisiais žiedais.

Pavyzdžiai:

sveikųjų, racionaliųjų ir realiųjų skaičių žiedai yra komutatyvūs;
kiekvienas laukas yra komutatyvus žiedas;
Gauso²⁾ ir Eisenšteino sveikieji skaičiai³⁾ sudaro žiedą.

Pastaba: natūrinių skaičių aibė nėra žiedas (ir net ne grupė), nes neturi atvirkštinių elementų sudėčiai.

¹⁾ Tapatumo išsaugojimas – tai reikšmės išsaugojimas operacijos su vadinamuoju neutraliuoju elementu (vienetu ar nuliu) metu. Daugybos atžvilgiu tai iliustruoja savybė:
a×1=1×a=a
t.y., kiek kartų skaičių bedaugintumėte iš 1, gausite tą patį skaičių.

²⁾ Gauso sveikieji skaičiai yra kompleksiniai skaičiai, kurių realioji ir menamoji dalys yra sveiki skaičiai. Egzistuoja ir Gauso pirminių skaičių sąvoka. Daugiau žr. >>>>>

³⁾ Eisenšteino sveikieji skaičiai yra kompleksiniai skaičiai, turintys formą:
z=a+bw
kur a ir b yra sveikieji skaičiai, o w - primityvi kubinė vieneto šaknis:

Eisenšteino sveikieji skaičiai kompleksinėje plokštumoje sudaro trikampę gardelę. Egzistuoja ir Eisenšteino pirminių skaičių sąvoka.

⁴⁾ Nikola Burbaki (Nicolas Bourbaki) – kolektyvinis 20 a. (nuo 1935 m.) matematikų (daugiausia prancūzų) pseudonimas. Burbaki siekė pertvarkyti matematiką remdamasi ypač abstrakčiu ir formaliu pagrindu. Jų pagrindinis veikalas buvo „Matematikos elementų“ knygų serija. Paskutinis leidinys („Komutatyvios algebros“ 10 skyrius) išėjo 1998 m., tačiau tęsiasi jau išleistų knygų peržiūra.

⁵⁾ Izraelis Natanas Heršteinas (Israel Nathan Herstein, 1923-1988) – žydų iš Lenkijos kilmės JAV matematikas, Čikagos un-to profesorius. Dirbo daugelyje algebros sričių, įskaitant žiedų teoriją (ypatingą dėmesį skiriant nekomutatyviems žiedams). Bet paskelbė straipsnių ir apie baigtines grupes, tiesinę algebrą bei matematinę ekonomiką. Pasižymėjo puikiu stiliumi ir jo vadovėlis „Algebros temos“ (1964) dominavo net 20 m.