Harmoninės eilutės

Eilutė
(1)
vadinama harmonine eilute. Ji diverguoja, t.y. ši suma lygi begalybei.

Harmoninės eilutės apibendrinimas

vadinamas Rymano dzeta funkcija, kuri labai svarbi pirminių skaičių analizėje. Jos savybę nusakantis Rymano teiginys yra Tūkstantmečio premijos uždavinių sąraše.

Beje, harmoninė pirminių skaičių eilutė

(kurioje p_k yra pirminiai skaičiai) taip pat diverguoja, nors ir nepaprastai lėtai (pvz., 3 pasiekia tik sudėjus 361139 narius). 1737 m. jos divergavimą įrodė L. Oileris (Euler). Eilutės asimptotinis elgesys nusakomas formule (pagal antrąją Mertenso teoremą)

kur B₁=0,2614972128 ... yra Mertenso konstanta (dar vadinama ir Hadamard-de la Vallee-Poussin konstanta). o(1) yra Landau simbolis.

Taigi, asimptotinė formulė yra analogas paprastos harmoninės eilutės (1) asimptotinei formulei:

kur g yra Oilerio-Mascheroni konstanta.

Landau simboliai

Landau simboliai O(x) ir o(x), kurie dar kartais vadinami „O didysis“ ir „o mažasis“, sukurti asimptotiniam funkcijų elgesiui palyginti. Jie naudojami įvairiose matematikos srityse, tačiau daugiausia matematinėje analizėje, skaičių teorijoje ir kombinatorikoje, o taip pat įvertinant algoritmų sudėtingumą.

Jie apibrėžiami taip:

Tegu f(x) ir g(x) yra dvi funkcijos, apibrėžtos tam tikro taško x₀ aplinkoje (be paties to taško) ir g(x₀) nelygi 0.
Tada sakoma, kad
f  yra O(g), kai x -> x₀, jei egzistuoja tokia konstanta C>0, kad visiems x taško x₀ aplinkoje |f(x)| <= C |g(x)| ;
f  yra o(g), kai x -> x₀, jei f(x) / g(x) -> 0.

Istoriškai, O(x) pirmąkart pasirodė Bachmann'‘ o antrame veikalo apie sveikus skaičius tome (1894) ir imtas naudoti Landau. Tuo tarpu o(x) yra jau paties Landau įvedimas.

Pirminiai skaičiai
Landau nuslopimas
Pitagoro teorema
Didžioji Ferma teorema
Pagrindinė aritmetikos teorema
Didžiausias bendras daliklis
Izingo modelis įmagnetinimui
Linksmi nutikimai mokslininkams
Žvaigždžių virš Babilono funkcija
Littlewood teiginys apie aproksimaciją
Naujas pirminių skaičių dėsningumas
Ar jau rūksta dūmai? Navier Stokes lygtys
Ultimatyvi logika: Iki begalybės ir toliau
Kantoro aibių teorija ir tikrosios begalybės intuicija
Kaip išgyventi aukštesnius matavimus?
Pagrindinės statistinės sąvokos
Revoliucija mazgų teorijoje
Tjorstono geometrizacijos teiginys
Specialioji reliatyvumo teorija
Visata kaip kompiuteris
Matematikai: Žanas Furjė
Smeilo paradoksas
Ar viskas čia taip?
Nešo pusiausvyra
Dalyba iš nulio
Kvantinis chaosas
Pirminiai dvyniai
Perkoliacija