Nepaprasti skaičiai: skaičius 42. Vartiklis

- Keturiasdešimt du! - sušuko Lunkkuool. - Ir tai viskas, ką galite pasakyti po septynerių su puse milijono metų darbo?
- Aš labai atidžiai viską patikrinau, - pasakė kompiuteris, - ir užtikrintai pareiškiu, kad tai yra atsakymas. Man atrodo, kad jei norime būti visiškai sąžiningi su jumis, tai esmė ta, kad jūs pats nežinojote, koks klausimas.
- Bet tai puikus klausimas! Galutinis gyvenimo, visatos ir viso kito klausimas! - Lunkkuool beveik staugė.

D. Adamso „Keliautojo autostopu gido po galaktiką“ pirmos knygos iš 5-ių pabaigoje superkompiuteris Giliamintis pateikia atsakymą į Gyvybės, Visatos ir Visa ko Didįjį klausimą: 42! Šio atsakymo paskaičiavimui jis užtruko 7,5 mln. m. Gavę atsakymą, romano veikėjai buvo nusivylę, nes jis buvo visiškai nenaudingas. Tačiau, kaip nurodė pats kompiuteris, ir klausimas buvo pateiktas labai neaiškiai. O tam, kad surastų teisingą klausimą, kurio atsakymas yra 42, kompiuteriui teko pagaminti savo paties kopiją. Tai irgi užėmė nemažai laiko. Naujoji kompiuterio versija buvo Žemė. O kad sužinotumėte, kas nutiko vėliau, turite perskaityti D. Adamso knygą.

O autoriaus pasirinktas skaičius 42 tvirtai įsiliejo į gykų (geeks) kultūrą. Jis daugelio juokelių ir pokštų pagrindas. Pateikite paieškos sistemai užklausą „koks atsakymas į bileką?“ (What is the answer to everything?) ir tikėtina, kad gausite 42.

Pirmai tokiai mokyklai 2013 m. susikūrus Prancūzijoje, paplito privačios kompiuterių raštingumo mokyklos pavadinimu „42 rinklas“ aiški aliuzija į D. Adamso romaną. Įvairiomis formomis 42 sutinkamas filme „Žmogus-voras“. Ir dar daug kur... Gravitacija

Be to 42 įeina į daugybę sutapimų, kurių svarbos, tikriausiai,neverta minėti. Pvz., senovės Egipto mitologijoje mirusysis turėjo stoti prieš 42 teisėjų teismą, kuriam turėjo pareikšti, kad nepadarė nė vienos iš 42-ių nuodėmių. Maratono 42.195 km distancija yra atstumas, kurį 490 m. iš Maratono į Atėnus nubėgo Fidipidas, kad praneštų apie pergalę prieš persus. Gutenbergo atspausdintoje Biblijoje buvo 42 eilutės stulpelyje – ir ji vadinta „42 eilučių Biblija“.

Bet čia knieti paklausti – ar 42 pasirinkimas turėjo kokią nors ypatingą reikšmę „Keliautojo autostopu gido“ autoriui? Jo atsakymas buvo glaustas: „Tai buvo pokštas. Tai turėjo būti skaičius, sveikas skaičius, nedidelis skaičius – ir aš pasirinkau šį. Dvejetainis atvaizdavimas, skaičius, kurio pagrindas 13 [33], Tibeto vienuoliai – visa tai nesąmonės. Aš atsisėdau prie stalo, pažvelgiau į sodą ir pagalvojau, kad 42 tinka. Atspausdinau. Istorijos pabaiga“.

Ir vis tiek, dvejetainis 42 atvaizdavimas (101010) paskatino kai kuriuos fanus surengti paminėjimus 2010 m. spalio 10 d. Atvejis su pagrindu 13 reikalauja papildomo paaiškinimo. Tai ir atsakymas į klausimą: „Kiek bus šešis kart devyni?” Atsakymas: 42₍₁₃₎), kas lygu 54₍₁₀₎.

Tačiau vis dar kirba mintis, ar 42 neturi kokių nors grynai matematinių išskirtinumų? Ir iš tikro, skaičius 42 turi nemažai įdomių matematinių savybių.

Jis lygus dvejeto pirmųjų nelyginių laipsnių sumai (2¹+2³+2⁵), t.y. priklauso OEIS sekai A020988, kurios nariai yra labai reti. Taip pat 42 lygus pirmųjų dviejų šešeto laipsnių sumai (6¹+6²) – tai OEIS seka A105281.

Be to, 42 yra kataloniškasis skaičius (A000108). Juos pirmąkart, tik pavadindamas kitaip, paminėjo L. Oileris, norėjęs išsiaiškinti, kiek skirtingų būdų galima iškilų n-kampį suskaidyti į trikampius. N-tasis sekos elementas surandamas pagal formulę c(n) = (2n)! / (n!(n + 1)!). O šie skaičiai pavadinti pagal belgų matematiką Eugene Charles Catalan‘ą¹⁾, nustačiusį, kad c(n) yra kiekis būdų, kaip galima sudėlioti skliaustus: pvz., c(3)=5, nes
( ( ( ) ) ); ( ) ( ) ( ); ( ( ) ) ( ); ( ( ) ( ) ); ( ) ( ( ) )

Ir dar – 42 yra „praktinis“ skaičius, kas reiškia, kad bet koks skaičius tarp 1 ir 42 yra jo skirtingų daliklių poaibio sumai (A005153 seka). Nėra paprastos formulės n-ajam šios sekos nariui gauti.

Tai atrodytų įspūdingai, tačiau ir kiti skaičiai (pvz., 41 ar 43) irgi priklauso įvairioms sekoms. Tačiau tai, kas skaičių daro ypač įdomų ar neįdomų, yra matematiko ir psichologo Nicolas Gauvrit‘o²⁾, gamtamokslininko Hector Zenil‘o ir Jean-Paul Delahaye³⁾ tirtas klausimas analizuojant OEIS sekas. Be sąryšio su teoriniu Kolmogorovo sudėtingumu (kai skaičiaus sudėtingumas nustatomas pagal minimalaus jo aprašymo ilgį) buvo parodyta, kad OEIS sekų skaičiai nurodo bendrą matematinę kultūrą, todėl remiasi žmogiškaisiais pasirinkimais, o ne grynu matematiniu objektyvumu.

Kompiuterininkai ir matematikai pastebi 42-ių žavesį, tačiau supranta, kad tai tik žaidimas, kurį galima sužaisti ir su bet kuriuo kitu skaičiumi. Tačiau vis tik viena nesena naujiena patraukė akį!? Pasirodo, „trijų kubų sumai“ 42 pasirodė esąs gerokai kietesnis riešutėlis, nei bet kuris kitas skaičius iki 100...

Tik 2019 m. rugsėjį (pradėjus nuo 1954 m.) rastas 42 išdėstymas trimis kubais (žr. >>>>>). Suradimą sunkino ir tai, kad į trejetus privalėjo įeiti ir neigiami skaičiai, tad galimas jų kiekis buvo begalinis. Kai kuriais atvejais skaičiai išties milžiniški, pvz., 2007 m. skaičiui 156 buvo nustatytas toks išdėstymas:
156 = 26.577.110.807.569³⁾ + (-18.161.093.358.005)³⁾ + (-23.381.515.025.762)³⁾

Skaičius trijų kubų suma nebūtinai išreiškiamas vieninteliu būdu. Jei paimsime 1, tai gauname:
1 = 1³⁾ + 1³⁾ + (–1)³⁾
1 = 9³⁾ + (–6)³⁾ + (–8)³⁾
...

1936 m. vokiečių matematikas Kurt Mahler’is⁴⁾ išsakė mintį, kad jų yra begalinis skaičius – ir kiekvienam sveikam skaičiui p:
1 = (9p⁴⁾) ³⁾ + (3p – 9p³⁾) ³⁾ + (1 – 9p³⁾)³⁾ Skaičius 42

Begalinis išdėstymų kiekis yra ir skaičiui 2, ką 1908 m. nustatė A.S. Werebrusov’as - ir kiekvienam sveikam skaičiui p:
2 = (6p³⁾ + 1)³⁾ + (1 – 6p³⁾)³⁾ + (–6p²⁾) ³⁾
pvz., 2 = 1³⁾ + 1³⁾ + 0³⁾

Tuo tarpu skaičiui 3 iki 2019 m. rugpjūčio mėn. tebuvo žinomi tik du išdėstymai:
3 = 1³⁾ + 1³⁾ + 1³⁾
3 = 4³⁾ + 4³⁾ + (–5) ³⁾

Vis tik, kai kuriems sveikiems skaičiams negali egzistuoti išdėstymas trimis kubais. Tokie skaičiai turi formą 9m + 4 arba 9m + 5 – bet kuriam sveikam skaičiui m. Tad išdėstymų neturi 4 ir 5 (toliau 13, 14, 22, 23, …). Bet klausimas išliko: ar išdėstymą trijų kubų suma turi kiekvienas „neuždraustas“ skaičius?

Buvo pasikinkyti kompiuteriai... 2009 m. vokiečių matematikai Andreas-Stephan Elsenhans'as ir Jörg Jahnel'is, panaudoję 2000 m. amerikiečio Noam Elkies⁵⁾ pasiūlytą metodą, ištyrinėjo visus trejetus, kurių skaičiai mažesni už 10¹⁴, ieškant išdėstymų skaičiams tarp 1 ir 1000. Atviras klausimas liko tik skaičiams 33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975. Iki 100 buvo likę tik 3 skaičiai: 33, 42, 74.

2016 m. Sander Huisman’as paskelbė radęs 74 išdėstymą:
74 = (–284.650.292.555.885)³⁾ + (66.229.832.190.556)³⁾ + (283.450.105.697.727)³⁾

Galiausiai 2019 m. gegužę „krito“ 33, o rugsėjį ir 42 (A. Booker'is⁶⁾ ir Andrew Sutherland’as⁷⁾, žr. >>>>>):
42 = (-805.38.738.812.075.974)³⁾ +( 80.435.758.145.817.515)³⁾ + (12.602.123.297.335.631)³⁾

Jau rasti išdėstymai ir 165, 795 bei 906 – tad neišdėstytų skaičių iki 1000 irgi sumažėję...

Pats A. Bukeris apie tai pasisakė:
Jaučiu palengvėjimą. Tai žaidimas, kuriame negali būti užtikrintas, kad pasiseks. Kažkiek panašu į bandymą nuspėti žemės drebėjimą: galime pasiremti tik grubiomis prielaidomis. Per kelis mėnesius galime rasti tai, ko ieškome, o galime rasti sprendimą tik po šimtmečio.

ASCII kodas 42 yra '*'. Jis kompiuterijoje neretai panaudojamas prasme „visi“... D. Adamsas buvo įgudęs kompiuteriuose ir suprato, kas yra kas juose.

¹⁾ Eženas Šarlis Katalanas (Eug?ne Charles Catalan, 1814-1894) - belgų kilmės prancūzų matematikas, dirbęs grandininių trupmenų, braižomosios geometrijos, skaičių teorijos ir kombinatorikos srityse. 1822 m. jo šeima persikėlė į Prancūziją. Mokėsi Paryžiaus Politechnikos mokykloje, bet turėjo problemų už dalyvavimą politiniuose įvykiuose (juose dalyvavo ir po 1848 m.). Vis tik ją baigė. 1851 m. į valdžią atėjus Napoleonui, atsisakė prisiekti ištikimybę ir neteko darbo, o po to turėjo problemų ir įsidarbinti.
Matematikos srityje jo didžiausiu indėliu yra periodinio minimalaus paviršiaus R³ nustatymas, Katalano teiginio (įrodyto tik 2002 m.) suformulavimas (kad x^a-y^b=1 teturi vieną sprendinį x=3, a=2, y=2, b=3) ir Katalano skaičių panaudojimą sprendžiant kombinatorikos uždavinius. Keršytojai: 42

²⁾ Nikola Govritas (Nicolas Gauvrit, g. 1971 m.) – prancūzų matematikas ir psichologas, dirbantis pažinimo mokslų srityje. Plačiausiai žinomas už darbus kritinio mąstymo ir racionalaus skepticizmo srityse. Skelbiasi ir „Skeptic” bei Skeptical Inquirer“ žurnaluose. Taiko algoritminio sudėtngumo teoriją įvairioms psichologijos sritims (atminčiai, polinkiui konspiracijos teorijoms) bei psicholingvistikai.

³⁾ Žanas-Paulis Delahajė (Jean-Paul Delahaye, g. 1952 m.) – prancūzų kompiuterininkas ir matematikas; Lilio un-to profesorius emeritas, CRIStAL tyrėjas. Nuo 1991 m. veda rubriką „Pour la Science“ („Scientific American“ prancūziškas variantas). 1998 m. gavo d'Alambero premiją už savo knygas ir matematikos populiarinimą.

⁴⁾ Kurtas Machleris (Kurt Mahler, 1903-1988) – vokiečių matematikas, dirbęs transcendentinių skaičių (nustatė, kad pora konstantų yra transcendentiniai skaičiai), diofantinių aproksimacijų, p-adinių skaičių analizės ir skaičių geometrijos srityse. Nuo 1963 m. daugiausia dirbo Australijoje.

⁵⁾ Noamas Elkisas (Noam David Elkies, g. 1966 m.) – amerikiečių matematikas, šachmatininkas ir šachmatų kompozicijų sudarinėtojas. Pagrindiniai darbai iš skaičių teorijos ir kombinatorikos. 1988 m. rado kontrpavyzdį Oilerio hipotezei apie ketvirto laipsnio lygtį (Ferma teoremos apibendrinimą). Taip pat tyrinėja muzikos ir matematikos sąryšius; yra Konvėjaus „Gyvybės“ žaidimo entuziastas; jame surado keletą stabilių pozicijų.

⁶⁾ Endrius Bukeris (Andrew Richard Booker, g. 1976 m.) – britų matematikas, dirbantis analitinės skaičių teorijos srityje, žinomas savo darbais apie automorfinių formų L-funkcijas bei indėliu į trijų kubų sumos uždavinio sprendimą.

⁷⁾ Endrius Suterlandas (Andrew Victor Sutherland) – amerikiečių matematikas, dėmesį sutelkęs kaičių teorijos ir aritmetinės geometrijos kompiuteriniams paskaičiavimams. Žinmas indėliu į kelis didelės apimties skaičiavimo projektus, apimant ir trijų kubų sumos uždavinį.